Элементы комбинаторики и теория вероятностей |
Вероятность | ||
<< Элементы комбинаторики и ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ | Классическое определение вероятности >> |
![]() Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, |
![]() История комбинаторики |
![]() История комбинаторики |
![]() История комбинаторики |
![]() Теория вероятностей |
Автор: N. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Элементы комбинаторики и теория вероятностей.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 282 КБ.
Сл | Текст | Сл | Текст |
1 | Элементы комбинаторики и теория | 10 | Перечислительная комбинаторика (или |
вероятностей. Подготовила: Стацуро Н.Н. | исчисляющая комбинаторика) рассматривает | ||
Учитель математики МБОУ СОШ № 2 села | задачи о перечислении или подсчёте | ||
Александров-Гай. | количества различных конфигураций | ||
2 | СОдержание. 1.Комбинаторика 2.История | (например, перестановок) образуемых | |
комбинаторики 3.Разделы комбинаторики | элементами конечных множеств, на которые | ||
4.Открытие проблемы 5.Примеры | могут накладываться определённые | ||
комбинаторных конфигураций и задач | ограничения, такие как: различимость или | ||
6.Теория вероятностей 7.История теории | неразличимость элементов, возможность | ||
вероятностей. | повторения одинаковых элементов и т. п. | ||
3 | Термин «комбинаторика» был введён в | Количество конфигураций, образованных | |
математический обиход Лейбницем, который в | несколькими манипуляциями над множеством, | ||
1666 году опубликовал свой труд | подсчитывается согласно правилам сложения | ||
«Рассуждения о комбинаторном искусстве». | и умножения. Типичным примером задач | ||
Иногда под комбинаторикой понимают более | данного раздела является подсчёт | ||
обширный раздел дискретной математики, | количества перестановок. | ||
включающий, в частности, теорию графов. | 11 | Разделы комбинаторики. Структурная | |
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц - немецкий | комбинаторика К данному разделу относятся | ||
философ, математик, юрист, дипломат. | некоторые вопросы теории графов, а также | ||
4 | История комбинаторики. Древний период | теории матроидов. Экстремальная | |
Комбинаторные мотивы можно заметить в | комбинаторика Примером этого раздела может | ||
символике китайской «Книги Перемен» (V век | служить следующая задача: какова | ||
до н. э.). По мнению её авторов, всё в | наибольшая размерность графа, | ||
мире комбинируется из различных сочетаний | удовлетворяющего определённым свойствам. | ||
мужского и женского начал, а также восьми | Теория Рамсея Теория Рамсея изучает | ||
стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, | наличие регулярных структур в случайных | ||
огонь, облака и небо. Историки отмечают | конфигурациях элементов. Примером | ||
также комбинаторные проблемы в | утверждения из теории Рамсея может служить | ||
руководствах по игре в Го и другие игры. | следующее: в группе из 6 человек всегда | ||
Большой интерес математиков многих стран с | можно найти трёх человек, которые либо | ||
древних времён неизменно вызывали | попарно знакомы друг с другом, либо | ||
магические квадраты. Классическая задача | попарно незнакомы. В терминах структурной | ||
комбинаторики: «сколько есть способов | комбинаторики это же утверждение | ||
извлечь m элементов из N возможных» | формулируется так: в любом графе с 6 | ||
упоминается ещё в сутрах древней Индии | вершинами найдётся либо клика, либо | ||
(начиная примерно с IV века до н. э.). | независимое множество размера 3. | ||
Индийские математики, видимо, первыми | 12 | Разделы комбинаторики. Вероятностная | |
открыли биномиальные коэффициенты и их | комбинаторика Этот раздел отвечает на | ||
связь с биномом Ньютона. Во II веке до н. | вопросы вида: какова вероятность | ||
э. индийцы знали, что сумма всех | присутствия определённого свойства у | ||
биномиальных коэффициентов степени n равна | заданного множества. Топологическая | ||
2n. | комбинаторика Аналоги комбинаторных | ||
5 | История комбинаторики. Античные греки | концепций и методов используются и в | |
также рассматривали отдельные | топологии, при изучении дерева принятия | ||
комбинаторные задачи, хотя систематическое | решений, частично упорядоченных множеств, | ||
изложение ими этих вопросов, если оно и | раскрасок графа и др. | ||
существовало, до нас не дошло. Хрисипп | 13 | Открытые проблемы. Комбинаторика, и в | |
(III век до н. э.) и Гиппарх (II век до н. | частности, теория Рамсея, содержит много | ||
э.) подсчитывали, сколько следствий можно | известных открытых проблем, подчас с | ||
получить из 10 аксиом; методика подсчёта | весьма несложной формулировкой. Например, | ||
нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось | неизвестно, при каком наименьшем N в любой | ||
более миллиона, а у Гиппарха — более | группе из N человек найдутся 5 человек, | ||
100000. Аристотель при изложении своей | либо попарно знакомых друг с другом, либо | ||
логики безошибочно перечислил все | попарно незнакомых (хотя известно, что 49 | ||
возможные типы трёхчленных силлогизмов. | человек достаточно). | ||
Аристоксен рассмотрел различные | 14 | Примеры комбинаторных конфигураций и | |
