Системы счисления Скачать
презентацию
<<  Системы счисления Основание системы счисления  >>
На Руси пользовались десятичной алфавитной нумерацией
На Руси пользовались десятичной алфавитной нумерацией
Числа от единицы до миллиона
Числа от единицы до миллиона
Индийские математики
Индийские математики
Неполное частное
Неполное частное
Троичная система
Троичная система
Американские ученые
Американские ученые
Тонкие шнурки
Тонкие шнурки
Фото из презентации «Система счисления чисел» к уроку математики на тему «Системы счисления»

Автор: vig. Чтобы познакомиться с фотографией в полном размере, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все фотографии на уроке математики, скачайте бесплатно презентацию «Система счисления чисел» со всеми фотографиями в zip-архиве размером 206 КБ.

Скачать презентацию

Система счисления чисел

содержание презентации «Система счисления чисел»
Сл Текст Эф Сл Текст Эф
1Системы счисления. Системы счисления - это способы0 16число. Двоичное число. Восьмеричное число.0
записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения Шестнадцатиричное число.
арифметических операций Рассматривая археологические 17Если число записано в десятичной системе, а его0
находки эпохи палеолита, можно заметить, что люди надо перевести в p-ичную систему, то делят это число на
стремились группировать точки, полосы, насечки по 3, 4, p с остатком. Потом делят на p с остатком неполное
5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В частное и т.д., пока не получится неполное частное
древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому равное нулю. Выписывая подряд все остатки, начиная с
предметы стали группировать по 5 или по 10 Пальцевый последнего, получим искомую запись нашего числа.
счет сохранился кое-где и поныне. Историк и математик 18327:2 = 163 остаток 1 7143:16 = 446 7 163:2 = 81 10
Л.Карпинский в книге "История арифметики" 446:16 = 27 14 (E) 81:2 = 40 1 27:16 = 1 11 (B) 40:2 =
сообщает, что на крупнейшей мировой хлебной бирже в 20 0 1:16 = 0 1 20:2 = 10 0 10:2 = 5 0 5:2 = 2 1 2:2 =
Чикаго предложения и запросы, как и цены, объявлялись 1 0 1:2 = 0 1 32710 = 1010001112 714310 = 1BE716.
маклерами на пальцах без единого слова. 19В позиционном представлении целая часть дробного0
2В дальнейшем десяток десятков получил свое название0 числа (выражений, имеющих положительный показатель
(сотня), десяток сотен свое и т.д. Если при пересчете степени) отделяется от дробной части (выражений,
оказывалось 2 сотни, 7 десятков и еще 4 предмета, то имеющих отрицательный показатель степени) с помощью
дважды повторяли знак для сотни, семь раз для десятка и десятичной точки. Например, двоичное число 101.101
4 - знак для единицы. Знаки для единиц, десятков, сотен эквивалентно десятичному числу (1 * 22) + (0 * 21) + (1
были непохожи друг на друга. При такой записи знаки * 20) + (1 * 2-1) + (0 * 2-2) + (1 * 2-3) = 5.62510
можно было располагать в любой порядке, и значение Алгоритм для перевода дробной части другой. Поэтому
записанного числа при этом не менялось Непозиционная необходимо отдельно перевести целую часть числа и
система счисления — система счисления, в которой вес отдельно дробную.
цифры не зависит от ее положения. 20Перевод дробной части производится следующим0
3Подобные системы счисления стали называться0 образом: 0.125 x 2 = 0.250 = 0 + 0.250 0.250 x 2 = 0.5
непозиционными. Непозиционные системы счисления были = 0 + 0.5 0.500 x 2 = 1.000 = 1 + 0.00 0.12510 = 0.0012
более или менее пригодны для выполнения операций 0.2175 x 16 = 3.48 = 3 + 0.48 0.48 x 16 = 7.68 = 7
сложения или вычитания, но совсем не удобны для + 0.68 0.68 x 16 = 10.88 = 10 (A) + 0.88 0.88 x 16 =
умножения и деления. Чтобы облегчить работу, 14.08 = 14 (E) + 0.08 0.08 x 16 = 1.28 = 1 + 0.28
применялись счетные доски абаки Непозиционными были 0.28 x 16 = 4.48 = 4 + 0.48 0.217510 = 0.37AE1416.
системы счисления у древних египтян, греков, римлян и 21Переход от восьмеричной и шестнадцатиричной систем0
славян. Долгое время бытовала алфавитная форма записи. к двоичной и обратно осуществляется очень просто.
