Алгебра и геометрия |
Геометрия
Скачать презентацию |
||
<< Геометрия это наука | Что изучает геометрия >> |
![]() История |
![]() Сферическая геометрия |
Автор: Admin. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Алгебра и геометрия» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 209 КБ.
Скачать презентациюСл | Текст | Эф | Сл | Текст | Эф |
1 | Презентация по геометрии на тему: «Геометрия в | 4 | 5 | пере-водится на алгебраический язык. Но при изучении | 6 |
древние и новые века.». Ученицы 7 класса «А» МОУ СОШ | более сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, | ||||
школы №9 Лисик Виктории. | средства алгебры в общем исследовании утрачивают свою | ||||
2 | История. Женщина обучает детей геометрии. | 4 | простоту. Формулы Кардано и Феррари, служащие для | ||
Иллюстрация из парижской рукописи Евклидовых «Начал», | выражения корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их | ||||
начало XIV века. Средние века немного дали геометрии, и | мнимыми радика-лами, от которых нельзя избавиться, | ||||
следующим великим событием в её истории стало открытие | почти не находят себе применения. За пределами 4-й | ||||
Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение | степени таких формул для общего решения уравнений не | ||||
о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, | существует. Приходится опе-рировать такими свойствами | ||||
это позволяет изучать отношения между формами методами | алгебраических уравнений, широкой общности которых | ||||
алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, | расплываются отдельные част-ные задачи. Именно эти | ||||
изучающая фигуры и преобразования, которые в | общие вопросы алгебраической геометрии всё же получили | ||||
координатах задаются алгебраическими уравнениями. | разрешение, а для решения многих отдельных задач методы | ||||
Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато | Декарта дали меньше, чем от них можно было ожидать. | ||||
исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при | Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи | ||||
проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел | уравнений и алгебраических выкладок теряются | ||||
получил название проективной геометрии. Метод координат | нагляд-ность и пространственная интуиция; этот мощный | ||||
лежит в основе появившейся несколько позже | рычаг синтетической геометрии здесь совершенно | ||||
дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования | отказывается служить. К этому присоединялось то | ||||
все ещё задаются в координатах, но уже произвольными | обстоятельство, что некоторые части алгебры и анализа | ||||
достаточно гладкими функциями. | не были еще достаточно обоснованы и содержали | ||||
3 | Сферическая геометрия . Раздел геометрии, изучающий | 2 | противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не | ||
геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая | только сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому | ||||
геометрия возникла в древности в связи с потребностями | неотчетливость мысли невыносима; а математику, | ||||
географии и астрономии. | привыкшему к строгости логической мысли, такое | ||||
4 | Геометрия новых веков. Прокл был уже, по-види-мому, | 3 | умонастроение было особенно тягостно. Выдающийся ученик | ||
последним представителем греческой геометрии. Римляне | Монжа Карно считал, что даже учение об отрица-тельных | ||||
не внесли в геометрию ничего существенного. Гибель | числах, играющее в методе координат такую важ-ную роль, | ||||
античной культуры, как известно, привела к глубо-кому | полно противоречий; он требовал освобождения геометрии | ||||
упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1000 лет, | от «иероглифов анализа». Стремление к преодо-лению | ||||
до эпохи Возрождения. Это не значит, однако, что | возникших таким образом противоречий привело и к | ||||
математика в этот период совершенно заглохла. | возрождению чисто геометрических методов. Этот процесс | ||||
Посредни-ками между эллинской и новой европейской | развертывался в различных направлениях; наиболее | ||||
наукой явились арабы. Когда несколько улегся ярый | плодотворный путь был связан с методами | ||||
религиозный фана-тизм, царивший в эпоху арабских | изобра-зительной геометрии. Его исходные пункты | ||||
завоеваний, в условиях быстро развивавшейся торговли, | коренятся еще в исследованиях Менелая. При всем том | ||||
мореплавания и городского строительства стала | зна-чении, которое синтетические методы геометрии | ||||
развертываться и арабская наука, в ко-торой математика | получили в XIX в., не следует думать, что они вытеснили | ||||
