Комбинаторика
<<  Элементы комбинаторики Элементы комбинаторики  >>
Историческая справка
Историческая справка
Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов,
Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов,
Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов,
Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов,
Историческая справка
Историческая справка
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Размещения с повторениями
Размещения с повторениями
Решение задачи
Решение задачи
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Сочетания
Сочетания
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Пример использования:
Пример использования:
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Проверь себя
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Пример использования
Пример использования
Пример использования
Пример использования
Задача №1
Задача №1
Задача №2
Задача №2
Задача №3
Задача №3
Задача №4
Задача №4
Задача №5
Задача №5
Картинки из презентации «Элементы комбинаторики» к уроку алгебры на тему «Комбинаторика»

Автор: Антон. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Элементы комбинаторики.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 1333 КБ.

Элементы комбинаторики

содержание презентации «Элементы комбинаторики.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Элементы комбинаторики. Электронное 35разные. Сколькими способами можно
учебно-методическое пособие для учащихся составить расписание на среду?
9-11 классов. Автор-составитель: Каторова 36Проверь себя. В классе изучаются 7
О.Г., учитель математики МБОУ «Гимназия предметов. В среду 4 урока, причем все
№2» г.Саров. разные. Сколькими способами можно
2Комбинаторика. Комбинаторика – это составить расписание на среду? Решение.
раздел математики, в котором изучаются 37Размещения с повторениями. Размещения
вопросы выбора или расположения элементов с повторениями – соединения, содержащие n
множества в соответствии с заданными элементов, выбираемых из элементов m
правилами. «Комбинаторика» происходит от различных видов ( ) и отличающиеся одно от
латинского слова «combina», что в переводе другого либо составом, либо порядком
на русский означает – «сочетать», элементов. Их количество в предположении
«соединять». неограниченности количества элементов
3Историческая справка. Термин каждого вида равно.
"комбинаторика" был введён в 38Пример использования. В библиотеку, в
математический обиход всемирно известным которой есть много одинаковых учебников по
немецким учёным Г.В.Лейбницем, который в десяти предметам, пришло 5 школьников,
1666 году опубликовал "Рассуждения о каждый из которых хочет взять учебник.
комбинаторном искусстве". В XVIII Библиотекарь записывает в журнал по
веке к решению комбинаторных задач порядку названия (без номера) взятых
обращались и другие выдающиеся математики. учебников без имен учеников, которые их
Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о взяли. Сколько разных списков в журнале
разбиении чисел, о паросочетаниях, о могло появиться?
циклических расстановках, о построении 39Решение задачи. Так как учебники по
магических и латинских квадратов. каждому предмету одинаковые, и
Г.В.Лейбниц. библиотекарь записывает лишь название (без
4Комбинаторика занимается различного номера),то список – размещение с
рода соединениями (перестановки, повторением, число элементов исходного
размещения, сочетания), которые можно множества равно 10, а количество позиций –
образовать из элементов некоторого 5. Тогда количество разных списков равно =
конечного множества. 100000. Ответ: 100000.
5Комбинаторные соединения. Перестановки 40Проверь себя! 1. Телефонный номер
Перестановки без повторений Перестановки с состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число
повторениями Размещения Размещения без звонков неудачник-Петя может совершить
повторений Размещения с повторениями прежде, чем угадает правильный номер.
Сочетания Сочетания без повторений Решение. Решение.
Сочетания с повторениями. 41Проверь себя! 1. Телефонный номер
6Перестановки – соединения, которые состоит из 7 цифр. Какое наибольшее число
можно составить из n элементов, меняя звонков неудачник-Петя может совершить
всеми возможными способами их порядок. прежде, чем угадает правильный номер.
Формула: Решение. Т.к. цифры могут повторяться, то
7Историческая справка. В 1713 году было всего возможно разных номеров. Если Петя
