Картинки на тему «1.Обратные тригонометрические функции» |
| Тригонометрические функции | ||
| << Обратные тригонометрические функции, их графики и свойства | Тригонометрические функции, их свойства и графики >> |
Автор: Дмитрий. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «1.Обратные тригонометрические функции.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 357 КБ.
1.Обратные тригонометрические функции
содержание презентации «1.Обратные тригонометрические функции.ppt»| Сл | Текст | Сл | Текст |
| 1 | 1.Обратные тригонометрические функции. | 6 | рассмотренных в этом пункте. Имеет ли |
| Задача 1. arctg 3 =. Задача 2. | система уравнений. Решения для х > 0, у | ||
| треугольнике АВС, то. В этом пункте мы | > 0 и z> 0? Тогда возможна ее | ||
| хотели бы рассмотреть несколько задач, | геометрическая интерпретация, как в задаче | ||
| связанных с вычислением значений | 8 (рис.10). Но такого треугольника АВС не | ||
| выражений, содержащих обратные | может быть, так как не выполняется | ||
| тригонометрические функции. Ответ: | неравенство. Примечание. Для положительных | ||
| Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. | x,y и z данная система имеет решение, если | ||
| Решение. Стоит только нарисовать клеточный | в правой части третьего уравнения | ||
| фон (рис. 1), как задание выполняется | поставить число. Ответ: нет решений. | ||
| практически устно. ВАМ, arctg 2 =. , arctg | Рис.10. | ||
| 1 =. BAC (. BAC — острый угол | 7 | Задача 9. Площадь этого треугольника | |
| прямоугольного равнобедренного | 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому | ||
| треугольника AВС). Вычислите: Решение. | радиус окружности, вписанной в треугольник | ||
| Поскольку arctg. =. CAD (рис. 2), arcctg 5 | АВС, равен 2. Так как длина гипотенузы АВ | ||
| =. BAD, а угол ВАС — острый в | равна сумме длин катетов АС и ВС без | ||
| прямоугольном равнобедренном. Ответ: | удвоенной длины радиуса вписанной в | ||
| 2 | Задача 3. Решение. Если использовать | треугольник окружности, Решите систему | |
| понятия косинуса и котангенса острого угла | уравнений. Решение. Нетрудно убедиться, | ||
| прямоугольного треугольника, теорему | что х и у положительны. Поскольку. То. | ||
| Пифагора и свойство. Биссектрисы | Числа у, И х являются длинами. | ||
| треугольника, то задача решается почти | Соответственно катетов и гипотенузы | ||
| мгновенно. На рис. 3 изображен треугольник | треугольника. АВС с прямым углом АСВ (рис. | ||
| АВС, Вс = 5, ав = 13. и ВМ - биссектриса. | 11). То. Из второго уравнения системы | ||
| угла АВС. Следовательно, АМ= 13х и АС= 12, | получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8. | ||
| Задача 4. Пифагора имеет длину, равную 9. | Ответ: (10; 6), (10; 8). | ||
| Воспользовавшись подобием прямоугольных | 8 | Задача 10. Очевидно, что 0<х<1, | |
| треугольников ANC и AMB, найдем. | 0 < у < 1, 0<z<1. А сумма | ||
| Вычислите: , В котором. ACB = 90°, МС = | квадратов длин его сторон равна 1». Решите | ||
| 5х, Отсюда. . Тогда. Вычислите. Решение. | систему уравнений. Решение. Первое | ||
| Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС, | уравнение системы задает плоскость, второе | ||
| где АB=BС=41, ВМ. Ас, Вм=40,cn. AB. | — сферу. Если их изобразить, то. Согласно | ||
| (рис.4). Отрезок AM согласно. Теореме. | первому уравнению. (*). Тогда второе | ||
| Видно, что. | уравнение принимает вид. Преобразовав его, | ||
| 3 | 2. Алгебраические выражения. Задача 5. | получаем квадратное уравнение относительно | |
| Выражения. Не решая систему, ответить на | х: Дискриминант этого уравнения равен - | ||
| вопрос, чему равно значение выражения ху + | (у. -1)2. Следовательно, -(у. -1)2. 0. | ||
| yz. По теореме, обратной теореме Пифагора, | Это. Неравенство выполняется при. | ||
| Уравнение системы, можно сделать вывод, | Уравнение (*) можно было преобразовать в | ||