играла очень важную роль. Евклид был впервые переведен | аналитические приемы. Напротив, аналитическая геометрия | ||||
на арабский язык, по-видимому, в IX в. За этим | продолжала широко развиваться в самых разнообразных | ||||
последовал перевод сочинений других греческих | направлениях. Прежде всего ответвляется алгебраическая | ||||
геометров, многие из которых только с этих переводах до | геометрия, т. е. учение об алгебраических кривых, | ||||
нас и дошли. Однако математические интересы арабов были | алгебраических поверхно-стях и их пересечениях. | ||||
со-средоточены не столько на геометрии, сколько на | Чрезвычайно углубленные исследо-вания в этом | ||||
арифметике и алгебре, на искусстве счета в широком | направлении развертываются по трем путям. | ||||
смысле этого слова. Арабы усовершенствовали систему | 6 | Геометрия XX века. Истекшие годы первой четверти XX | 12 | ||
счисления и основы ал-гебры, заимствованные от индусов; | в. не только подводили итоги всему этому обширному | ||||
но в области геометрии они не имели значительных | циклу идей, но дали новое их развитие, новые | ||||
достижений. Интерес к счету перешел и к европейским | применения, которые до-вели их до расцвета. Прежде | ||||
математикам раннего Возрождения. Медленно -- с начала | всего XX век принес новую ветвь геометрии. Нельзя | ||||
XIII в. (Леонард Пизанский) и до конца XV в. (Лука | сказать, чтобы она в этом веке возникла. Но подобно | ||||
Пачоли) -- в борьбе абацистов с алгорифмиками | тому, как проективная геометрия соз-далась из | ||||
устанавливается современная система счисления, а в | разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в | ||||
следующем, XVI в. начинает выкри-сталлизовываться и | течение двух веков, так из многообразных отрывочных | ||||
современная алгебра. Система симво-лических обозначений | идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в. | ||||
современной алгебры ведет свое начало от Виеты, | скла-дывается особая дисциплина -- топология К началу | ||||
которому принадлежат и первые приложе-ния алгебры к | XX века относится зарождение векторно-моторного метода | ||||
геометрии. Записав квадратные уравнения в общей форме и | в начертательной геометрии, применяющегося в | ||||
рассматривая неизвестную как отрезок, а коэффициенты | строительной механике, машиностроении. Этот метод | ||||
уравнения как данные отрезки или отноше-ния данных | разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым. | ||||
отрезков, Виета дает общие методы построения | Геометрия Эйнштейна -- Минковского Геометрическая | ||||
неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки. Он | сторона построенной Эйнштейном теории относительности, | ||||
показывает далее, что решение таких же задач 3-й и 4-й | особенно оттененная Минковским, заключается в том, что | ||||
сте-пени всегда может быть приведено к построению двух | мироздание, не в его статическом состоянии в | ||||
сред-них пропорциональных. Во всем этом как будто нет | определенный момент, а во всей его извечной динамике, | ||||
ничего нового; по существу все это было известно | Эйнштейн и Минковский рассматривают как мно-гообразие, | ||||
Евклиду, Герону, Проклу. Но новая, более общая схема | элемент которого определяется четырьмя коорди-натами. | ||||
дает возможность объединить цикл разрозненных задач, | Руководясь тем, что гравитационные силы в мире | ||||
интересовавших гре-ческих геометров, установить общую | дейст-вуют всегда, тогда как другие силы | ||||
их характеристику, рационально классифицировать их по | (электрические, магнит-ные) в каждом месте то | ||||
характеру уравнения, к которому приводит алгебраический | появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью | ||||
метод решения задачи. Все эти приемы в дальнейшем своем | построить риманову геометрию этого четырехмерного | ||||
развитии составили небольшую дисциплину, известную в | многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как | ||||
настоящее время под названием «Приложения алгебры к | пространственные, так и гравитационные соотношения, | ||||
геометрии». Характер-ным для нее является сведение | царящие в мироздании. Задача заключалась, | ||||
решения геометрической задачи к определенному | следовательно, в таком выборе основной дифференциальной | ||||
алгебраическому уравнению или к определенной системе | формы, при которой система правильно отображает эти | ||||
алгебраических уравнений. В этих применениях нет | соотношения в бесконечно малом элементе мира и в | ||||
какого-либо специального, для геометрии придуманного | порядке интегрирования дает возможность выразить | ||||