опубликовано сочинение Я. Бернулли невезучий, он должен будет звонить 10
"Искусство предположений", в миллионов раз. Ответ: 10000000.
котором с достаточной полнотой были 42Проверь себя! 2. Сколькими способами
изложены известные к тому времени можно написать слово, составленное из
комбинаторные факты. "Искусство четырех букв английского алфавита?
предположений" не было завершено Решение.
автором и появилось после его смерти. 43Проверь себя! 2. Сколькими способами
Сочинение состояло из 4 частей, можно написать слово, составленное из
комбинаторике была посвящена вторая часть, четырех букв английского алфавита?
в которой содержится формула для числа Решение. В английском алфавите 26 букв,
перестановок из n элементов. буквы могут повторяться, значит,
8Пример. Сколькими способами могут 8 количество слов равно (26 элементов и 4
человек встать в очередь к театральной позиции) Ответ:
кассе? Решение задачи: Существует 8 мест, 44Проверь себя! 3. В магазине, где есть
которые должны занять 8 человек. На первое 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8
место может встать любой из 8 человек, мячей. Сколькими способами можно это
т.е. способов занять первое место – 8. сделать, если их расположение имеет
После того, как один человек встал на значение?
первое место, осталось 7 мест и 7 человек, 45Проверь себя! 3. В магазине, где есть
которые могут быть на них размещены, т.е. 4 вида мячей, решили поставить в ряд 8
способов занять второе место – 7. мячей. Сколькими способами можно это
Аналогично для третьего, четвертого и т.д. сделать, если их расположение имеет
места. Используя принцип умножения, значение? Решение. Разных видов мячей 4,
получаем произведение . Такое произведение позиций 8, т.е. количество различных
обозначается как 8! (читается 8 факториал) размещений будет равно = 65536. Ответ:
и называется перестановкой P8. Ответ: P8 = 65536 способов.
8! 46Проверь себя! 4. Сколькими способами
9Проверь себя. 1) Сколькими способами можно пришить на костюм клоуна в линию
можно поставить рядом на полке четыре шесть пуговиц одного из четырех цветов,
различные книги? чтобы получить узор?
10Проверь себя. 1) Сколькими способами 47Проверь себя! Сколькими способами
можно поставить рядом на полке четыре можно пришить на костюм клоуна в линию
различные книги? Решение. На первое место шесть пуговиц одного из четырех цветов,
можно поставить одну из четырех книг, на чтобы получить узор? Решение. Видимо,
вторую – любую из трех, на третье – любую количество пуговиц каждого вида велико,
из двух и на четвертое – последнюю поэтому для определения количества
оставшуюся книгу. Применяя последовательно способов можно воспользоваться формулой
правило произведения, получим Р(4) = размещений с повторениями. Оно равно =
4х3х2х1=24. Ответ: 24 способа. 1296 (6 позиций и 4 вида). Ответ: 1296
11Проверь себя. 2) Сколькими способами способов.
можно положить 10 различных открыток в 10 48Сочетания. Сочетания – соединения,
имеющихся конвертов (по одной открытке в содержащие по m предметов из n,
конверт)? различающихся друг от друга по крайней
12Проверь себя. 2) Сколькими способами мере одним предметом. Сочетания – конечные
можно положить 10 различных открыток в 10 множества, в которых порядок не имеет
имеющихся конвертов (по одной открытке в значения.
конверт)? Решение. По формуле перестановки 49Сочетания. Формула нахождения
находим: Р(10)= 10! =1х2х3х…х9х10=3628800. количества сочетаний без повторений:
Ответ: 3628800 способа. 50Историческая справка. В 1666 году
13Проверь себя. 3) Сколькими способами Лейбниц опубликовал "Рассуждения о
можно рассадить восьмерых детей на восьми комбинаторном искусстве". В своём
стульях в столовой детского сада? сочинении Лейбниц, вводя специальные
14Проверь себя. 3) Сколькими способами символы, термины для подмножеств и
можно рассадить восьмерых детей на восьми операций над ними, находит все k
стульях в столовой детского сада? Решение. -сочетания из n элементов, выводит
По формуле перестановки находим: Р(8)= 8! свойства сочетаний: , ,
=1х2х3х…х7х8=40320. Ответ: 40320 способа. 51Пример использования: Сколькими
15Проверь себя. 4) Сколько различных способами можно выбрать двух дежурных из
слов можно составить, переставляя местами класса, в котором 25 учеников? Решение: M
буквы в слове «треугольник» (считая и само = 2 (необходимое количество дежурных) n =
это слово)? 25 (всего учеников в классе).
16Проверь себя. 4) Сколько различных 52Проверь себя! 1) Сколькими способами