А ней каждый значок означал определенное число, при Простота преобразований объясняется тем, что числа 8 и
записи эти числа суммировались. 16 являются целыми степенями двойки. каждый разряд
4На Руси пользовались десятичной алфавитной0 восьмеричной системы преобразуется в некоторое
нумерацией, а чтобы не путать буквы с цифрами, над трехзначное двоичное число каждый разряд 16-ой системы
числами ставился особый значок - титло. преобразуется в 4-значное число 11758 = 1 001 111 1012
5Для обозначения тысяч употреблялся другой знак,0 52816 = 0101 0010 10002 Для перехода от двоичной записи
который ставился слева. Так можно было записывать числа к восьмеричной нужно разбить двоичную запись на группы
от единицы до миллиона, а для больших чисел имелись по три цифры справа налево и каждую группу заменить
свои обозначения. В русских арифметиках XVII века восьмеричным числом. Для перехода от двоичной к
встречаются две системы их записи - "великого шестнадцатеричной на группы по 4 11101111001 = 11 101
числа" 1 000 тысяща 1 000 000 тьма 10 e12 легеон 111 001 = 35718 11101111001 = 111 0111 1001 = 77916.
10 e24 леодр 10 e48 ворон 10e 49 колода. И "малого 22Переведем дробную часть двоичного числа в0
числа ", в которой те же названия имеют совсем десятичный вид (0.1): 0.0001100112 Для этого число
другие величины: тьма - 10 000 легион - 100 000 леодр - необходимо умножать на 10 в двоичной арифметике 1010 =
1 000 000. 10102 Проше умножать в восьмеричной системе 0.110 =
6Римская пятерично-десятичная система использовала0 0.000 110 0112 = 0.0638 1010 = 1 0102 = 128.
шесть букв алфавита, как числа-цифры, кратные пяти и 230.0638 x 128 = 0.7768 = 08 (010) + 0.776 0.7768 x0
еще одну - для обозначения единицы. Нуля в ней нет I V 128 = 11.7548 = 118 (910) + 0.754 0.7548 x 128 =
X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Знаки в числе 11.4708 = 118 (910) + 0.470 0.4708 x 128 = 6.068 = 68
располагали по убыванию, от больших к меньшим и (610) + 0.06 0.068 x 128 = 0.0748 = 08 (010) + 0.74
складывали. Меньшее число, стоящее перед большим из 0.748 x 128 = 11.308 = 118 (910) + 0.3 0.38 x 128 =
него вычитали. Для очень больших цифр значок М 3.68 = 38 (310) + 0.6 0.68 x 128 = 7.48 = 78 (710) +
использовали как индекс, показывающий, сколько тысяч 0.4 0.48 x 128 = 5.08 = 58 (510) + 0.0 0.0001100112 =
записано CLXVIIMDXXXIV = ? 0.0638 = 0.09960937510.
7CLXVIIMDXXXIV = 167534 Поступали и по иному:0 24В ряде как теоретических, так и практических задач0
горизонтальная черта над цифрой показывала ее некоторые системы счисления, отличные от десятичной,
увеличение в тысячу раз _ X = 10 000 двумя представляют известные преимущества. Двоичная система
вертикальными боковыми чертами вместе с горизонтальной счисления для изображения одного и того же диапазона
- в сто тысяч раз _ IVI= 500 000 По свидетельству чисел требует меньшего числа элементов машины для их
древнеримского историка Плиния-старшего, на главной записи, чем десятичная Действительно количество чисел,
римской площади Форуме была воздвигнута гигантская имеющих n разрядов, в системе счисления с основание c
фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он равно n M = c Необходимое для представления этих чисел
изображал число 300, пальцами левой - 55. Вместе это число элементов пропорционально Nc = c*n Зафиксируем
составляло число дней в году в римском календаре. число M и найдем то c для которого Nc достигает
8У древних вавилонян система счисления вначале была0 минимума Из первого равенства находим, что n = ln(M)/
непозиционной, но в последствии они перешли к ln(c).
использованию записи, использующую порядок записи 25Подставив это значение в выражение для Nc , находим0
Позиционная система счисления — система счисления, в Nc = c*ln(M)/ln(c) Легко найти, что минимум этого
которой вес (значение) цифры меняется с изменением выражения достигается при c=e=2,71828... С
положения цифры в числе, но при этом полностью рассматриваемой точки зрения самой выгодной системой
определяется написанием цифры и местом, которое она счисления является троичная. Для изображения всех чисел
занимает. В частности, это означает, что вес цифры не от 1 до 106 в десятичной системе требуется 60 элементов
зависит от значений окружающих ее цифр При этом в (6 позиций по 10 знаков), в двоичной 40, в троичной 38.
