Числа
<<  Преобразование рациональных выражений Алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим  >>
1. Введение
1. Введение
Как известно, если дана прямая линия и на ней дано положительное
Как известно, если дана прямая линия и на ней дано положительное
Подобно тому как положение точки на прямой вполне определяется одним
Подобно тому как положение точки на прямой вполне определяется одним
Пусть всякая точка (a,0) оси абсцисс служит изображением
Пусть всякая точка (a,0) оси абсцисс служит изображением
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
3. Извлечение корней, квадратные уравнения
4.Кубичные уравнения
4.Кубичные уравнения
4.Кубичные уравнения
4.Кубичные уравнения
6. Число действительных корней
6. Число действительных корней
7. Приближённое решение уравнений
7. Приближённое решение уравнений
Так, для рассматриваемого нами многочлена f(x)=x3-5
Так, для рассматриваемого нами многочлена f(x)=x3-5
Картинки из презентации «Алгебраические уравнения произвольных степеней» к уроку алгебры на тему «Числа»

Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Алгебраические уравнения произвольных степеней.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 386 КБ.

Алгебраические уравнения произвольных степеней

содержание презентации «Алгебраические уравнения произвольных степеней.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Алгебраические уравнения произвольных 7положительное значение одного радикала
степеней. складывается с отрицательным значением
21. Введение. Всякий школьник, прежде другого. Пример. Извлечь квадратный корень
всего, умеет решать уравнение первой из числа 21-20?i. Здесь: Т. к. b= -20, т.
степени: если дано уравнение ax+b=0, где е. b<0, то комбинируются значения
а?0, то его единственным корнем будет последних радикалов с разными знаками, т.
число x=­b/a. Школьник знает, также, е.
формулу для решения квадратного уравнения: 8Переходя к вопросу об извлечении корня
ax2­+bx+c=0, где а?0. Именно, Если из любой целой положительной степени n из
коэффициенты уравнения – действительные комплексных чисел можно доказать, что для
числа, то эта формула даёт два различных любого комплексного числа ? существует
действительных корня, когда под знаком ровно n таких различных комплексных чисел,
радикала стоит положительное число, т.е. что каждое из них при возведении в n-ю
b2-4ac>0. Если же b2-4ac=0, то наше степень, даёт число ?. Иными словами
уравнение имеет лишь один корень; его справедлива следующая очень важная
называют в этом случае кратным корнем; при теорема: Корень n-й степени из любого
b2-4ac<0 уравнение вообще не имеет комплексного числа имеет ровно n различных
действительных корней. Наконец, школьник комплексных значений. Эта теорема
умеет решать некоторые типы уравнений применима и к действительным числам,
третьей и четвёртой степеней, а именно те, которые являются частным случаем
решение которых легко сводится к решению комплексных чисел: корень n-й степени из
квадратных уравнений. Примером может действительного числа А имеет ровно n
служить уравнение: ax3+bx2+cx=0, которое различных значений, в общем случае
имеет один корень х=0, а затем после комплексных; действительных среди этих
сокращения на х превращается в квадратное значений, как известно, будет два, одно
уравнение: ax2+bx+c=0. К квадратному или ни одного в зависимости от знака числа
уравнению также сводится уравнение А и чётности числа n. Так, кубичный корень
четвертой степени: ay4+by2+c=0, называемое из единицы имеет три значения: 1, легко
биквадратным; достаточно положить в этом проверяется, что каждое из этих трёх
уравнении y2=x, найти корни полученного значений , взятое в кубе, даёт единицу.
квадратного уравнения и затем извлечь из Значениями корня четвёртой степени для
них квадратные корни. единицы являются числа 1, -1, i и –i. Выше
32. Комплексные числа. Потребность в была приведена формула для извлечения
комплексных числах возникла в связи с тем, квадратного корня из комплексного числа
что из отрицательного действительного a+b?i. Эта формула сводит извлечение
числе нельзя извлечь квадратный корень, указанного корня к извлечению квадратных
оставаясь в области действительных чисел. корней из двух положительных
