Статистика
<<  Элементы математической статистики Классификация статистических методов  >>
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b]
Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b]
Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b]
Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b]
Полигон и гистограмма
Полигон и гистограмма
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
Полигон
Полигон
Кумулята
Кумулята
Например, для оценки математического ожидания нормального
Например, для оценки математического ожидания нормального
Если оценка
Если оценка
Если оценка
Если оценка
Таким образом, использование статистической оценки, математическое
Таким образом, использование статистической оценки, математическое
Выборочные среднее и дисперсия
Выборочные среднее и дисперсия
Выборочные среднее и дисперсия
Выборочные среднее и дисперсия
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Для охарактеризования рассеяния наблюдае-мых значений количественного
Для охарактеризования рассеяния наблюдае-мых значений количественного
Для охарактеризования рассеяния наблюдае-мых значений количественного
Для охарактеризования рассеяния наблюдае-мых значений количественного
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:
В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии
В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии
Интервальной называют оценку, определяю-щуюся двумя числами – концами
Интервальной называют оценку, определяю-щуюся двумя числами – концами
Интервальной называют оценку, определяю-щуюся двумя числами – концами
Интервальной называют оценку, определяю-щуюся двумя числами – концами
Соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал
Соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал
Соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал
Соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал
Определение доверительных интервалов
Определение доверительных интервалов
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Будем рассматривать выборочное среднее , как случайную величину (т
Так как случайная величина X распределена нормально, то и ее
Так как случайная величина X распределена нормально, то и ее
Так как случайная величина X распределена нормально, то и ее
Так как случайная величина X распределена нормально, то и ее
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Используем формулу Заменим X на и
Число t определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят
Число t определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят
2) увеличение надежности оценки
2) увеличение надежности оценки
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
Плотность распределения Стьюдента имеет вид: где некоторая постоянная,
Плотность распределения Стьюдента имеет вид: где некоторая постоянная,
Плотность распределения Стьюдента имеет вид: где некоторая постоянная,
Плотность распределения Стьюдента имеет вид: где некоторая постоянная,
С помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал
С помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал
Плотность распределения
Плотность распределения
Вероятность того, что неравенство равна: Из этого уравнения можно по
Вероятность того, что неравенство равна: Из этого уравнения можно по
Вероятность того, что неравенство равна: Из этого уравнения можно по
Вероятность того, что неравенство равна: Из этого уравнения можно по
Картинки из презентации «Элементы математической статистики» к уроку алгебры на тему «Статистика»

Автор: Долгих Е.В.. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Элементы математической статистики.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 1056 КБ.

Элементы математической статистики

содержание презентации «Элементы математической статистики.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Элементы математической статистики. 42центральный эмпирический момент второго
2Оглавление. Основные понятия порядка равен выборочной дисперсии.
математической статистики. Способы отбора. 43Асимметрия – это свойство
Вариационный ряд для дискретных и распределения частот. На практике
непрерывных случайных величин. Полигон и симметричные полигоны и гистограммы не
гистограмма. Числовые характеристики встречаются, и, чтобы выявить и оценить
рядов. Статистические моменты рядов степень асимметрии, вводят число,
распределения. Теоретические называемое коэффициентом асимметрии:
распределения. Выборочные среднее и 44Чтобы упростить вычисление Ass можно
дисперсия Интервальные оценки параметров использовать следующую формулу: где –
генеральной совокупности. среднее отклонение, т. е. совокупность
3Основные понятия математической отклонений каждого значения от среднего,
статистики. Современную математическую взятого по модулю, а ?в– выборочное
статистику можно определить как науку о среднее квадратическое отклонение.
принятии решений в условиях Асимметрия в этом уравнении принимает
неопределенности, так как она значения от –3 до +3.
разрабатывает способы определения числа 45Эксцессом вариационного ряда
необходимых испытаний до начала называется число Эксцесс – это мера
исследования (планирование эксперимента), «крутости» кривой распределения
в процессе исследования (последовательный вариационного ряда. Эта кривая
анализ) и решает многие другие аналогичные распределения может быть островершинной,
задачи. плосковершинной, средневершинной.
4Выборочной совокупностью или случайной 46Статистические моменты рядов
выборкой называют совокупность случайно распределения. Теоретические
отобранных объектов. Генеральной распределения. Пусть требуется изучить
совокупностью называют совокупность некоторый количественный признак
объектов, из которых производится выборка. генеральной совокупности. Допустим, что из
Объемом совокупности (выборочной или теоретических соображений удалось
генеральной) называют число объектов этой установить, какое именно распределение
совокупности. Например, если из 1000 имеет признак и необходимо оценить
деталей отбирается для обследования 100, параметры, которыми оно определяется.