слов можно составить, переставляя местами можно делегировать троих студентов на
буквы в слове «треугольник» (считая и само межвузовскую конференцию из 9 членов
это слово)? Решение. По формуле научного общества?
перестановки находим: Р(11)= 11! = 53Проверь себя! 1) Сколькими способами
1х2х3х…х10х11= 39916800. Ответ: 39916800 можно делегировать троих студентов на
слов. межвузовскую конференцию из 9 членов
17Проверь себя. 5) Сколькими способами научного общества? Решение:
можно установить дежурство по одному 54Проверь себя! 2) Десять участников
человеку в день среди семи учащихся группы конференции обменялись рукопожатиями,
в течение 7 дней (каждый должен отдежурить пожав руку каждому. Сколько всего
один раз)? рукопожатий было сделано?
18Проверь себя. 5) Сколькими способами 55Проверь себя! 2) Десять участников
можно установить дежурство по одному конференции обменялись рукопожатиями,
человеку в день среди семи учащихся группы пожав руку каждому. Сколько всего
в течение 7 дней (каждый должен отдежурить рукопожатий было сделано? Решение:
один раз)? Решение. По формуле 56Проверь себя! 3) В школьном хоре 6
перестановки находим: Р(7)= 7! = девочек и 4 мальчика. Сколькими способами
1х2х3х…х6х7= 5040. Ответ: 5040 способа. можно выбрать из состава школьного хора 2
19Перестановки с повторениями. Всякое девочек и 1 мальчика для участия в
размещение с повторениями, в котором выступлении окружного хора?
элемент а1 повторяется k1 раз, элемент a2 57Проверь себя! 3) В школьном хоре 6
повторяется k2 раз и т.д. элемент an девочек и 4 мальчика. Сколькими способами
повторяется kn раз, где k1, k2, ..., kn — можно выбрать из состава школьного хора 2
данные числа, называется перестановкой с девочек и 1 мальчика для участия в
повторениями порядка m = k1 + k2 + … + kn, выступлении окружного хора? Решение:
в которой данные элементы a1, a2, …, an 58Проверь себя! 4) Сколькими способами
повторяются соответственно k1, k2, .., kn можно выбрать 3 спортсменов из группы в 20
раз. человек для участия в соревнованиях?
20Перестановки с повторениями. P. 59Проверь себя! 4) Сколькими способами
Теорема. Число различных перестановок с можно выбрать 3 спортсменов из группы в 20
повторениями из элементов {a1, …, an}, в человек для участия в соревнованиях?
которых элементы a1, …, an повторяются Решение:
соответственно k1, ..., kn раз, равно 60Проверь себя! 5) В классе 10 учебных
(k1+k2+…+kn)! m! k1! k2! … kn! k1! k2! … предметов и 5 разных уроков в день.
kn! Сколькими способами могут быть
21Пример. Р =. Р1,3,2 =. Слова и фразы с распределены уроки в один день?
переставленными буквами называют 61Проверь себя! 5) В классе 10 учебных
анаграммами. Сколько анаграмм можно предметов и 5 разных уроков в день.
составить из слова «макака»? Решение. m! Сколькими способами могут быть
=. =. 60. k1! k2! …kn! 6! 4*5*6. 2. 1! 3! распределены уроки в один день? Решение:
2! Всего в слове «МАКАКА» 6 букв (m=6). 62Сочетания с повторениями. Определение
Определим сколько раз в слове используется Сочетаниями с повторениями из m по n
каждая буква: «М» - 1 раз (k1=1) «А» - 3 называют соединения, состоящие из n
раза (k2=3) «К» - 2 раза (k3=2). элементов, выбранных из элементов m разных
22Проверь себя. 1) Сколько различных видов, и отличающиеся одно от другого хотя
слов можно получить, переставляя буквы бы одним элементом. Число сочетаний из m
слова "математика" ? по n обозначают.
23Проверь себя. 1) Сколько различных 63Сочетания с повторениями. Если из
слов можно получить, переставляя буквы множества, содержащего n элементов,
слова "математика" ? Решение. выбирается поочередно m элементов, причём
Всего в слове «МАТЕМАТИКА» 10 букв (m=10). выбранный элемент каждый раз возвращается
Определим, сколько раз в слове обратно, то количество способов произвести
используется каждая буква: «М» - 2; «А» - неупорядоченную выборку – число сочетаний
3; «Т» - 2; «Е» - 1; «И» - 1; «К» -1. (k1, с повторениями – составляет.
k2, … , kn). 64Историческая справка. Крупнейший
24Проверь себя. 2) Сколькими способами индийский математик Бхаскара Акария
можно расставить на первой горизонтали (1114–1185) также изучал различные виды
шахматной доски комплект белых фигур комбинаторных соединений. Ему принадлежит
(король, ферзь, две ладьи, два слона и два трактат "Сидханта–Широмани"
коня)? ("Венец учения"), переписанный в
25Проверь себя. 2) Сколькими способами XIII в. на полосках пальмовых листьев. В
можно расставить на первой горизонтали нём автор дал словесные правила для