Это, как мы знаем, приводит к тому, что действительных чисел. К сожалению, при
некоторые квадратные уравнения не имеют n>2 не существует формулы, которая бы
действительных корней; уравнение х2+1=0 выражала корень n-й степени из
будет простейшим из таких уравнений. комплексного числа a+b?i через
Нельзя ли расширить запас чисел так, чтобы действительные значения радикалов из
эти уравнения обладали корнем? Школьнику некоторых вспомогательных действительных
несколько раз приходилось встречаться с чисел; доказано, что такая формула и не
расширением того запаса чисел, которым он может быть получена. Корни n-й степени из
располагает. Он начинал с изучения в комплексных чисел извлекаются, как
элементарной арифметике целых правило, путём перехода к новой записи
положительных чисел. Очень скоро появились этих чисел, т.н. тригонометрической.
и дроби. В курсе алгебры были добавлены 94.Кубичные уравнения. Пусть дано
отрицательные числа, т.е. была получена уравнение x3+a?x2+b?x+c=0. Преобразуем это
система всех рациональных чисел. Наконец, уравнение, положив x=y-а/3, где у- новое
присоединение иррациональных чисел привело неизвестное. Подставим это выражение х в
к системе всех действительных (или наше уравнение, мы получим кубичное
вещественных) чисел. Каждое из этих уравнение относительно некоторого
последовательных расширений запаса чисел неизвестного у, причём более простое, т.к.
позволяло находить корни для некоторых из коэффициент при у2 окажется равным нулю.
тех уравнений, которые раньше, до Коэффициентом при первой степени у и
рассматриваемого расширения, корней не свободным членом будут соответственно
имели. Так, уравнение 2х-1=0 стало числа: т.е. уравнение сокращенно запишется
обладать корнем лишь после введения в виде y3+p?y+q=0. Если мы найдём корни
дробей, уравнение х+1=0 – после введения этого нового уравнения, то, вычитая из них
отрицательных чисел, а уравнение х2-2=0 – по а/3, получим корни исходного уравнения.
лишь после присоединения иррациональных Корни нашего нового уравнения выражаются
чисел. Все это вполне оправдывает ещё один через его коэффициенты при помощи
шаг на пути обогащения запаса чисел, и мы следующей формулы: Каждый из входящих в
в общих числам наметим сейчас, как этот неё кубичных радикалов имеет, как мы
последний шаг осуществляется. знаем, три значения. Нельзя, однако,
4Как известно, если дана прямая линия и комбинировать их произвольным образом.
на ней дано положительное направление, Оказывается, что для каждого значения
отмечена точка О и выбрана единица первого радикала можно указать одно
масштаба (рис. 1), то всякой точке А на единственное значение второго радикала,
этой прямой можно поставить в соответствие что произведение их равно числу –р/3.
её координату, т.е. действительное число, Именно эти два значения радикалов и нужно
выражающее в выбранных единицах масштаба складывать для того, чтобы получить, таким
расстояние от А до О, если А лежит в образом, три корня нашего уравнения.
положительном направлении относительно О, Всякое кубичное уравнение с любыми
или расстояние, взятое со знаком минус, числовыми коэффициентами имеет ,
если А лежит в отрицательном направлении следовательно три корня, в общем случае
относительно О. Всем точками прямой таким комплексных; некоторые из корней могут,
путём ставятся в соответствие различные конечно, совпасть, т.е. превратиться в
действительные числа, причем можно кратный корень. Однако, практическое
доказать, что всякое действительное число значение приведённой формулы весьма
будет при этом использовано. Можно невелико.
считать, следовательно, что точки нашей 105. О решении уравнений в радикалах и о
прямой являются изображениями существовании корней уравнений. Формулы
соответствующих им действительных чисел, для нахождения формул для решения
т.е. что эти числа как бы уложены на уравнений третьей и четвертой степеней
прямую линию. Назовём нашу прямую числовой были найдены еще в XVI веке. В это же
прямой. Нельзя ли расширить запас чисел время начались поиски более сложной
так, чтобы новые числа столь же формулы для решения уравнений пятой
естественным образом изобразились точками степени и более высоких степеней. Эти
плоскости? Такой системы чисел, более поиски безуспешно продолжались до начала