то объем генеральной совокупности N=1000, 47Например, если изучаемый признак
а объем выборки n = 100. распределен в генеральной совокупности
5При составлении выборки можно нормально, то нужно оценить математическое
поступать двумя способами: после того как ожидание и среднее квадратическое
объект отобран и исследован, его можно отклонение; если признак имеет
возвратить или не возвращать в генеральную распределение Пуассона – то необходимо
совокупность. В связи с этим выборки оценить параметр ?.
подразделяются на повторные и 48Обычно имеются лишь данные выборки,
бесповторные. Повторной называют выборку, например значения количественного признака
при которой отобранный объект (перед , полученные в результате n независимых
отбором следующего) возвращается в наблюдений. Рассматривая как независимые
генеральную совокупность. При бесповторной случайные величины можно сказать, что
выборке отобранный объект в генеральную найти статистическую оценку неизвестного
совокупность не возвращается. параметра теоретического распределения –
6Выборка должна правильно представлять это значит найти функцию от наблюдаемых
пропорции генеральной совокупности, т.е. случайных величин, которая дает
выборка должна быть репрезентативной приближенное значение оцениваемого
(представительной). В силу закона больших параметра.
чисел можно утверждать, что выборка будет 49Например, для оценки математического
репрезентативной, если ее осуществить ожидания нормального распределения роль
случайно: каждый объект выборки отобран функции выполняет среднее арифметическое:
случайно из генеральной совокупности, если Для того чтобы статистические оценки
все объекты имеют одинаковую вероятность давали корректные приближения оцениваемых
попасть в выборку. Если объем выборки параметров, они должны удовлетворять
достаточно велик, а выборка составляет некоторым требованиям, среди которых
лишь незначительную часть совокупности, то важнейшими являются требования
различие между повторной и бесповторной несмещенности и состоятельности оценки.
выборкой стирается. 50Пусть ?*– статистическая оценка
7Способы отбора. На практике неизвестного параметра ? теоретического
применяются различные способы отбора, распределения. Пусть по выборке объема n
которые можно подразделить на два вида: найдена оценка ?* 1. Повторим опыт, т. е.
Отбор, не требующий расчленения извлечем из генеральной совокупности
генеральной совокупности на части. Сюда другую выборку того же объема и по ее
относятся а) простой случайный данным получим другую оценку ?* 2.
бесповторный отбор и б) простой случайный Повторяя опыт многократно, получим
повторный отбор. Отбор, при котором различные числа . Оценку можно
генеральная совокупность разбивается на рассматривать, как случайную величину, а
части. Сюда относятся а) типический отбор, числа – как ее возможные значения.
б) механический отбор и в) серийный отбор. 51Если оценка ?* дает приближенное
8Вариационный ряд для дискретных и значение с избытком, т. е. каждое число ?*
непрерывных случайных величин. Пусть из i больше истинного значения ? то, как
генеральной совокупности извлечена следствие, математическое ожидание
выборка, причем значение исследуемого (среднее значение) случайной величины ?*
параметра наблюдалось раз, - раз и т. д. больше, чем ?*: Аналогично, если ?* дает
При этом объем выборки. Наблюдаемые оценку с недостатком, то.
значения называют вариантами, а 52Таким образом, использование
последовательность вариант, записанных в статистической оценки, математическое
возрастающем порядке – вариационным рядом. ожидание которой не равно оцениваемому
Числа наблюдений называют частотами, а их параметру, привело бы к систематическим
отношения к объему выборки - (одного знака) ошибкам. Если, напротив, ,
относительными частотами. то это гарантирует от систематических
9X. x1. x2. ….. xm. n. n1. n2. …. nm. ошибок.
Вариационный ряд можно представить 53Несмещенной называют статистическую
таблицей вида: оценку ?*, математическое ожидание которой
10X. x1. x2. ….. xm. w. w1. w2. …. wm. равно оцениваемому параметру ? при любом
Статистическим распределением выборки объеме выборки Смещенной называют оценку,
называют перечень вариант и не удовлетворяющую этому условию.
соответствующих им относительных частот. 54Несмещенность оценки еще не
Статистическое распределение можно гарантирует получения хорошего приближения
представить как: для оцениваемого параметра, так как
11Заметим, что в теории вероятностей под возможные значения могут быть сильно
распределением понимают соответствие между рассеяны вокруг своего среднего значения,
возможными значениями случайной величины и т. е. дисперсия может быть значительной.
их вероятностями, а в математической Эффективной называют статистическую
статистике – соответствие между оценку, которая, при заданном объеме
наблюдаемыми вариантами и их частотами или выборки n, имеет наименьшую возможную
относительными частотами. дисперсию.
12Для непрерывных случайных величин 55При рассмотрении выборок большого
удобнее разбить отрезок [a,b] возможных объема к статистическим оценкам
значений случайной величины на частичные предъявляется требование состоятельности.