шахматной доски комплект белых фигур нахождения и ,указав их применения и
(король, ферзь, две ладьи, два слона и два поместив многочисленные примеры.
коня)? Решение. Комплект белых шахматных 65Пример использования. Задача №1
фигур состоит из 8 фигур: 1 король, 1 Сколько наборов из 7 пирожных можно
ферзь, 2 ладьи, 2 слона и 2 коня (m=8; k1, составить, если в распоряжении имеются 4
k2, … , kn). сорта пирожных? Решение:
26Проверь себя. 3) У мамы 2 яблока, 3 66Пример использования. Задача №2
груши и 4 апельсина. Каждый день в течение Сколько костей находится в обычной игре
девяти дней подряд она дает сыну один из "домино"? Решение: Кости домино
оставшихся фруктов. Сколькими способами можно рассматривать как сочетания с
это может быть сделано? повторениями по две из семи цифр множества
27Проверь себя. 3) У мамы два яблока, (0,1,2,3,4,5,6). Число всех таких
три груши и четыре апельсина. Каждый день сочетаний равно.
в течение девяти дней подряд она дает сыну 67Проверь себя. Задача 1. В буфете
один из оставшихся фруктов. Сколькими Гимназии продаются 5 сортов пирожков: с
способами это может быть сделано? Решение. яблоками, с капустой, картошкой, мясом и
У мамы всего 9 фруктов: два яблока, три грибами. Скольким числом способов можно
груши и четыре апельсина. (k1, k2, … , сделать покупку из 10 пирожков?
kn). 68Задача №1. Решение: Ответ: 1001.
28Историческая справка. Комбинаторные 69Проверь себя. Задача 2. В коробке
мотивы можно заметить еще в символике лежат шары трех цветов—красного, синего и
китайской «Книги перемен» (V век до н. зеленого. Сколькими способами можно
э.). В XII в. индийский математик Бхаскара составить набор из двух шаров?
в своём основном труде «Лилавати» подробно 70Задача №2. Решение: Ответ: 6.
исследовал задачи с перестановками и 71Проверь себя. Задача 3. Сколькими
сочетаниями, включая перестановки с способами можно выбрать 4 монеты из
повторениями. четырех пятикопеечных монет и из четырех
29Размещения. Размещением из n элементов двухкопеечных монет?
по k ( ) называется любое множество, 72Задача №3. Решение: порядок выбора
состоящее из любых k элементов, взятых в монет неважен, и примерами соединений
определенном порядке из n элементов. Два могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2},
размещения из n элементов считаются {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе
различными, если они отличаются самими сочетаний из двух видов монет по четыре с
элементами или порядком их расположения. повторениями. Ответ: 5.
30Пример. Сколькими способами из 40 73Проверь себя. Задача 4. Сколько будет
учеников класса можно выделить актив в костей домино, если в их образовании
следующем составе: староста, физорг и использовать все цифры?
редактор стенгазеты? Решение: Требуется 74Задача №4. Решение: число костей
выделить упорядоченные трехэлементные домино можно рассматривать как число
подмножества множества, содержащего 40 сочетаний из 10 чисел по 2 с повторениями.
элементов, т.е. найти число размещений без Ответ: 55.
повторений из 40 элементов по 3. 75Проверь себя. Задача 5. Палитра юного
31Проверь себя. 1. Из семи различных импрессиониста состоит из 8 различных
книг выбирают четыре. Сколькими способами красок. Художник берет кистью наугад любую
это можно сделать? из красок и ставит цветное пятно на
32Проверь себя. Из семи различных книг ватмане. Затем берет следующую кисть,
выбирают четыре. Сколькими способами это окунает её в любую из красок и делает
можно сделать? Решение. второе пятно по соседству. Сколько
33Проверь себя. 2. В чемпионате по различных комбинаций существует для шести
футболу участвуют десять команд. Сколько пятен?
существует различных возможностей занять 76Задача №5. Решение: Ответ: 1716.
командам первые три места? 77Используемая литература. Алгебра и
34А = =720. Проверь себя. 2. В начала математического анализа.11 класс/
чемпионате по футболу участвуют десять Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова,
команд. Сколько существует различных М.И.Шабунин. – М.:Просвещение, 2011.
возможностей занять командам первые три Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М., 1969
места? Решение. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – МЦМНО, 2010
35Проверь себя. 3. В классе изучаются 7 ru.wikipedia.org›wiki/История
предметов. В среду 4 урока, причем все комбинаторики.
Элементы комбинаторики.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/elementy-kombinatoriki-86860.html
cсылка на страницу

