Углы в пространстве Скачать
презентацию
<<  Трёхгранные и многогранные углы Угол между прямой и плоскостью  >>
Многогранные углы
Многогранные углы
Многогранные углы
Многогранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Выпуклые многогранные углы
Выпуклые многогранные углы
Выпуклые многогранные углы
Выпуклые многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Измерение многогранных углов
Измерение многогранных углов
Измерение трехгранных углов*
Измерение трехгранных углов*
Измерение многогранных углов*
Измерение многогранных углов*
Упражнение 10
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 16
Фото из презентации «Многогранный угол» к уроку геометрии на тему «Углы в пространстве»

Автор: *. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Многогранный угол» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Многогранный угол

содержание презентации «Многогранный угол»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Многогранные углы. Поверхность, образованную0 8двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного0
конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, угла единичную сферу и обозначим точки пересечения
An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C.
углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу
не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей на шесть попарно равных сферических двуугольников,
вершины, будем называть многогранной поверхностью. соответствующих двугранным углам данного трехгранного
Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему
двух частей пространства, ею ограниченных, называется сферический треугольник A'B'C' являются пересечением
многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных
многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами углов равна 360о плюс учетверенная величина
многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, трехгранного угла, или ? SA + ? SB + ? SC = 180о + 2 ?
…, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. SABC.
Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, 9Измерение многогранных углов*. Пусть SA1…An –1
указывающими вершину и точки на его ребрах. выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные
2Многогранные углы. В зависимости от числа граней0 углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя
многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, к ним полученную формулу, будем иметь: ? SA1 + … + ?
пятигранными и т. д. SAn = 180о(n – 2) + 2 ? SA1…An. Многогранные углы можно
3Трехгранные углы. Теорема. Всякий плоский угол0 измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти
трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских градусам всего пространства соответствует число 2?.
углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол Переходя от градусов к числам в полученной формуле,
SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол будем иметь: ?SA1+ …+?SAn = ? (n – 2) + 2?SA1…An.
ASC. Тогда выполняются неравенства ?ASB ? ?ASC < 10Упражнение 1. Может ли быть трехгранный угол с3
?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в)
образом, остается доказать неравенство ?ASС < ?ASB + 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; Б) нет; В) да.
?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и 11Упражнение 2. Приведите примеры многогранников, у3
точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только:
ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в)
следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;
треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его Б) октаэдр; В) икосаэдр.
частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В 12Упражнение 3. Два плоских угла трехгранного угла1
треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = равны 70° и 80°. В каких границах находится третий
SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны плоский угол? Ответ: 10о < ? < 150о.
лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. 13Упражнение 4. Плоские углы трехгранного угла равны1
Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями
равный углу ASB, получим требуемое неравенство ?ASС плоских углов в 45°. Ответ: 90о.
< ?ASB + ?BSC. 14Упражнение 5. В трехгранном угле два плоских угла1
4Трехгранные углы. Свойство. Сумма плоских углов0 равны по 45°; двугранный угол между ними прямой.
трехгранного угла меньше 360°. Доказательство. Пусть Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.
SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный 15Упражнение 6. Плоские углы трехгранного угла равны1
угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены
углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол
неравенство ? BAС < ?BAS + ? CAS. Аналогично, для между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ:
трехгранных углов с вершинами B и С имеют место 90о.
неравенства: ? ABС < ? ABS + ? CBS, ? ACB < ? ACS 16Упражнение 7. Каждый плоский угол трехгранного угла1
+ ?BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины
углов треугольника ABC равна 180°, получаем 180°< ? отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен
BAS + ? CAS + ? ABS + ? CBS + ? BCS + ? ACS = 180° - ? перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину
ASB + 180° - ? BSC + 180° - ? ASC. Следовательно, ? ASB этого перпендикуляра.
+ ? BSC + ? ASC < 360° . 17Упражнение 8. Найдите геометрическое место1
5Выпуклые многогранные углы. Многогранный угол0 внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от
называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является
т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения
содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены плоскостей, делящих двугранные углы пополам.
примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. 18Упражнение 9. Найдите геометрическое место1
Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от
многогранного угла меньше 360°. Доказательство его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является
аналогично доказательству соответствующего свойства для вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения
трехгранного угла. плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов
6Вертикальные многогранные углы. На рисунках0 и перпендикулярных плоскостям этих углов.
приведены примеры трехгранных, четырехгранных и 19Упражнение 10. Найдите приближенные значения1
пятигранных вертикальных углов. Теорема. Вертикальные трехгранных углов тетраэдра.
углы равны. 20Упражнение 11. Найдите приближенные значения1
7Измерение многогранных углов. Поскольку градусная0 четырехгранных углов октаэдра.
величина развернутого двугранного угла измеряется 21Упражнение 12. Найдите приближенные значения1
градусной величиной соответствующего линейного угла и пятигранных углов икосаэдра.
равна 180о, то будем считать, что градусная величина 22Упражнение 13. Найдите приближенные значения1
всего пространства, которое состоит из двух развернутых трехгранных углов додекаэдра.
двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного 23Упражнение 14. В правильной четырехугольной1
угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1
пространства занимает данный многогранный угол. см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой
Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую пирамиды.
часть пространства и, значит, его градусная величина 24Упражнение 15. В правильной треугольной пирамиде1
равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдите
n-угольной призме равен половине двугранного угла при трехгранный угол при вершине этой пирамиды.
боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен 25Упражнение 16. В правильной треугольной пирамиде1
, получаем, что трехгранный угол призмы равен . боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный
8Измерение трехгранных углов*. Выведем формулу,0 угол при вершине этой пирамиды.
выражающую величину трехгранного угла через его
25 «Многогранный угол» | Многогранный угол 21
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Mnogogrannyj-ugol/Mnogogrannyj-ugol.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Фото
Презентация: Многогранный угол | Тема: Углы в пространстве | Урок: Геометрия | Вид: Фото