чередования длинных и коротких слогов в | задач. Для формулировки и решения | ||
стихотворных размерах. Какие-то | комбинаторных задач используют различные | ||
комбинаторные правила пифагорейцы, | модели комбинаторных конфигураций. | ||
вероятно, использовали при построении | Примерами комбинаторных конфигураций | ||
своей теории чисел и нумерологии | являются: Размещением из n элементов по k | ||
(совершенные числа, фигурные числа, | называется упорядоченный набор из k | ||
пифагоровы тройки и др.). Магический | различных элементов некоторого | ||
квадрат на гравюре Дюрера «Меланхолия». | n-элементного множества. Перестановкой из | ||
6 | История комбинаторики. Средневековье В | n элементов (например чисел 1,2,…,n) | |
XII веке индийский математик Бхаскара в | называется всякий упорядоченный набор из | ||
своём основном труде «Лилавати» подробно | этих элементов. Перестановка также | ||
исследовал задачи, связанные с | является размещением из n элементов по n. | ||
перестановками и сочетаниями, включая | Сочетанием из n по k называется набор k | ||
перестановки с повторениями. В Западной | элементов, выбранных из данных n | ||
Европе ряд глубоких открытий в области | элементов. Наборы, отличающиеся только | ||
комбинаторики сделали два еврейских | порядком следования элементов (но не | ||
исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и | составом), считаются одинаковыми, этим | ||
Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). | сочетания отличаются от размещений. | ||
Ибн Эзра обнаружил симметричность | Композицией числа n называется всякое | ||
биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал | представление n в виде упорядоченной суммы | ||
явные формулы для их подсчёта и применения | целых положительных чисел. Разбиением | ||
в задачах вычисления числа размещений и | числа n называется всякое представление n | ||
сочетаний. Несколько комбинаторных задач | в виде неупорядоченной суммы целых | ||
содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII | положительных чисел. | ||
век). Например, он поставил задачу найти | 15 | Теория вероятностей. Теория | |
наименьшее число гирь, достаточное для | вероятностей — раздел математики, | ||
взвешивания любого товара весом от 1 до 40 | изучающий закономерности случайных | ||
фунтов. | явлений: случайные события, случайные | ||
7 | История комбинаторики. Новое время | величины, их свойства и операции над ними. | |
Джероламо Кардано написал математическое | График плотности вероятности нормального | ||
исследование игры в кости, опубликованное | распределения — одной из важнейших функций | ||
посмертно. Теорией этой игры занимались | изучаемых в рамках теории вероятностей. | ||
также Тарталья и Галилей. В историю | 16 | История теории вероятности. | |
зарождавшейся теории вероятностей вошла | Возникновение теории вероятностей как | ||
переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ | науки относят к средним векам и первым | ||
с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были | попыткам математического анализа азартных | ||
затронуты несколько тонких комбинаторных | игр (орлянка, кости, рулетка). | ||
вопросов. Помимо азартных игр, | Первоначально её основные понятия не имели | ||
комбинаторные методы использовались (и | строго математического вида, к ним можно | ||
продолжают использоваться) в криптографии | было относиться как к некоторым | ||
— как для разработки шифров, так и для их | эмпирическим фактам, как к свойствам | ||
взлома. Джероламо (Джироламо, Иероним) | реальных событий, и они формулировались в | ||
Кардано -итальянский математик, инженер, | наглядных представлениях. | ||
философ, медик и астролог, в его честь | 17 | История теории вероятности. Самые | |
назван карданный вал. | ранние работы учёных в области теории | ||
8 | История комбинаторики. Блез Паскаль - | вероятностей относятся к XVII веку. | |
французский математик,физик,литератор и | Исследуя прогнозирование выигрыша в | ||
философ. Блез Паскаль много занимался | азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма | ||
биномиальными коэффициентами и открыл | открыли первые вероятностные | ||
простой способ их вычисления: «треугольник | закономерности, возникающие при бросании | ||
Паскаля». Хотя этот способ был уже | костей. Под влиянием поднятых и | ||
известен на Востоке (примерно с X века), | рассматриваемых ими вопросов решением тех | ||
Паскаль, в отличие от предшественников, | же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При | ||
строго изложил и доказал свойства этого | этом с перепиской Паскаля и Ферма он | ||
треугольника. Наряду с Лейбницем, он | знаком не был, поэтому методику решения | ||
считается основоположником современной | изобрёл самостоятельно. Его работа, в | ||
комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» | которой вводятся основные понятия теории | ||
придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему | вероятностей (понятие вероятности как | ||
было тогда 20 лет) опубликовал книгу | величины шанса; математическое ожидание | ||
«Рассуждения о комбинаторном искусстве». | для дискретных случаев, в виде цены | ||
Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц | шанса), а также используются теоремы | ||