полуинтервалы с помощью некоторой системы Состоятельной называется статистическая
точек Часто разбиение [a,b] производят на оценка, которая при n?? стремится по
равные части. вероятности к оцениваемому параметру.
13? ?1. ?2. ….. ?m. n. n1. n2. …. nm. В Например, если дисперсия несмещенной
качестве частот теперь надо брать оценки при n?? стремится к нулю, то такая
количество наблюдаемых значений, попавших оценка оказывается и состоятельной.
на каждый из частичных интервалов . 56Выборочные среднее и дисперсия. Пусть
Вариационный ряд имеет в таком случае вид: для изучения генеральной совокупности
14? ?1. ?2. ….. ?m. w. w1. w2. …. wm. А относительно количественного признака X
статистическое распределение. извлечена выборка объема n. Выборочным
15Полигон и гистограмма. Для наглядности средним называют среднее арифметическое
строят различные графики статистического значение признака выборочной совокупности.
распределения, в частности, полигон и Если все значения признака выборки объема
гистограмму. Полигоном частот называют n различны, то:
ломаную линию, отрезки которой соединяют 57Если значения признака имеют частоты
точки . Для построения полигона частот на соответственно, причем , то:
оси абсцисс откладывают варианты xi, а на 58Выборочное среднее, найденное по
оси ординат – соответствующие им частоты данным одной выборки, равно определенному
ni и соединяют точки (xi; ni). числу. При извлечении других выборок того
16Полигон относительных частот строится же объема выборочное среднее будет
аналогично, за исключением того, что на меняться от выборки к выборке. То есть
оси ординат откладываются относительные выборочное среднее можно рассматривать,
часто-ты wi. В случае непрерывного как случайную величину, и можно говорить о
признака строится гистограмма, для чего его распределениях (теоретическом и
интервал, в котором заключены все эмпирическом) и о числовых характеристиках
наблюдаемые значения приз-нака, разбивают этого распределения (например, о
на несколько частичных интер-валов длиной математическом ожидании и дисперсии).
h и находят для каждого частич-ного 59Для охарактеризования рассеяния
интервала ni – сумму частот вариант, наблюдае-мых значений количественного
по-павших в i–й интервал. признака вы-борки вокруг среднего значения
17Гистограммой частот называют вводится выборочная дисперсия. Выборочной
ступенчатую фигуру, состоящую из диспер-сией называют среднее
прямоугольников, основаниями которой арифметическое квадратов отклонения
служат частичные интервалы длиною h, а наблюдаемых значений признака от их
высоты равны отношению . Для построения среднего значения . Если все значения
гистограммы частот на оси абсцисс признака выборки объема n различны, то:
откладывают частичные интервалы, а над 60Если значения признака имеют частоты
ними проводят отрезки, параллельные оси соответственно, причем , то: Аналогично
абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь выборочным среднему и дисперсии
i–го прямоугольника равна сумме частот определяются генеральные среднее и
вариант i–го интервала, поэтому площадь дисперсия, характеризующие генеральную
гистограммы частот равна сумме всех совокупность в целом. Для расчета этих
частот, т. е. объему выборки. характеристик достаточно в вышеприведенных
18Кумулятивная кривая (кумулята) – соотношениях заменить объем выборки n на
кривая накопленных частот (частостей). Для объем генеральной совокупности N.
дискретного ряда кумулята предс-тавляет 61Фундаментальное значение для практики
собой ломаную, соединяющую точки (xi; mi имеет нахождение среднего и дисперсии
нак) или (xi; wi нак), i = 1, 2, ..., k. признака генеральной совокупности по
Для интервального вариационного ряда соответствую-щим известным выборочным
ломаная начинается с точки, абсцисса параметрам. Мож-но показать, что
которой равна началу первого интервала, а выборочное среднее является несмещенной
ордината – накопленной частоте (частости), состоятельной оценкой генераль-ного
равной нулю. Другие точки этой ломаной среднего.
соответствуют концам интервалов. Огивой 62В то же время, несмещенной
называется ломаная, полученная если по оси состоятельной оценкой генеральной
абсцисс откладывать накопленные частоты, а дисперсии оказывается не выборочная
по оси ординат – значения признака. дисперсия , а так называемая
Графики кумуляты и огивы симметричны «исправленная» выборочная дисперсия,
относительно биссектрисы 1-го рав-ная Таким образом, в качестве оценок
координатного угла. генерального среднего и дисперсии в
19Пример. 20. 19. 22. 24. 21. 18. 23. математической статис-тике принимают
17. 20. 16. 15. 23. 21. 24. 21. 18. 23. выборочное среднее и исправ-ленную
21. 19. 20. 24. 21. 20. 18. 17. 22. 20. выборочную дисперсию.