| что у, z и 4 также есть соответственно | квадратное относительно у с решением. | ||
| длины катетов и гипотенузы треугольника | Значение. Находится из первого уравнения. | ||
| BCD. Что число у есть среднее | Примечание. Задачу можно | ||
| пропорциональное. Чисел х и z, и по | переформулировать, например, так: | ||
| теореме, Примечание. Для данной системы | «Определите вид треугольника, периметр | ||
| уравнений задания могут быть и другие. | которого равен. , | ||
| Например, найти. Значение выражения х + у | 9 | Задача 11. Решение. где H=OD (D — | |
| + z или. Часто в алгебре встречаются | центр треугольника АВС). Этот объем можно | ||
| задания, в которых по заданным условиям на | найти иначе: . Это означает, что | ||
| переменные, необходимо найти значение | расстояние от точки О до плоскости АВС | ||
| некоторого выражения, содержащего их. Из | равно радиусу сферы, а значит, плоскость | ||
| условий. , И. Для положительных х, у и z, | касается сферы. Следовательно, точка | ||
| не вычисляя. Их значений, указать | касания является центром треугольника АВС. | ||
| значение. Решение. Привычное задание | Поскольку D(x; у; z) — центр. | ||
| решить систему уравнений. У учащихся | равностороннего треугольника АВС, Решите | ||
| затруднений не вызывает. Однако в данном | систему уравнений. Уравнение x+y+z=3 - | ||
| случае. Нужно, числа х, у и z являются | есть уравнение плоскости (рис. 12), | ||
| соответственно длинами катетов и | пересекающей оси прямоугольной. Декартовой | ||
| гипотенузы треугольника ABD с прямым углом | системы. координат в , А(3;0;0), B(0;3;0), | ||
| D. А, рассмотрев второе. С прямым углом D | С(0; 0; 3). Уравнение. Есть уравнение | ||
| (рис. 6). Третье уравнение системы | сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и | ||
| разрешает утверждать, Обратной. теореме о | радиусом R, Равным. Вычислим расстояние от | ||
| пропорциональных отрезках в прямоугольном | точки О до плоскости AВС. Для этого | ||
| треугольнике, угол АВС — прямой. Теперь | рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объем V | ||
| рассмотрим выражение ху + yz. В каком | тетраэдра равен. Приравняв. И. , Получаем | ||
| отношении находятся числа х и у; z и у; х | H=. где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0;0;3), | ||
| + z и у. Ответ: 12. | то x=y=z. Заменив у и z на х в уравнениях | ||
| 4 | Задача 6. и 13 есть длины сторон | данной системы, получаем x=1. Ответ: (1; | |
| треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. | 1; 1). | ||
| Этот вывод можно сделать, используя. и 12 | 10 | Задача 12. Решение. Рассмотрим | |
| есть длины сторон треугольника ВОС с углом | слагаемые левой части второго уравнения: | ||
| ВОС, равным 135°. На рис. 8 изображены эти | точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 ? х | ||
| треугольники. ACB = 90°. Теперь найдем | ? 10 и -1 ? у ? 5. Ответ: (6; 2). Решите | ||
| площади. Для положительных х, у и z из | систему уравнений. Пусть это расстояние | ||
| условий. Не находя значения х, у и z, | между точками М(х; у) и A(2;-1). Допустим, | ||
| Вычислите значение выражения ху + уz + zx. | что это расстояние между точками М (х;у} и | ||
| Решение. Запишем три условия задачи в виде | В(10; 5). Найдем расстояние между точками | ||
| системы уравнений. По теореме, обратной | А(2; -1) и В(10;5): Итак, второе уравнение | ||
| теореме, Пифагора, числа. И 5 являются | системы можно интерпретировать как | ||
| длинами соответственно. Катетов и | равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право | ||
| гипотенузы. треугольника АОС с прямым | утверждать, что. Составим уравнение прямой | ||
| углом АОС. . Числа х, теорему, обратную | АВ, проходящей через точки А(2; -1) и | ||
| теореме косинусов. Аналогично, x, | B(10; 5). Т.Е. , или Зх — 4у = 10. И. | ||
| Поскольку 52 + 122 = 132, то в | Отсюда. Запишем новую систему: Значит, х = | ||