широкой, чем система действительных чисел, XIX века, когда был доказан следующий
у нас пока нет, её нужно построить. замечательный результат: Ни для какого n,
Построение следует начать с указания того, большего или равного пяти , нельзя указать
из какого «материала» будет «строиться» формулу, выражающую корни уравнения через
новая система чисел, т.е. какие объекты его коэффициенты при помощи радикалов.
будут играть роль новых чисел, а затем Если бы существовало уравнение с числовыми
нужно определить, как над этими объектами, коэффициентами, действительными или
т.е. над этими будущими числами, должны комплексными, такое, которое не имело бы
производиться алгебраические операции – ни одного действительного или комплексного
сложение и умножение, вычитание и деление. корня, то возникла бы задача дальнейшего
Так как мы хотим построить такие числа, расширения запаса чисел. В этом, однако,
которые бы изображались всеми точками нет необходимости: комплексных чисел
плоскостями, то проще всего сами точки достаточно для решения любого уравнения с
плоскости рассматривать в качестве новых числовыми коэффициентами. Именно,
чисел. Для того, чтобы эти точки справедлива следующая теорема: Всякое
действительно могли бы считаться числами, уравнение n-й степени с любыми числовыми
следует лишь определить, как производить коэффициентами имеет n корней, комплексных
над ними алгебраические операции, т.е. или, в частности, действительных;
какая точка должна называться суммой двух некоторые из них могут, конечно, совпасть,
точек плоскости, какая – произведением и т.е. оказаться кратными. Эта теорема
т. д. называется «Основной теоремой высшей
5Подобно тому как положение точки на алгебры». Она была доказана Даламбером и
прямой вполне определяется одним Гауссом ещё в XVIII веке, хотя лишь в XIX
действительным числом – его координатой, веке эти доказательства были доведены до
положение всякой точки на плоскости может полной строгости.
быть определено парой действительных 116. Число действительных корней. Пусть
чисел. Для этого возьмем на плоскости две дано уравнение n-й степени. Оно имеет, как
взаимно перпендикулярные прямые, мы знаем, n корней. Первые вопросы,
пересекающиеся в точке О, и на каждой из которые естественно возникают, таковы:
них зададим положительно направление и имеются ли среди них действительные,
отметим единицу масштаба (рис. 2.) Назовём сколько их, где примерно они расположены?
эти прямые осями координат, в частности, Ответ на эти вопросы может быть получен
горизонтальную прямую – осью абсцисс, следующим путем. Обозначим многочлен,
вертикальную – осью ординат. Таким стоящий в левой части уравнения через
образом, вся плоскость разбивается осями f(x). Построим график многочлена f(x).
координат на четыре четверти, которые Пример. Построить график функции
нумеруются так, как указано на рисунке. f(x)=x3-5?x2+2?x+1. Составим таблицу
Положение любой точки А из первой четверти значений многочлена f(x), со значениями ?,
вполне определяется заданием двух лежащими между -1 и 5 и построим график.
положительных действительных чисел – числа График показывает, что все три корня
а, выражающего в выбранных единицах находятся на промежутках (-1;0), (0;1) и
масштаба расстояние от данной точки до оси (4;5). Иногда полезны следующие теоремы,
ординат (абсцисса точки А), и числа b, дающие некоторые сведения о существовании
выражающего в выбранных единицах масштаба действительных и даже положительных
её расстояние до оси абсцисс (ордината корней: Всякое уравнение нечётной степени
точки А). Обратно для любой пары (a,b) с действительными коэффициентами имеет
положительных действительных чисел можно хотя бы один действительный корень. Если в
указать в первой четверти вполне уравнении с действительными коэффициентами
определённую точку, имеющую а своей старший коэффициент А0 и свободный член Аn
абсциссой и b – своей ординатой. имеют разные знаки, то оно имеет хотя бы
Аналогично задаются точки и в других один положительный корень. Если же,
четвертях. Однако, для того чтобы уравнение имеет, кроме того, чётную
обеспечить взаимную однозначность степень, то оно обладает также и хотя бы
соответствия между всеми точками плоскости одним отрицательным корнем. -7. ? f(a).