отличии от используемой нами системы счисления, в 26Троичная система не получила широкого применения в0
которой значение цифры меняется в 10 раз при цифровых машинах в связи с трудностями конструирования
перемещении на одно место (такую систему называют достаточно надежных быстродействующих элементов с тремя
десятичной) у вавилонян при перемещении знака устойчивыми состояниями В Советском Союзе была создана
происходило изменение значение в 60 раз). Долгое время и несколько лет успешно работала троичная машина. Речь
у вавилонян не было нуля, т.е. знака для пропущенного идет об ЭВМ «Сетунь», разработка которой завершилась в
разряда. Следы вавилонской системы счисления 1959 году в стенах МГУ. Ее главный конструктор —
сохранились до наших дней. (1 час - 60 мин, 1 мин. - 60 Николай Петрович Брусенцов.
с). 27Однако увеличение числа элементов для записи чисел0
9Индийские математики использовали десятичную0 в двоичной системе по сравнению с троичной невелико.
систему. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения Если число элементов, необходимое для записи в двоичной
чисел, индийцы создали в 6 веке способ записи системе, обозначить N2, а для записи в троичной N3, то
использующий лишь 9 цифр Вместо нуля оставляли пустое, N2/N3 = 2*ln(3)/(3*ln(2))= 2*lg10(3)/(3*lg10(2)) ~
а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В 9 1,056.
веке появился особый знак для нуля. Были выработаны 28Используются и другие системы счисления:0
правила выполнения арифметических операций, не Двоично-десятичная система счисления. Десятичные цифры
требующих применения абака, и этот способ от 0 до 9 заменяются представляющими их двоичными
распространился по всему миру. XII в. 1197 1275 1294 тетрадами: 0=0000 , 1=0001 , 2=0010 , 3=0011 , 4=0100 ,
1303 1360 1442. 5=0101 , 6=0110 , 7=0111 , 8=1000 и 9=1001 . Такая
10Такая система возникала около полутора тысяч лет0 запись очень часто используется как промежуточный этап
назад, а в Европу пришла через мавров - арабов, перевода числа из десятичной системы в двоичную или
завоевавших в средние века Пиренеи и юг Франции. обратно. Так как 10 не является точной степенью 2, то
Поэтому и сами цифры называются арабскими. Древнейшая используются не все 16 тетрад, а алгоритмы
известная рукопись с такими цифрами хранится в одном из арифметических операций над многозначными числами здесь
монастырей на севере Испании и датируется 976 годом более сложны, чем в основных системах счисления. И тем
“Мысль - выражать все числа немногими знаками, придавая не менее, двоично-десятичная система счисления
им, кроме значения по форме, еще значение по месту, - применяется даже на этом уровне во многих
настолько проста, что именно из-за ее простоты трудно микрокалькуляторах и некоторых компьютерах (в
оценить насколько она удивительна. Как нелегко прийти к частности, «Ямаха» стандарта MSX) Десятично-тысячная
этому, мы видим ясно на примере величайших гениев система счисления. Система счисления, которой мы обычно
греческой учености - Архимеда и Аполония от которых эта пользуемся, фактически является двойной и имеет
мыль оказалась скрытой” - писал выдающийся французский основания 10 и 1000. Это проявляется как в записи
математик и астроном Лаплас. «длинных» чисел с пробелами (в англоязычном формате –
11Например: 12510 = 1*102 + 2*101 + 5*100. За0 запятыми) между классами (тройками разрядов), так и в
основание системы счисления можно принять любое число правилах чтения. Число читается по классам (т.е.
p, большее 1. Для записи чисел в p - ичной системе разрядам тысячной системы счисления) и лишь внутри
счисления нужно p цифр. Число записанное цифрами ak, класса – по десятичным разрядам.
ak-1 , , a0 в p-ичной системе равно Основание системы 29Уравновешенная троичная система счисления. В0
счисления — отношение весов соседних разрядов основной отличие от обычной троичной системы счисления, вместо
позиционной системы счисления. цифры 2 использует другую цифру – со значением –1. Это
12Наиболее важными особенностями позиционных систем0 позволяет отказаться от особого обозначения для знака
счисления являются следующие: Количество цифр системы числа, так как знак числа определяется знаком его
равно ее основанию. Наибольшая цифра на единицу меньше первой цифры. Кроме того, для этих цифр упрощаются
основания. Каждая цифра числа умножается на основание в таблицы сложения и умножения. Для удобства и большей
степени, значение которой определяется положением выразительности вместо цифр чаще пишутся буквы: -1=N
цифры. Двоичная система счисления является простейшей (negative), 0=O (внешнее сходство), 1=P (positive). Так
среди позиционных систем, так как имеет всего две цифры как получились три подряд идущие буквы алфавита, то
- 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является переход от значения цифры к ее коду (обозначению) или
2. Например двоичное число равно: 1012 = 1*22 + 0*21 + обратно осуществляется одной общей арифметической
1*20 = 4 + 0 + 1 = 510. операцией (не требует логических операций и анализа).
