Теорема Пифагора Скачать
презентацию
<<  Теорема Пифагора доказательство История теоремы Пифагора  >>
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Пифагор Самосский
Пифагор Самосский
Треугольники
Треугольники
Доказательство Нильсена
Доказательство Нильсена
Доказательство Бетхера
Доказательство Бетхера
Доказательство Перигаля
Доказательство Перигаля
Доказательство Гутхейля
Доказательство Гутхейля
Квадрат, построенный на гипотенузе
Квадрат, построенный на гипотенузе
Квадрат, построенный на гипотенузе
Квадрат, построенный на гипотенузе
Два различных расположения
Два различных расположения
Доказательства методом дополнения
Доказательства методом дополнения
Доказательство методом вычитания
Доказательство методом вычитания
Упрощенное доказательство Евклида
Упрощенное доказательство Евклида
Доказательство Хоукинсa
Доказательство Хоукинсa
Доказательство основанное на теории подобия
Доказательство основанное на теории подобия
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Попробуйте самостоятельно доказать теорему
Обширная литература
Обширная литература
Фото из презентации «Способы доказательства теоремы Пифагора» к уроку геометрии на тему «Теорема Пифагора»

Автор: Komputer. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Способы доказательства теоремы Пифагора» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 732 КБ.

Скачать презентацию

Способы доказательства теоремы Пифагора

содержание презентации «Способы доказательства теоремы Пифагора»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Теорема Пифагора и неизвестные способы ее0 14Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь0
доказательства. (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и
2Площадь квадрата, построенного на гипотенузе0 CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем
прямоугольного треугольника, равна сумме площадей треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные
квадратов, построенных на его катетах... Это одна из на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем
самых известных геометрических теорем древности, равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат,
называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что
практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Нам квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме
кажется, что если мы хотим дать знать внеземным квадратов, построенных на катетах. Остается доказать,
цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что
то следует посылать в космос изображение Пифагоровой прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие
фигуры. Думается, что если эту информацию смогут части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем
принять мыслящие существа, то они без сложной шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG,
дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг
достаточно развитая цивилизация. точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он
3Пифагор Самосский. (Ок. 580 – ок. 500 г. До н.Э.).1 совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим
4Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое0 половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники
доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого DABGFE и CAJKHB равновелики.
доказательства также не сохранилось никаких следов. 15Другое доказательство методом вычитания.0
Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть Познакомимся с другим доказательством методом
некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора
известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще заключим в прямоугольную рамку, направления сторон
и потому, что в современных школьных учебниках дается которой совпадают с направлениями катетов треугольника.
алгебраическое доказательство теоремы. При этом Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано
бесследно исчезает первозданная геометрическая аура на рисунке, при этом прямоугольник распадается на
теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних несколько треугольников, прямоугольников и квадратов.
мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так
кратчайшим и всегда красивым». Теорема Пифагора гласит: чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе.
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного Эти части следующие:
треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных 16треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5;0
на его катетах». Простейшее доказательство теоремы прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник 7 и квадрат
получается в простейшем случае равнобедренного 9; Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы
прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и остались только квадраты, построенные на катетах. Этими
начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто частями будут: прямоугольники 6 и 7; прямоугольник 5;
посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных прямоугольник 1(заштрихован); прямоугольник
треугольников, чтобы убедиться в справедливости 2(заштрихован); Нам осталось лишь показать, что отнятые
теоремы. части равновелики. Это легко видеть в силу расположения
5Доказательства методом разложения. Существует целый0 фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик
ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики
построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат
так, что каждой части квадрата ,построенного на 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1
гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, (заштрихован);; прямоугольник 7 вместе с квадратом 9
построенных на катетах. Во всех этих случаях для равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
понимания доказательства достаточно одного взгляда на Доказательство закончено.
чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено 17Упрощенное доказательство Евклида. Как в0
единственным словом: "Смотри!", как это доказательствах методом разложения, так и при
делалось в сочинениях древних индусских математиков. доказательстве евклидового типа можно исходить из
Следует, однако, заметить, что на самом деле любого расположения квадратов. Иногда при этом удается
доказательство нельзя считать полным, пока мы не достигнуть упрощений. Пусть квадрат, построенный на
доказали равенства всех соответствующих друг другу одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный
частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, на большем катете), расположен с той же стороны катета,
однако может (особенно при большом количестве частей) что и сам треугольник. Тогда продолжение