и парами их координат (a,b), т.е. избежать -1. 0. 1. 1. -1. 2. -7. 3. -11. 4. -7. 5.
того, чтобы нескольким различным точкам 11.
плоскости соответствовала одна и та же 127. Приближённое решение уравнений.
пара координат (a,b), мы считаем Зная значения, между которыми заключены
отрицательными абсциссы точек, лежащих в корни уравнения x3-5?x2+2?x+1=0, мы можем
четвертях II и III, и ординаты точек, уточнить корни уравнения. Пусть, например,
лежащих в четвертях III и VI. Заметим, что нас интересует корень ?2, лежащий между
точки, лежащие на оси абсцисс, задаются нулём и единицей. Вычисляя значения левой
координатами вида (а,0), а точки, лежащие части уравнения при х=0,1; 0,2; 0,3; . . .
на оси ординат, - координатами вида (0,b), ; 0,9 , мы нашли бы, между какими двумя из
где а и b –некоторые действительные числа. этих последовательностей значений для х
Пусть на плоскости даны точки (a,b) и график многочлена f(x) пересекает ось
(c,d). До сих пор мы не знали, что следует абсцисс, т.е. вычислили корень ?2 уже с
подразумевать под суммой и произведением точностью до одной десятой. Продолжая так
этих точек. назовем теперь их суммой точку далее, мы могли бы найти значение корня с
с абсциссой a+c и ординатой b+d, т.е. точностью до одной сотой, и до любой
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Назовём, с нужной точности. Однако, такой метод
другой стороны, произведением заданных связан с громоздкими вычислениями, которые
точек точку с абсциссой ас–bd и ординатой быстро становятся невыполнимыми. Ввиду
ad+bc, т.е. (a,b)?(c,d) = (ас–bd, ad+bc). этого разработаны различные методы,
6Пусть всякая точка (a,0) оси абсцисс определяющие приближённые значения
служит изображением действительного числа действительных корней уравнения. Полезно,
а – своей абсциссы, т.е. отождествим точку сначала найти более узкие границы корня.
(а,0) с самим числом а, то ось абсцисс Для этого вычислим корень с точностью до
просто превратится в числовую прямую. Мы одной десятой. Так f(0,7)=0,293, а f(0,8)=
можем теперь считать, что построенная нами - 0,88, а так как знаки значений различны,
из точек плоскости новая числовая система то 0,7<?2<0,8. Метод состоит в
содержит, в частности, все действительные следующем. Пусть дано уравнение n-й
числа, а именно в качестве точек оси степени, левую часть которого обозначим
абсцисс. Точки оси ординат уже не могут через f(x), и пусть уже известно, что
быть отождествлены с действительными между A и B лежит один действительный
числами. Рассмотрим, например, точку корень. По определённым формулам можно
(0,1), лежащую на оси ординат на найти для корня ? новые границы C и D. При
расстоянии 1 вверх от точки О. Обозначим этом будет или C<?<D, или
эту точку буквой i: i=(0,1), и найдём её D<?<C. Граница С вычисляется по
квадрат в смысле умножения точек формуле: . Тогда, в нашем примере: Формула
плоскости: для границы D требует введения одного
i2=(0,1)(0,1)=(0?0-1?1,0?1+1?0)=(-1,0). нового понятие, которое будет играть у нас
Точка (-1,0) лежит, однако, не на оси лишь служебную роль; по существу же оно
ординат, а на оси абсцисс и поэтому относится к другой части математики,
изображает действительно число -1, т.е. дифференциальному исчислению. Пусть дан
i2= -1. Мы нашли, следовательно, в нашей многочлен n-й степени
новой числовой системе такое число, f(x)=a0?xn+a1?xn-1+a2?xn-2+ . . .
квадрат которого равен действительному +an-2?x2+an-1?x+an . Назовём производной
числу -1, т.е. теперь уже можно извлекать этого многочлена и обозначим f ’(x)
из -1 квадратный корень. Другим значением следующий многочлен (n-1)-й степени: f
этого корня будет точка i = (0, -1). ’(x)=n?a0?xn-1+(n-1) ?a1?xn-2+(n-2)
Построенная нами числовая система, более ?a2?xn-3+ . . . +2?an-2?x+an-1. Он получен
широкая чем система действительных чисел, из многочлена f(x) по следующему правилу:
называется системой комплексных чисел, а каждый член аk?xn-k многочлена f(x)
сами точки плоскости с определёнными выше умножается на показатель степени n-k при
операциями над ними -комплексными числами. х, сам же показатель уменьшается на
Легко показать, используя эти операции, единицу; при этом свободный член an
что всякое комплексное число может быть пропадает, так как можно считать, что
