Уравнения
<<  Задачи с параметром Дифференциальное и интегральное исчисление  >>
Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции в точке равен
Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции в точке равен
Производные высших порядков
Производные высших порядков
§ Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций Условия
§ Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций Условия
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Картинки из презентации «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» к уроку алгебры на тему «Уравнения»

Автор: Пахомова Е.Г.. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Дифференциальное исчисление функции одной переменной.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 1248 КБ.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

содержание презентации «Дифференциальное исчисление функции одной переменной.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Дифференциальное исчисление функции 21Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) а)
одной переменной. Дифференциальное непрерывна на отрезке [a, b] б)
исчисление – раздел математики, в котором дифференцируема на интервале (a, b) в) f(
изучаются производные и дифференциалы a ) = f( b ) Тогда найдется хотя бы одна
функций и их применение к исследованию точка С?(a, b), такая, что f '(С) = 0.
функций. § Производная функции Определение f(a)=f(b)>m. f(a)=f(b)<M. Или.
производной функции. Необходимое условие Возможные случаи.
существования производной Пусть y = f(x) 22Теорема Лагранжа (о конечных
определена в точке x0 и некоторой её приращениях). Пусть функция y = f( x ) а)
окрестности. Придадим x0 приращение ?x определена и непрерывна на отрезке [a, b]
такое, что x0 + ?x?D(f) . Функция при этом б) дифференцируема на интервале (a, b).
получит приращение ?f(x0) = f(x0 + ?x) – Тогда найдется хотя бы одна точка С?(a,
f(x0) . b), такая, что. tga=f '(C). Геометрически.
2ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = C1. C. C2.
f(x) в точке x0 называется предел 23Теорема Коши. Пусть функции f( x ) и
отношения приращения функции в этой точке g( x ) а) непрерывны на отрезке [a, b] б)
к приращению аргумента ?x, при ?x ? 0 дифференцируемы на интервале (a, b) и g'(
(если этот предел существует и конечен), x ) ? 0. Тогда найдется хотя бы одна точка
т.е. Обозначают: Производной функции y = С ? (a, b), такая, что.
f(x) в точке x0 справа (слева) называется 24Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
(если этот предел существует и конечен). 25
Обозначают: – производная y = f(x) в точке 26§ Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).
x0 справа, – производная y = f(x) в точке Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы
x0 слева. в окрестности точки x = a и g'(x) ? 0 в
3ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное окрестности x=a. Если и существует , то
условие существо- вания производной). существует конечный предел , причем.
Функция y = f(x) имеет производную в точке Замечание 1. Если f' (x) и g' (x)
x0 ? в этой точке существуют и равны между удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, в
собой производные функции справа и слева. окрестности точки x=a, то правило Лопиталя
Причем ТЕОРЕМА (необходимое условие применяется к отношению производных:
существования производ- ной функции в 27Теорема. (Правило Лопиталя для случая
точке). Если функция y = f(x) имеет ?/? ) Пусть функции f(x) и g(x) а)
производную в точке x0 , то функция f(x) в дифференцируемы в окрестности точки x = a
этой точке непрерывна. Замечание. б) в) g'(x) ? 0 в окрестности x=a.
Непрерывность функции в точке x0 не Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и
является достаточным условием в случае x?? ,т.е. если. Г) тогда
существования в этой точке производной существует конечный предел , причем.
функции. Например, функция y = | x | 28Правило Лопиталя.
непрерывна на всей области опре- деления, 29Правило Лопиталя.
но не имеет производной в точке x0 = 0. 30Определение. Многочленом (полиномом) n
4Теорема. Функция дифференцируема в - го порядка называется функция Pn ( x ) =
точке т. и т.т., когда она имеет a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n где a0 ,
производную в этой точке. Следствие. a1 , …, an – коэффициенты многочлена, n –
Определение. Пусть функция f( x ) натуральные числа. Многочлен полностью
определена на (a,b) и непрерывна в т. x0 определяется своими коэффициентами.
из этого промежутка (a,b). Тогда Определение. Многочленом (полиномом) по
приращению D x отвечает приращение D y = степеням (x – x0) называется функция Pn (
f( x0+Dx ) – f( x0 ) . Если приращение D y x ) = a0 + a1 ( x – x0 ) + a2 ( x – x0 )
может быть представлено в виде суммы 2+ … + an ( x – x0 ) n . § Формула Тейлора
линейной относительно D x б.м.ф и б.м.ф и Маклорена. Определение. Формула