| треугольнике АВС. треугольников АОВ, АОС, | 6 и у = 2. | ||
| ВОС, АВС. Видно, что значение выражения ху | 11 | 4. Аналитический способ решения. | |
| + yz +zx равно учетверенной площади | Задача 1. Задача 2. Рассмотрим | ||
| треугольника ABC. Итак, xy+yz+zx =120. | аналитический способ решения некоторых | ||
| Ответ:120. | задач, рассмотренных выше, чтобы была | ||
| 5 | Задача 7. Рассуждая так же, как и в | возможность. Учитывая условие, что. | |
| задаче 8, получаем (рис. 9): Для | Получим, что k=1 и. Т.Е. Убедиться в том, | ||
| положительных х, у и z, не вычисляя их | что геометрический подход дает более | ||
| значения из системы уравнений. определите | быстрое, а главное, красивое решение этих | ||
| величину ху + 2уz + Зxz. Так как площадь | задач. Рассмотрим аналитический способ | ||
| треугольника AВС равна 6, то. Ответ: | решения. Решение. Обозначим: Где. Найдем. | ||
| 6 | 3. Системы уравнений. Задача 8. | Таким образом, Ответ: Решим систему | |
| Решению систем уравнений в алгебре | аналитически: Решение: Обозначим | ||
| отводится достаточно большое внимание. Они | уравнение. - (1), | ||
| встречаются и в. Поэтому, тем более, | 12 | (1) -. (2) -. Уравнение. - (2). | |
| интересен такой нестандартный подход к | Заметим, что. А. Сделаем замену. Тогда | ||
| решению некоторых систем. Допустим, что | уравнение (2) системы запишется в виде: | ||
| есть такая тройка положительных чисел х, у | Возведем обе части уравнения в квадрат, | ||
| и z, удовлетворяющая каждому уравнению | получим: Сделаем обратную замену: Получим | ||
| данной системы. треугольника. Значит, | систему: Поскольку мы не следили за | ||
| система не имеет решений. Из промежутка | равносильностью переходов, сделаем | ||
| (1; 25). вариантах ЕГЭ. Уравнений, | проверку: Ответ: (6;2). | ||
| 1.Обратные тригонометрические функции.ppt | |||
1.Обратные тригонометрические функции
«Решение тригонометрических неравенств» - 2. Строим тригонометрический круг с центром на оси Ох. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. Простейшие тригонометрические неравенства sin<1/2. Простейшие тригонометрические неравенства. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2,
«Графики тригонометрических функций» - Y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс). y = cos 0.5x. Перечислите свойства функции у = cos x. Графики тригонометрических функций. Графиком функции у = sin x является синусоида. y =sin (x+ p/4). Y=sin0.5x. y=cos2x. y=-2cosx. Преобразование графиков тригонометрических функций. Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций:
«Тригонометрические неравенства» - Значит t должно удовлетворять условию -?/2<t??/4. Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше 1/2 левее прямой x=1/2. Таким образом, мы приходим к ответу: -?/6+2?n?t?7?/6+2?n, n - целое. Тригонометрическое неравенство cos(t)<a. Тогда t2 > t1, и, как легко понять, t2=?-arcsin(-1/2)=7*?/6.
«Обратная функция» - Построить график функции, обратной данной. Взаимно обратные функции. Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x). Задача. у = f (x), у- ! Обратимая функция. Найти значение х при заданном значении у. Построить функцию, обратную к данной. Свойства обратных функций. Поменяем местами х и у: у = g(x).
«Тригонометрические уравнения» - Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Тригонометрические уравнения. Пример 5. 3 sin x +4 cos x =0; Решить уравнение: Пример 4. sin2 4x = 1/4. Имеют ли смысл выражения: Решение. Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4/3 > 1. Пример 3. Решить уравнение tgx + 2ctgx = 3.
«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы приведения. По тригонометрическим функциям угла ?. Формулы тройных углов. Формулы двойных углов. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы сложения. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим:
