Виды функций Скачать
презентацию
<<  Свойства линейной функции Степенная функция 9 класс  >>
Фотографий нет
Фото из презентации «Кривые второго порядка» к уроку алгебры на тему «Виды функций»

Автор: Пахомова. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Кривые второго порядка» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 485 КБ.

Скачать презентацию

Кривые второго порядка

содержание презентации «Кривые второго порядка»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1§ Кривые второго порядка. Кривые второго порядка5 26определяет кривую, каноническая система координат7
делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные которой параллельна заданной, но имеет начало в точке
Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, C(x0,y0). Говорят: уравнение (13) определяет кривую со
которые задаются уравнением второй степени. Если смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют
уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна каноническим уравнением кривой со смещенным центром
точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение (вершиной).
определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго 27Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14)6
порядка). Невырожденными кривыми второго порядка необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой
являются эллипс, окружность, гипербола и парабола. можно определить и без уравнения (14). А именно: 1)
21. Эллипс и окружность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом18 если AC = 0, то кривая является параболой; 2) если AC
называется геометрическое место точек плоскости, сумма < 0, то кривая является гиперболой; 3) если AC >
расстояний от которых до двух фиксированных точек 0, A ? C– эллипсом; 4) если AC > 0, A = C –
плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a окружностью.
(2a>|F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами 286. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы.10
эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. ri
координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на = | MFi | , di = d(M,?i) ТЕОРЕМА. Для любой точки M
одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: эллипса (гиперболы) имеет место равенство. ЗАМЕЧАНИЕ.
F1(–c;0) и F2(c;0) , где |OF1| = |OF2| = c. По определению параболы r = d. ? параболу можно считать
3Уравнение (1): называется каноническим уравнением3 кривой, у которой эксцентриситет ? = 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет Геометрическое место точек, для которых отношение
такое уравнение, называется его канонической системой расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию
координат. до фиксированной прямой (директрисы) есть величина
4СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри7 постоянная и равная ? , называется 1) эллипсом, если
прямоугольника, ограниченного x=?a, y=?b. 2) Эллипс ?<1 ; 2) гиперболой, если ?>1; 3) параболой, если
имеет центр симметрии (начало координат) и две оси ? = 1.
симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии эллипса 297. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и64
называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, параболы. Получаем: ? = ? .С физической точки зрения
проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или это означает: 1) Если источник света находится в одном
фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его,
малой осью. 3) Из уравнения эллипса получаем: отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 2)
54 Если источник света находится в одном из фокусов
6Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами21 гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от
эллипса. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из
(фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой другого фокуса. 3) Если источник света находится в
осью. Величины a и b называются большой и малой фокусе параболического зеркала, то лучи его,
полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.
называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная 30§ Поверхности второго порядка. Поверхностью второго8
точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 порядка называется геометрическое место точек в
называются фокальными радиусами точки M. пространстве, декартовы координаты которых
7ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина ? , равная отношению11 удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) –
фокусного расстояния эллипса к его большой оси, многочлен степени 2. ? в общем случае уравнение
называется эксцентриситетом эллипса, т.е. Величина ? поверхности 2-го порядка имеет вид:
характеризует форму эллипса. Зная эксцентриситет a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30
эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y): +a00=0 . Поверхности второго порядка делятся на 1)
Замечания. 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные поверхности
этой кривой. Геометрически, это означает, что точки второго порядка это плоскости и точки, которые задаются
кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, уравнением второй степени. Если уравнению второго
т.е. кривая является окружностью. Каноническое порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то
уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную
= r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до поверхность (мнимую поверхность второго порядка).
ее центра; r называют радиусом окружности. Невырожденными поверхности второго порядка
82) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы7 подразделяются на пять типов.
F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от 311. Эллипсоид. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется5
начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид. геометрическое место точек пространства, координаты
Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось которых в некоторой декартовой системе координат
Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где. удовлетворяют уравнению. Где a, b, c – положительные
Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам. константы. Система координат, в которой эллипсоид имеет
92. Гипербола. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется18 уравнение (1) называется его канонической системой
геометрическое место точек плоскости, модуль разности координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением
расстояний от которых до двух фиксированных точек эллипсоида.
плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a 32Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.27
(2a < |F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами Если все они различны, то эллипсоид называется
гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему трехостным. Если две из трех полуосей равны, эллипсоид
координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на является поверхностью вращения. Он получается в
одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.
F1(–c;0) и F2(c;0) , где |OF1| = |OF2| = c. 33Эллипсоид, у которого все три полуоси равны,5
10Уравнение (2): называется каноническим уравнением3 называют сферой. Каноническое уравнение сферы принято
гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, где r – величина
такое уравнение, называется ее канонической системой полуосей, которая называется радиусом сферы. С
координат. геометрической точки зрения, сфера – геометрическое
11СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе,7 место точек пространства, равноудаленных (на расстояние
ограниченной прямыми x=?a. 2) Гипербола имеет центр r) от некоторой фиксированной точки (называемой
симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси центром). В канонической системе координат сферы, центр
Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром – начало координат.
гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через 342. Гиперболоиды. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным5
фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) гиперболоидом называется геометрическое место точек
осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью. 3) пространства, координаты которых в некоторой декартовой
Из уравнения гиперболы получаем: системе координат удовлетворяют уравнению. Где a, b, c
12Прямая ? называется асимптотой кривой, если7 – положительные константы. Система координат, в которой
расстояние от точки M кривой до прямой ? стремится к однополостный гиперболоид имеет уравнение (2)
нулю при удалении точки M от начала координат. называется его канонической системой координат, а
Существуют два вида асимптот – вертикальные и уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного
наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в гиперболоида.
тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых 35Величины a, b и c называются полуосями26
хотя бы один из односторонних пределов функции равен однополостного гиперболоида. Если a=b, то однополосный
бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют гиперболоид является поверхностью вращения. Он
уравнение y=k1,2x+b1,2 , где. получается в результате вращения гиперболы. Вокруг
133 своей мнимой оси. Замечание. Уравнения. Тоже определяют
14Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.28 однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси
Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной oy и ox соответственно.
(фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой 36ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется4
осью. Величины a и b называются действительной и мнимой геометрическое место точек пространства, координаты
полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) которых в некоторой декартовой системе координат
называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная удовлетворяют уравнению. Где a, b, c – положительные
точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 константы. Система координат, в которой двуполостный
называются фокальными радиусами точки M. гиперболоид имеет уравнение (3) называется его
15ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина ? , равная отношению8 канонической системой координат, а уравнение (3) –
фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
называется эксцентриситетом гиперболы, т.е. Величина ? 37Величины a, b и c называются полуосями27
характеризует форму гиперболы. Зная эксцентриситет двуполостного гиперболоида. Если a=b, то двуполостный
гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). гиперболоид является поверхностью вращения. Он
Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x получается в результате вращения гиперболы. Вокруг
> 0), то. Если M лежит на левой ветке гиперболы своей действительной оси. Замечание. Уравнения. Тоже
(т.е. x < 0), то. определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты»
16Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то6 вдоль оси oy и ox соответственно.
гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной 383. Конус. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется5
гиперболы, перпендикулярны. ? можно выбрать систему геометрическое место точек пространства, координаты
координат так, чтобы координатные оси совпали с которых в некоторой декартовой системе координат
асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет xy=0,5a2 . удовлетворяют уравнению. Где a, b, c – положительные
(3) Уравнение (3) называют уравнением равнобочной константы. Система координат, в которой конус имеет
гипер- болы, отнесенной к асимптотам. уравнение (4) называется его канонической системой
172) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы12 координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением
F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но конуса.
лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид. 39Величины a, b и c называются полуосями конуса.27
Для этой гиперболы: действительная ось – ось Oy, мнимая Центр симметрии O называется вершиной конуса. Если a=b,
ось – ось Ox, F1(0;–c) и F2 (0;c) (где ). Асимптоты: то конус является поверхностью вращения. Он получается
Фокальные радиусы точки m(x;y) находятся по формулам. в результате вращения прямой. Вокруг оси oz .
183. Парабола. Пусть ? – некоторая прямая на19 Замечание. Уравнения. Тоже определяют конусы, но они
плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на «вытянуты» вдоль оси oy и ox соответственно.