высшего порядка малости относительно D x: называется формулой Тейлора для многочлена
D y = А . Dx + О ( Dx ) (А=const) то Pn(x) .
функцию f( x ) называют дифференцируемой в 31Теорема. Пусть функция f ( x )
точке x0 . А . Dx – дифференциал функции определена на интервале (a, b), имеет в
f( x ) в точке x0. Обозначают: точке x?(a, b) производные до n - го
5Геометрический смысл дифференциала порядка включительно. Тогда при x ? x0
Дифференциал функции в точке равен функция f(x) сходится к своему многочлену
приращению ординаты касательной, Тейлора и можно записать f (x)= f (x0)+ f
проведенной к графику функции в этой ‘ ( x0 )(x – x0) + f‘‘ ( x0 )(x – x0) 2 +
точке, соответствующему приращению … + f (n)( x0 )(x – x0) n +Rn(x). Теорема.
аргумента. Разность между функцией f ( x ) и её
6Соответствие x0 ? f ?(x0) является многочленом Тейлора P ( x ) является б.м.
функцией, определенной на множестве D1? функцией высшего порядка малости по
D(f). Операцию нахождения для функции y = сравнению с ( x – x0 )n f (x) – P (x) =
f(x) её производной функции называют Rn(x) = O ((x – x0)n ). в форме Пеано
дифференцированием функции f(x). Rn(x) = O ((x – x0)n ). Формула называется
УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что формулой Тейлора для функции f ( x ).
(sinx) ? = cosx, (cosx) ? = –sinx, ?x?? Rn(x) - остаточный член.
(ex) ? = ex , (ax) ? = ax ? lna , ?x?? 32f(x)=P(x)+Rn(x).
7Физический и геометрический смысл 33Формула Маклорена – частный случай
производной. 1) Физический смысл формулы Тейлора при x0 = 0. P2(x). P3(x).
производной. Если функция y = f(x) и её P1(x). P4(x). sinx. y. -? ? 0. x.
аргумент x являются физическими 34Стандартные разложения Маклорена.
величинами, то производная f ?(x) – Уметь получать разложения.
скорость изменения величины y относительно 35§ ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
величины x . ПРИМЕРЫ. а) Пусть S = S(t) – Определение. Функция y=f(x) называется а)
расстояние, проходимое точкой за время t. возрастающей на (a,b), если ?x1, x2?(a,b)
Тогда производная S ? (t0) – скорость в при x1< x2 f(x1)<f(x2); b) убывающей
момент времени t0. б) Пусть q = q(t) – на (a,b), если ?x1, x2?(a,b) при x1< x2
количество электричества, протекающее f(x1)>f(x2); c) невозрастающей на
через поперечное сечение проводника в (a,b), если ?x1, x2?(a,b) при x1< x2
момент времени t. Тогда q ? (t0) – f(x1)?f(x2); а) неубывающей на (a,b), если
скорость изменения количества ?x1, x2?(a,b) при x1< x2 f(x1)?f(x2).
электричества в момент времени t0, т.е. Пример невозрастающей функции. f(x1)=
сила тока в момент времени t0. в) Пусть m f(x2) > f(x3). x1 < x2 < x3.
= m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m ? 36Определение. Говорят, что f '(x)
(x) – скорость изменения массы в точке x0, меняет знак в точке x0 , если существует
т.е. линейная плотность в точке x0. окрестность точки x0: (x0-?, x0+?), в
82) Геометрический смысл производной. которой при x<x0 f '(x) сохраняет один
Пусть ? – некоторая кривая, M0 – точка на знак, а при x>x0 – противоположный.
кривой ?. Любая прямая, пересекающая ? не Определение. Точки, в которых f '(x) =0
менее чем в двух точках, называется называются стационарными точками.
секущей. Касательной к кривой ? в точке M0 Определение. Точки, в которых f '(x) =0
называется предельное положение секущей или не существует, называются критическими
M0M1, если точка M1 стремится к M0, точками. Возможные варианты стационарных и
двигаясь по кривой. Очевидно, что если критических точек. Нет экстр.
касательная к кривой в точке M0 37Теорема. (1ый Достаточный признак
существует, то она единственная. существования экстремума) Пусть y=f(x)
9Рассмотрим кривую y = f(x). Пусть в непрерывна в интервале, содержащем
точке M0(x0 ; f(x0)) она имеет критическую точку x0, дифференцируема во
невертикальную касатель- ную M0N. Таким всех точках этого интервала, кроме может
образом, получили: f ?(x0) – угловой быть самой x0, тогда а) если при переходе
коэффициент касательной к графику функции слева направо через x0 производная f '(x)
y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)). меняет знак с «+» на «-», то в точке x0
(геометрический смысл производной функции функция f(x) имеет максимум; b) если знак
в точке). ?Уравнение касательной к кривой производной меняется с «-» на «+», то в
y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) можно точке x0 функция f(x) имеет минимум.
записать в виде. Теорема. (Второй достаточный признак
10Замечания. 1) Прямая, проходящая через существования экстремума) Если в
точку M0 перпендикулярно касательной, критической точке x0 функции y=f(x)
проведенной к кривой в точке M0, обращается в ноль не только первая
называется нормалью к кривой в точке M0. производная, но и все последующие до
Т.к. для угловых коэффициентов (n-1)-й включительно, т.е. f '(x0)= f ''
перпендикулярных прямых справедливо (x0)= f ''' (x0)=…= f (n-1)(x0)=0, а f
равенство k1 ? k2 = –1 , то уравнение (n)(x0)?0, тогда x0 будет точкой