выражено через действительные числа и an=an?x0. От многочлена f ’(x) можно снова
число i. Пусть, в самом деле, дана точка взять производную. Это будет многочлен
(a,b). Ввиду определения сложения (n-2)-й степени, который называется
справедливо равенство (a,b)=(a,0)+(0,b). «второй производной» многочлена f(x) и
Слагаемое (а,0) лежит на оси абсцисс и обозначается f’’(x).
поэтому является действительным числом а. 13Так, для рассматриваемого нами
Второе же слагаемое может быть записано по многочлена f(x)=x3-5?x2+2?x+1 будет: f
определению умножения в виде (0,b)=(b,0) ? ’(x)=3?х2-10?х+2 и f ’’(x)=6?х-10. Граница
(0,1). Первый множитель правой части этого d вычисляется по одной из следующих
равенства совпадает с числом b, а второй формул: Первая из них выбирается если
равен i. Таким образом, (a,b)=a+b ? i, где знаки f ’’(a) и f(а) совпадают. В
сложение и умножение нужно понимать в противном случае выбирается вторая. В
смысле операций над точками плоскости. рассматриваемом примере вторая производная
Получив эту обычную запись комплексных f ’’(х) отрицательна как при а=0.7, так и
чисел, мы сейчас же можем соответственно при b=0.8. Поэтому, так как f(а)>0, то
переписать приведённые выше формулы для следует взять для d вторую формулу. Так
операций над комплексными числами: (a + как f ’(0.8)= - 4.08, то
b?i) + (c + d?i) = (a + c) + (b + d) ?i; d=0.8-(-0.088/(-4.08)=0.8-0.0215?0.7784.
(a + b?i) ? (c + d?i) = (a ? c) + (b ? d) Таким образом, мы нашли для корня ?2
?i; (a + b?i) ? (c + d?i) = a?c + b?c?i + следующие границы, много более узкие, чем
a?d?i + b?d?i2 = (a?c ? b?d) + (b?c + a?d) те, которые были известны нам раньше:
?i; 0.7769<?2<0.7785. Отсюда следует,
73. Извлечение корней, квадратные что если мы возьмём для ?2 среднее
уравнения. Располагая комплексными значение, ?2=0.7777, то сделаем ошибку не
числами, мы можем извлекать квадратный превосходящую 0.008 – полуразности границ
корень не только из числа -1, но и из отрезка. Если полученная точность
любого другого отрицательного недостаточна, то к найденным границам
действительного числа, причём будем можно снова применить этот метод.
получать два различных значения. Именно, 149.Заключение. Мы рассматривали всё
если –а есть отрицательное действительное время уравнения некоторой степени с одним
число, т.е. а>0, то где - положительное неизвестным. Начало этой теории лежало еще
значение квадратного корня из в элементарной алгебре, где после изучения
положительного числа а. Возвращаясь к уравнений первой степени переходят к
решению рассматривавшегося во введении квадратным уравнениям. Однако в
квадратного уравнения с действительными элементарной алгебре был сделан один шаг и
коэффициентами, мы можем теперь сказать, в другом направлении: после изучения
что и в случае это уравнение имеет два одного уравнения первой степени с одним
различных корня, но уже комплексных. неизвестным перешли к рассмотрению системы
Комплексных чисел достаточно и для того, из двух уравнений с двумя неизвестными и
чтобы извлекать корни из любых комплексных системы из трёх уравнений с тремя
чисел. Именно, если дано комплексное число неизвестными. Это направление получает
a+b?i, то где оба раза берётся дальнейшее развитие в курсе высшей
положительное значение радикала . Видно, алгебры, где изучаются методы решения
конечно, что при любых значениях a и b и любой системы из n уравнений c n
первое слагаемое правой части и неизвестными. Теория систем уравнений
коэффициент i будут действительными первой степени и связанные с ними методы
числами. Каждый из этих двух радикалов решения, составляют особую ветвь алгебры –
имеет два значения, которые комбинируются линейную алгебру; по своим применениям в
друг с другом по следующему правилу: если геометрии и в других отраслях математики,
b>0, то положительное значение одного а также в физике и теоретической механике
радикала складывается с положительным она является первой среди всех частей
значением другого, а отрицательное – с алгебры.
отрицательным; если же b<0, то
Алгебраические уравнения произвольных степеней.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/algebraicheskie-uravnenija-proizvolnykh-stepenej-69952.html
cсылка на страницу