прямой ?. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется 404. Параболоиды. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим5
геометрическое место точек плоскости, расстояние от параболоидом называется геометрическое место точек
которых до фиксированной прямой ? и до фиксированной пространства, координаты которых в некоторой декартовой
точки F (не лежащей на прямой ?) одинаково. Точку F системе координат удовлетворяют уравнению. Где a, b –
называют фокусом параболы, прямую ? – директрисой. положительные константы. Система координат, в которой
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется
директриса параболы ? была перпендикулярна оси Ox, его канонической системой координат, а уравнение (5) –
фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от каноническим уравнением эллиптического параболоида.
O до F и до ? было одинаковым. В такой системе 41Величины a и b называются параметрами параболоида.22
координат: F (0,5p;0) и ?: x + 0,5p =0 , где p – Точка O называется вершиной параболоида. Если a=b, то
расстояние от F до ? . параболоид является поверхностью вращения. Он
19Уравнение (4): y2 = 2px называется каноническим2 получается в результате вращения параболы. Вокруг оси
уравнением параболы. Система координат, в которой oz. Замечания: 1) Уравнение. Тоже определяет
парабола имеет такое уравнение, называется ее эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз. 2)
канонической системой координат. Уравнения. Определяют эллиптические параболоиды, с
20СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости11 осями симметрии oy и ox соответственно. Эллиптический
x ? 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось параболоид это поверхность, которая получается при
симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы
уравнения параболы получаем: скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной
21СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости11 параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).
x ? 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось 42ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом4
симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из называется геометрическое место точек пространства,
уравнения параболы получаем: координаты которых в некоторой декартовой системе
22Точка, в которой парабола пересекает свою ось,18 координат удовлетворяют уравнению. Где a, b –
называется вершиной параболы, Число p называется положительные константы. Система координат, в которой
параметром параболы. Если M – произвольная точка гиперболический параболоид имеет уравнение (6)
параболы, то отрезок MF и его длина называются называется его канонической системой координат, а
фокальными радиусами точки M. уравнение (6) – каноническим уравнением
23Замечание. Введем систему координат так, чтобы6 гиперболического параболоида.
фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, 43Величины a и b называются параметрами параболоида.25
директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O Замечания: 1) Уравнение. Тоже определяет параболоид, но
до F и до директрисы было одинаково. Тогда получим для «развернутый» вниз. 2) Уравнения. Определяют
параболы уравнение y2 = –2px, (5) а для директрисы и параболоиды, «вытянутые» вдоль осей oz и oy
фокуса: F(–0,5p;0) и ? : x – 0,5p = 0. соответственно. Гиперболический параболоид это
24Выберем систему координат так, чтобы директриса6 поверхность, которая получается при движении одной
была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по
(отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом параболе, оси подвижной и неподвижной параболы
расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): параллельны, ветви направлены в разные стороны).
Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = ?2py, (6) 445. Цилиндры. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической31
а для директрисы и фокуса получим: F(0; ? 0,5p) и ? : y поверхностью (цилиндром) называется поверхность,
? 0,5p = 0. Уравнения (5) и (6) тоже называются которую описывает прямая (называемая образующей),
каноническими уравнениями параболы, а соответствующие перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой
им системы координат – каноническими системами кривой (называемой направляющей) . Цилиндры называют по
координат. виду направляющей: круговые, эллиптические,
254. Координаты точки в разных системах координат.6 параболические, гиперболические.
Получаем: Формулу (8) называют формулой преобразования 45Цилиндр в некоторой декартовой системе координат0
координат точки при переносе начала координат в точку задается уравнением, в которое не входит одна из
C(x0;y0). координат. Кривая, которую определяет это уравнение в
265. Общее уравнение кривой второго порядка.7 соответствующей координатной плоскости, является
Рассмотрим уравнение Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13) направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси
С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) отсутствующей координаты.
может быть приведено к виду: ВЫВОД: Уравнение (13)
45 «Кривые второго порядка» | Кривые второго порядка 560
http://900igr.net/fotografii/algebra/Krivye-vtorogo-porjadka/Krivye-vtorogo-porjadka.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Фото
Презентация: Кривые второго порядка | Тема: Виды функций | Урок: Алгебра | Вид: Фото
900igr.net > Презентации по алгебре > Виды функций > Кривые второго порядка