нормали к y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) экстремума, если n – четное; x0 не будет
будет иметь вид , если f ?(x0) ? 0. Если точкой экстремума, если n – нечетное.
же f ?(x0) = 0, то касательная к кривой y Характер экстремума определяется знаком f
= f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) - (n)(x0)?0. При f (n)(x0)<0 - в x0
горизонтальная прямая, уравнение которой y максимум, при f (n)(x0)>0 - в x0
= f(x0), а нормаль – вертикальная прямая, минимум.
уравнение которой x = x0. 38Теорема. (Достаточное условие
112) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке выпуклости и вогнутости кривой) Пусть y =
M0(x0 ; f(x0)) вертикальную касательную f (x) непрерывна на [a,b], и имеет в (a,
M0N , ? – угол наклона секущей M0M1 к Ox. b) производную до второго порядка
Таким образом, если кривая y = f(x) имеет включительно, тогда а) если во всех точках
в точке M0(x0 ; f(x0)) вертикальную интервала (a, b) вторая производная
касательную, то функция y = f(x) не имеет функции f (x) отрицательна: f '' (x) <
в точке x0 производной. Так как в соседних 0, то кривая на (a, b) выпукла; b) если во
с M0 точках кривая y = f(x) имеет всех точках интервала вторая производная
касательные и их угол наклона к оси Ox положительна: f '' (x) > 0, то кривая
стремится к 90? при ?x ? 0, то x0 является на (a, b) вогнута. Определение. Кривая
для функции f(x) точкой разрыва II рода, обращена выпуклостью вверх на (a,b), если
причем. все точки кривой лежат ниже любой ее
12Правила дифференцирования. 1) касательной на (a,b). Кривая называется
Производная постоянной функции равна нулю, выпуклой. Определение. Кривая обращена
т.е. C ? = 0, где С – константа. 2) выпуклостью вниз на (a,b), если все точки
Производная суммы (разности) равна сумме кривой лежат выше любой ее касательной на
(разности) производных, т.е. Производная этом интервале. Кривая называется
произведения находится по правилу: вогнутой. Выпуклость, вогнутость, точки
Замечание. Формула дифференцирования перегиба.
произведения может быть легко обобщена на 39Определение. Точка (x0;y0), лежащая на
случай большего числа множителей. кривой f(x), называется точкой перегиба
Например, функции y=f(x), если существует
13, где С – константа. Говорят: окрестность точки x0 такая, что при x<
«постоянный множитель выносится за знак x0 кривая лежит по одну сторону
производной». 5) Производная дроби касательной, при x > x0 - по другую
находится по правилу: 6) Если функция ?(t) сторону касательной. Теорема. (Достаточное
имеет производную в точке t, а функция условие существования точки перегиба)
f(u) имеет производную в точке u = ?(t), Пусть в точке x0 выполнены необходимые
то сложная функция y = f(?(t)) имеет условия существования точки перегиба, и
производную в точке t, причем (правило пусть при переходе через эту точку f ''
дифференцирования сложной функции). 7) (x) меняет знак, тогда точка x0 является
ТЕОРЕМА (о производной обратной функции). точкой перегиба графика функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в 40Определение. Прямая называется
точке x0, причем f ?(x0) ? 0. Если асимптотой кривой y = f ( x ), если
существует обратная функция x = ?(y), то расстояние от точки M кривой f ( x ) до
она имеет производную в точке y0 = f(x0) данной прямой ? 0 при неограниченном
и. удалении т. М от начала координат. Опр.
14УПРАЖНЕНИЯ. 1) Зная, что (sinx) ? = Прямая y = k x + b называется наклонной
cosx, (cosx) ? = –sinx, (ex) ? = ex, асимптотой графика функции f ( x ) при x ?
получить формулы 2) Используя теорему о ± ?, если. Теорема. (Критерий
производной обратной функции, доказать, существования наклонной асимптоты) Для
что. того, чтобы прямая y = k x + b была
15По определению и с помощью правил наклонной асимптотой, необходимо и
дифференцирования находят производные достаточно, чтобы существовали пределы.
основных элементарных функций (таблица Асимптоты кривых.
производных). Производная любой 41Общий план исследования функции и
элементарной функции находится с помощью построения графиков. D(y) – область
таблицы производных и правил непрерывности Найти, охарактеризовать
дифференцирования. точки разрыва, выделить вертикальные
16Производные высших порядков. асимптоты Четность, нечетность
17§ Теоремы о среднем значении для Периодичность Промежутки возрастания,
дифференцируемых функций Условия убывания; точки min, max Промежутки
монотонности функции. выпуклости, вогнутости; точки перегиба
18 Наклонные асимптоты графика функции
19Необходимое условие существования Дополнительные точки: 1) пересечение с
экстремума функции. осями координат 2) f(xmin), f(xmax) 3)
20Теорема Ферма Геометрическая f(xперегиб) Построение графика функции.
интерпретация. Замечание. X0-Dx.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/differentsialnoe-ischislenie-funktsii-odnoj-peremennoj-76860.html
cсылка на страницу