понимал чрезмерно широко, включая в него | сложения и умножения вероятностей (не | ||
всю конечную математику и даже логику. | сформулированные явно), вышла в печатном | ||
Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из | виде на двадцать лет раньше (1657 год) | ||
основателей теории вероятностей, изложил в | издания писем Паскаля и Ферма (1679 год). | ||
своей книге «Искусство предположений» | 18 | История теории вероятности. Важный | |
(1713) множество сведений по | вклад в теорию вероятностей внёс Якоб | ||
комбинаторике. | Бернулли: он дал доказательство закона | ||
9 | История комбинаторики. В этот же | больших чисел в простейшем случае | |
период формируется терминология новой | независимых испытаний. В первой половине | ||
науки. Термин «сочетание» (combination) | XIX века теория вероятностей начинает | ||
впервые встречается у Паскаля (1653, | применяться к анализу ошибок наблюдений; | ||
опубликован в 1665 году). Термин | Лаплас и Пуассон доказали первые | ||
«перестановка» (permutation) употребил в | предельные теоремы. Во второй половине XIX | ||
указанной книге Якоб Бернулли (хотя | века основной вклад внесли русские учёные | ||
эпизодически он встречался и раньше). | П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. | ||
Бернулли использовал и термин «размещение» | Ляпунов. В это время были доказаны закон | ||
(arrangement). После появления | больших чисел, центральная предельная | ||
математического анализа обнаружилась | теорема, а также разработана теория цепей | ||
тесная связь комбинаторных и ряда | Маркова. Современный вид теория | ||
аналитических задач. Абрахам де Муавр и | вероятностей получила благодаря | ||
Джеймс Стирлинг нашли формулы для | аксиоматизации, предложенной Андреем | ||
аппроксимации факториала. Окончательно | Николаевичем Колмогоровым. В результате | ||
комбинаторика как самостоятельный раздел | теория вероятностей приобрела строгий | ||
математики оформилась в трудах Эйлера. Он | математический вид и окончательно стала | ||
детально рассмотрел, например, следующие | восприниматься как один из разделов | ||
проблемы.: Задача о ходе коня Задача о | математики. | ||
семи мостах, с которой началась теория | 19 | Источник:http://www.myshared.ru/slide/ | |
графов Построение греко-латинских | 9973/http://images.yandex.ru/yandsearch?st | ||
квадратов Обобщённые перестановки Кроме | pe=image&lr=47&noreask=1&sourc | ||
перестановок и сочетаний, Эйлер изучал | =psearch&text=%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7 | ||
разбиения, а также сочетания и размещения | D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F% | ||
с условиями. Внимание к конечной | 0%D0%BD%D0%B0%20%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83%2 | ||
математике и, в частности, к комбинаторике | %D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0 | ||
значительно повысилось со второй половины | D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1% | ||
XX века, когда появились компьютеры. | 1%D0%BA%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D | ||
Сейчас это чрезвычайно содержательная и | %B1%D0%B5%D1%81%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0 | ||
быстроразвивающаяся область математики. | BD%D0%BE. | ||
10 | Разделы комбинаторики. | 20 | Спасибо за просмотр!). |
Перечислительная комбинаторика | |||
Элементы комбинаторики и теория вероятностей.ppt |
«Перестановки элементов» - Нумерация перестановок. Задача о минимальном числе инверсий. Комбинаторика. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Перебор перестановок элементарными транспозициями. Задача о минимуме скалярного произведения. Формальное описание алгоритма. Нумерация множества. Перестановки. Перебор перестановок.
«Теория вероятности» - Ю.В.Линника. Б.П.Гнеденко ( 1912-1995 ). Из истории «Теории вероятностей». А.Я. Хинчин (1894 - 1959). Ю.В.Линник (1915 - 1972). С.Н.Бернштейн (1880 - 1968). Однако правильный ответ не так прост.). Б.П.Гнеденко, Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.
«Вероятность» - Два студента по очереди берут по одному билету. Далее, из условия задачи следует, что: Предпоследняя задача. 4. Имеется три одинаковых по виду ящика. Решение: Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. 5. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0.00001.
«Задачи на вероятность» - Просто мы неверно считали шансы. Пример 1. Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Решение : Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение задач. По результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}. Решение.
«Размещение элементов» - Формулы: Для числа выборов двух элементов из n данных: Размещение и сочитание. Комбинаторика. Для любых натуральных чисел n и k где n>k,справедливы равенства: Сочетание. Размещение. В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов.
«Названия химических элементов» - Нескучного труда вам!!! Свинец. Об авторе. “Только упорством и трудом можно достичь результатов”. Цели. Обозначение химических элементов алхимиками. Автор презентации. Произношение символа, соответствующей букве латинского алфавита. Другие названия напрямую связаны с мифами древних греков. То кружились, то мелькали, То водили хоровод, То взрывались, то пылали, То шипели, то сверкали.