Алгебраические уравнения произвольных степеней

другие презентации на тему «Алгебраические уравнения произвольных степеней»

«Степень в корне» - Где n – показатель корня, а – подкоренное число. Проблема. графики пересекаются в точках (-1; 0) и (1; 0). Иррациональные уравнения-уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Очевидно, что уравнение имеет два корня -1 и 1. Тема: Понятие корня n – й степени из действительного числа.

«Степень с отрицательным показателем» - Вычислите: Степень с отрицательным показателем. Решите уравнение. Упростите выражение: Выполните действия. Решите задачу.

«Степени с целым показателем» - Свойства степени с целым показателем (2 ч). Последний слайд семинара… Определение степени с целым отрицательным показателем (2 ч). Полезное тождество: Степени с противоположными показателями – взаимно обратные числа. Степень с целым показателем (5 ч) п.43. Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями (2 ч).

«Уравнения третьей степени» - Ответ более громоздок. Первый пример: В третьем и четвертом случаях говорят, что функция имеет экстремум в точке х =. Предмет исследования: способы решения уравнений третьей степени. Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки х = +. Решение уравнений третьей степени. Объект исследования: уравнения третьей степени.

«Решение уравнений высших степеней» - Найти область определения функции. II этап Самостоятельная работа вариант 1 вариант 2. Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Рефлексия. Физкультминутка. Какие виды уравнений записаны на доске? РАЗМИНКА (проверка д/з). Решение уравнений высших степеней.

«Свойства степени» - Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Куб какого числа равен 64? Свойства степени с натуральным показателем. Мозговой штурм. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности. Применение знаний для решения различных по сложности задач.

Числа

38 презентаций о числах
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Числа > Алгебраические уравнения произвольных степеней