потребовать довольно продолжительной работы. противоположной катету стороны этого квадрата проходит
6Доказательство Эпштейна. Начнем с доказательства0 через вершину квадрата, построенного на гипотенузе.
Эпштейна (рис.1) ; его преимуществом является то, что Доказательство в этом случае оказывается совсем
здесь в качестве составных частей разложения фигурируют простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади
исключительно треугольники. Чтобы разобраться в интересующих нас фигур с площадью одного
чертеже, заметим, что прямая CD проведена треугольника(он заштрихован) - площадь этого
перпендикулярно прямой EF. Разложение на треугольники треугольника равна половине площади квадрата и
можно сделать и более наглядным, чем на рисунке. одновременно половине площади прямоугольника.
7Доказательство Нильсена. На рисунке вспомогательные0 18Доказательство Хоукинсa. Приведем еще одно0
линии изменены по предложению Нильсена. доказательство, которое имеет вычислительный характер,
8Доказательство Бетхера . На рисунке дано весьма0 однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно
наглядное разложение Бетхера. опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было
9Доказательство Перигаля. В учебниках нередко0 ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный
встречается разложение указанное на рисунке (так треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так,
называемое "колесо с лопастями"; это чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу
доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D.
построенного на большем катете, проводим прямые, Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим
параллельную и перпендикулярную гипотенузе. теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его
Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа. можно разложить на два равнобедренных треугольника САA'
10Доказательство Гутхейля. Изображенное на рисунке0 и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно SCAA'=b?/2 SCBB'=a?/2 SA'AB'B=(a?+b?)/2 Треугольники
наглядное расположение отдельных частей, что позволяет A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB,
сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c?/2
равнобедренного прямоугольного треугольника. Сравнивая два полученных выражения для площади,
11Доказательство 9 века н.э. Ранее были представлены0 получим: a?+b?=c? Теорема доказана.
только такие доказательства, в которых квадрат, 19Доказательство основанное на теории подобия. В0
построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины
построенные на катетах, с другой, складывались из прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на
равных частей. Такие доказательства называются два треугольника, также являющихся прямоугольными.
доказательствами при помощи сложения ("аддитивными Полученные треугольники будут подобны друг другу и
доказательствами") или, чаще, доказательствами исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь
методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле,
расположения квадратов, построенных на соответствующих сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и
сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий
во многих случаях более выгодно другое расположение угол b. То, что малые треугольники также подобны друг
квадратов. На рисунке квадраты, построенные на катетах, другу, следует из того, что каждый из них подобен
размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и
которая встречается в доказательствах, датируемых не непосредственно.
позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли 20Другие доказательства теоремы Пифагора.0
"стулом невесты". Способ построения квадрата Доказательства, основанные на использовании понятия
со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая равновеликости фигур. Аддитивные доказательства.
часть двух квадратов, построенных на катетах, и Доказательства методом достроения Алгебраический метод
квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный доказательства. Доказательство Вальдхейма.
заштрихованный пятиугольник 5. 21Существует много доказательств теоремы Пифагора,0
12Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба0 проведенных как каждым из описанных методов, так и с
квадрата, построенные на катетах; если же заменить помощью сочетания различных методов. Завершая обзор
треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то примеров различных доказательств, приведем еще рисунки,
получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются
ниже изображены два различных расположения близких к ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих
тому, которое дается на первом рисунке. рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией,
13Доказательства методом дополнения. Наряду с0 а дополнительные построения – пунктирной.
доказательствами методом сложения можно привести 22По этим рисункам попробуйте самостоятельно доказать0
примеры доказательств при помощи вычитания, называемых теорему Пифагора.
также доказательствами методом дополнения. Общая идея 23Заключение. В заключение отметим, что о теореме0
таких доказательств заключается в следующем. От двух Пифагора, ее истории и многих других связанных с ней
равных площадей нужно отнять равновеликие части так, геометрических фактах имеется обширная литература.
чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные 24Список литературы: 1. Ван-дер-Варден Б.Л.2
на катетах, а в другом- квадрат, построенный на Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта,
гипотенузе. Ведь если в равенствах В-А=С и В1-А1=С1 Вавилона и Греции. М., 1959. 2. Глейзер Г.И. История
часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, математики в школе. М., 1982. 3. Еленьский Щ. По следам
то части С и С1 также равновелики. Пифагора. М., 1961. 4. Литцман В. Теорема Пифагора. М.,
14Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной0 1960. 5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.,
пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу 1990.
треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1.
24 «Способы доказательства теоремы Пифагора» | Способы доказательства теоремы Пифагора 3
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Sposoby-dokazatelstva-teoremy-Pifagora/Sposoby-dokazatelstva-teoremy-Pifagora.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Фото
Презентация: Способы доказательства теоремы Пифагора | Тема: Теорема Пифагора | Урок: Геометрия | Вид: Фото
900igr.net > Презентации по геометрии > Теорема Пифагора > Способы доказательства теоремы Пифагора