Элементы комбинаторики

другие презентации на тему «Элементы комбинаторики»

«Задачи по комбинаторике» - Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Правило умножения. Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Задача № 3. Решение: 3 * 2 = 6 (способ). Комбинаторика. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера. Задача №1. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера?

«Перестановки элементов» - Дискретный анализ. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Формальное описание алгоритма. Комбинаторика. Задача о минимуме скалярного произведения. Экзаменационные вопросы. Перестановки. Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок. Нумерация множества. Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности.

«Элементы статистики» - Представление результатов наблюдений при помощи рисунков и таблиц Построение и интерпретация статистических диаграмм Определение средней арифметической, моды и медианы статистического ряда. Элементы математической статистики. С целью проверки успеваемости по математике каждому из 50 учеников было предложено по 20 задач.

«Названия химических элементов» - То в покое пребывали: Алюминий, натрий, калий, Фтор, бериллий, водород... Д. И. Менделеев родился в Сибири, в Тобольске, и был семнадцатым ребенком в большой семье. Джон дальтон (1766 - 1844). Fe. Нескучного труда вам!!! Дорогие ребята! Произношение символа как звучит название элемента по-латыни. Алхимики очень долго обходились без химических формул.

«Элементы металлы» - Покажите как распределяются электроны в атомах гелия и неона. «Простые вещества – неметаллы. Периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева. Злато, олово, свинец… Аллотропия серы. Строение внешнего электронного слоя атомов гелия и неона. Кристаллическая, пластическая и моноклинная. Красный и белый фосфор.

«Комбинаторика 9 класс» - Между четырьмя игроками в домино поровну распределяется 28 костей. В классе 25 учеников. Алгебра. Тема 1. Знакомство с комбинаторикой. Элементы статистики и теории вероятностей. По какой формуле вычисляются перестановки? Контрольная работа по теме: «Элементы комбинаторики». Ответы и решения. 1-я группа.

Комбинаторика

25 презентаций о комбинаторике
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Комбинаторика > Элементы комбинаторики