замысла. Это -- прием, проходящий через приложения | процессы конеч-ные во времени и пространстве. Роль | ||||
алгебры во всех дисциплинах, где она приме-няется для | геометрии в естествознании достигла в этом замысле | ||||
разыскания неизвестных величин: задания выра-жаются | своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о | ||||
определенной системой уравнений, решение которых дает | геометризации физики. Самая, воз-можность такой | ||||
значения неизвестных. Это объединение алгебры с | постановки вопроса достаточно показательна. Более того, | ||||
геометрией вскоре привело к гораздо более углубленному | возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось | ||||
и своеобразному применению алгебраического метода в | получить, основана, если можно так вы-разиться, на | ||||
гео-метрическом исследовании. Промежуточное значение | геометризации самой римановой геометрии. Заключение | ||||
(во вся-ком случае хронологически) имеют идеи Орезма | Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей | ||||
(точнее, Орема), относящиеся к XIV в. Схоластики были | современной математике, и фактически в теории | ||||
очень склон-ны к установлению соотношений между | геометризованной гравитации марселя | ||||
различными величи-нами, соотношений иногда | Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно | ||||
действительно существующих, но чаще иллюзорных. В этом | неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики | ||||
коренилась, конечно, идея функ-циональной зависимости, | Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году | ||||
которой Орезм первый пытался дать графическое выражение | Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей | ||||
-- в виде того, что мы в на-стоящее время называем | данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого | ||||
диаграммой. Вероятно, туманные рассуждения, с которыми | радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский | ||||
этот метод, столь простой но суще-ству, был связан у | и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию | ||||
схоластиков, повели к тому, что метод Орезма в ту пору | данного закона сложения скоростей и сложения отрезков | ||||
значительного распространения не получил и прямого | на плоскости Лобачевского. Предположение Лобачевского, | ||||
влияния на дальнейшую эволюцию геометрии не оказал. В | что реальные геометрические отношения зависят от | ||||
эпоху Возрождения зародилась и так называемая | физической структуры материи, нашло подтверждение не | ||||
изобразительная геометрия. | только в космических масштабах. Современная теория | ||||
5 | Классическая геометрия XIX века. Могло казаться, | 6 | квант все с большей настоятельностью выдвигает | ||
что развитие, которое новая геометрия получила в трудах | необходимость применения геометрии, отличной от | ||||
французских геометров конца XVIII в., привело к | евклидовой, к проблемам микромира. Геометрия претендует | ||||
некоторому завершению ее и что для нового толчка | в качестве наиболее мощного ору-дия точного | ||||
остается ждать эпохи нового Возрождения. Этого, однако, | естествознания на овладение механикой и физи-кой, она | ||||
не случи-лось: XIX век принес с собой новый глубокий | стоит у вершины человеческого знания. Удастся ля ей | ||||
переворот и в содержании геометрии, и в ее методах, и в | действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она | ||||
самых взглядах на ее сущность. Наиболее характерной | это доминирующее место или в порядке иного преодоления | ||||
чертой новой гео-метрии была ее алгебраизация. Но из | разрастающихся противоречий она должна будет его | ||||
самых корней алге-браического метода росли | усту-пить, -- это вопрос будущего, быть может, не столь | ||||
противоречия, имевшие двоякий источник. Во-первых, сама | дале-кого. Геометрия изучает формы, размеры, взаимное | ||||
алгебра не так уж сильна. Границы классической | расположение предметов независимо от их других свойств: | ||||
геометрии определялись теми вопросами, ко-торые | массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает | ||||
алгебраически сводятся к уравнениям 1-й и 2-й сте-пени. | представление о фигурах. их свойствах. взаимном | ||||
Эти уравнения в чрезвычайно простой форме разре-шаются | расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, | ||||
в радикалах. В этом содержится ключ к исследо-ванию | анализировать, делать выводы, то есть логически | ||||
кривых линий и поверхностей 2-го порядка, источник | мыслить. | ||||
простоты и изящества, с которыми геометрия древних | |||||
6 | «Алгебра и геометрия» | Алгебра и геометрия | 31 |