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

другие презентации на тему «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Переменный ток» - Переменный ток. Генератор переменного тока. ЭЗ 25.1 Получение переменного тока при вращении катушки в магнитном поле. Определение. Переменным током называется электрический ток, изменяющийся во времени по модулю и направлению.

«Многочлен с одной переменной» - S(x) — частное, a q(x) — делитель. Решение: Тождество (1) можно прочесть иначе: Остаток от деления многочлена р(х) на двучлен х – а равен р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а). Будем подставлять выписанные значения поочередно в выражение для р(х): Разложение многочлена на множители. Теорема Безу.

«Свойства функции 8 класс» - Построим график функции. Вы верно заметили, что записанные свойства одинаковые. Свойства функции. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. yнаим =0 при x = 0 , yнаиб не существует. Определите формулу графика данной функции. Область определения – луч [0, +?). y = 0 при x = 0; y > 0 при x > o. Функция непрерывна на луче [0, +?).

«Предел переменной» - Определение. lim a=a; lim (x+y+z+…+t)=lim x+lim y+…+lim t; lim (xy…t)=lim x lim y …lim t; lim (cx)=c lim x; lim (x/y)=(lim x) / (lim y); Вычислить пределы: Предел переменной величины. Найти предел. F(x)=x+2, при х 1. Определение: f(0,9)=2,9 f(0,99)=2,99 f(0,999)=2,999 f(1,1)=3,1 f(1,01)=3,101. Основные свойства пределов:

«Линейное уравнение с двумя переменными» - Линейное уравнение с двумя переменными. Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения: Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Определение: -Что называется уравнением с двумя переменными?

«Переменные Visual Basic» - Byte, short, integer, long, single, double – типы числовых значений. Переменные: тип, имя, значение. Пример программного кода Visual Basic. Имена переменных. A = 216 b = -31576 c = 3.1415926 D = “visual basic” А = А - 10. Переменная. Объявление переменных. Типы переменных. Присваивание переменным значений.

Уравнения

49 презентаций об уравнениях
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Уравнения > Дифференциальное исчисление функции одной переменной