13Десятичное число. Двоичное число. 010. 02. 110. 12.0 Среди первых электронных вычислительных машин была и
210. 102. 310. 112. 410. 1002. 510. 1012. 610. 1102. московская «Сетунь», арифметическое устройство которой
710. 1112. 810. 10002. 910. 10012. 1010. 10102. 1110. базировалось на таком представлении чисел
10112. 1210. 11002. 1310. 11012. 1410. 11102. 1510. Одиннадцатеричная система счисления употребляется в
11112. языке для устного счета народом маори – коренным
14Операции над натуральными числами в p-ичной системе0 населением Новой Зеландии. Двенадцатеричная система
счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь счисления. На ее широкое использование в прошлом явно
разницей, что для каждой системы счисления надо брать указывают названия числительных во многих языках, а
свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета
эти таблицы имеют для двоичной системы счисления 0 + 0 времени, денег и соотношения между некоторыми единицами
= 0 0 – 0 = 0 0 x 0=0 0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 x 1=0 1 + 1 измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток
=10 1 – 1 = 0 1 x 1=1 10 – 1 = 1 1 10 11 + + + 1 1 1 состоит из 12 часов. В русском языке счет часто идет
---- ---- ---- 10 11 100. дюжинами, чуть реже гроссами (по 144=122), но в старину
15Еще в 17 в. Немецкий математик Г.В.Лейбниц0 использовалось и слово для 1728=123. В английском языке
предложил перейти на двоичную систему счисления, но есть особые (а не образованные по общему правилу) слова
этому помешало то, что запись в двоичной форме очень eleven (11) и twelve (12). Английский фунт состоит из
длина При подготовке задач в двоичной системе для 12 шиллингов.
сокращения записи нередко пользуются восьмеричной и 30Американские ученые уверяют, что вплотную0
шестнадцатеричной системами счисления Восьмеричная приблизились к разгадке узелкового письма древних
система счисления. Широко использовалась в инков. Империя инков, которая считается одной из
программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени великих мировых цивилизаций, просуществовала с 1400
практически полностью вытеснена шестнадцатеричной года по 1532 год нашей эры. Древний народ жил в Андах,
системой счисления, однако функции перевода числа из вдоль западного побережья Южной Америки. Сейчас на этой
десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются территории расположены Чили и Колумбия Цветные пучки
в микрокалькуляторах и многих языках программирования шнурков с завязанными на них узелками использовались
Шестнадцатеричная система счисления. Использует индейцами для передачи информации. Эти приспособления
шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их назывались кипу и выглядели следующим образом.
обычном смысле, а затем A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, 31К главной шерстяной или хлопчатобумажной веревке,0
F=15. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко которая могла быть заменена толстой палкой,
используется в программировании для IBM-совместимых подвешивались более тонкие шнурки. Они различались
компьютеров. между собой по цвету и длине и завязывались в простые и
16010. 02. 08. 016. 110. 12. 18. 116. 210. 102. 28.0 сложные узлы. Цвет шнурков, их толщина и длина,
216. 310. 112. 38. 316. 410. 1002. 48. 416. 510. 1012. количество узелков - все это имело свое значение. С
58. 516. 610. 1102. 68. 616. 710. 1112. 78. 716. 810. помощью кипу инки сохраняли важную информацию и
10002. 108. 816. 910. 10012. 118. 916. 1010. 10102. передавали сведения о размере военной добычи и числе
128. A16. 1110. 10112. 138. B16. 1210. 11002. 148. C16. пленных, о собранных налогах и об урожае кукурузы и
1310. 11012. 158. D16. 1410. 11102. 168. E16. 1510. картофеля.
11112. 178. F16. 1610. 100002. 208. 1016. Десятичное
31 «Система счисления чисел» | Система счисления чисел 0
http://900igr.net/fotografii/matematika/Sistema-schislenija-chisel/Sistema-schislenija-chisel.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

67 тем
Фото
Презентация: Система счисления чисел | Тема: Системы счисления | Урок: Математика | Вид: Фото