16. 22. 18. 20. 17. 21. 17. 19. 20. 20. 63Интервальные оценки параметров
21. 18. 22. 23. 21. 25. 22. 20. 19. 21. генеральной совокупности. Надежность и
24. 25. 23. 21. 19. 22. 21. 19. 20. 23. доверительный интервал До сих пор мы
22. 21. 21. Дано распределение 60 рассматривали точечные оценки, т.е. такие
абитуриентов по числу баллов, полученных оценки, которые определяются одним числом.
ими на приемных экзаменах: При выборке малого объема точечная оценка
20Составить интервальный вариационный может значительно отличаться от
ряд. Построить гистограмму (для оцениваемого параметра, что приводит к
интервального вариационного ряда), грубым ошибкам. В связи с этим при
полигон, кумуляту, огиву (для середин небольшом объеме выборки пользуются
частотных интервалов). Решение. Объем интервальными оценками.
выборки п = 60. Как видим, хmin = 15, xmax 64Интервальной называют оценку,
= 25; по формуле Стерджеса, при п = 60, определяю-щуюся двумя числами – концами
находим длину частотного интервала. интервала. Пусть найденная по данным
21Примем h = 1,5. Тогда . Исходные выборки статисти-ческая характеристика ?*
данные разбиваем на восемь интервалов: служит оценкой не-известного параметра ?.
[14,25; 15,75), [15,75; 17,25), [17,25; Очевидно, ?* тем точ-нее определяет
18,75), [18,75; 20,25), [20,25; 21,75), параметр ?, чем меньше абсо-лютная
[21,75; 23,25), [23,25; 24,75), [24,75; величина разности . Другими словами, если
26,25]. ?>0 и , то чем меньше ?, тем точнее
22Номер интервала. Границы интервала. оценка. Таким образом, положительное число
Частота, Накопленная частота, Частость, ? характеризует точность оценки.
Накопленная частость, 1. 14,25; 15,75. 1. 65Статистические методы не позволяют
1. 1/60. 1/60. 2. 15,75; 17,25. 6. 7. утверж-дать, что оценка ?* удовлетворяет
1/10. 7/60. 3. 17,25; 18,75. 5. 12. 1/12. неравенству , можно говорить лишь о
1/5. 4. 18,75; 20,25. 16. 28. 4/15. 7/15. вероятности, с которой это неравенство
5. 20,25; 21,75. 13. 41. 13/60. 41/60. 6. осуществляется. Надежностью (доверительной
21,75; 23,25. 13. 54. 13/60. 27/30. 7. вероятностью) оценки по называют
23,25; 24,75. 4. 58. 1/15. 29/30. 8. вероятность ?, с которой осуществляется
24,75; 26,25. 2. 60. 1/30. 1. неравенство . Обычно надежность оценки
23Гистограмма. задается заранее, причем, в качестве ?
24Полигон. берут число, близкое к единице – как
25Кумулята. правило, 0,95; 0,99 или 0,999.
26Числовые характеристики рядов. Мода М0 66Соотношение следует понимать так:
дискретного вариационного ряда – варианта, вероятность того, что интервал заключает в
имеющая наибольшую частоту. Для себе (покрывает) неизвестный параметр ?,
интервального вариационного ряда при равна ?. Таким образом, доверительным
нахождении М0 используют формулу: где x0– называют интервал , который покрывает
начало модального (содержащего моду) неизвестный параметр с заданной
интервала; h – длина частичного интервала; надежностью ?.
mi – частота модального интервала; mi-1 – 67Определение доверительных интервалов.
частота предмодального интервала; mi+1 – Доверительный интервал для
частота постмодального интервала. математи-ческого ожидания нормального
27Замечания. Если все значения распреде-ления при известной дисперсии
вариационного ряда имеют одинаковую Пусть количественный признак X генеральной
частоту, то этот вариационный ряд не имеет совокупности распределен нормально, причем
моды. Если две соседних варианты имеют среднее квадратическое отклонение ? этого
одинаковую доминирующую частоту, то мода распределения известно. Требуется оценить
вычисляется как среднее арифметическое неизвестное математическое ожидание a по
этих вариант. Если две не соседних выборочному среднему . Найдем
варианты имеют одинаковую до-минирующую доверитель-ные интервалы, покрывающие
частоту, то такой вариационный ряд параметр a с надежностью ?.
назы-вается бимодальным. Если таких 68Будем рассматривать выборочное среднее
вариант более двух, то ряд – , как случайную величину (т. к. меняется
полимодальный. В случае интервального от выборки к выборке), и выборочные
вариационного ряда с равными интервалами значения , как одинаково распределенные
модальный интервал определяется по независимые случайные величины (эти числа
наи-большей частоте, а при неравных также меняются от выборки к выборке).
интервалах – по наи-большей плотности. Другими словами, математическое ожидание
28Медиана Mе – варианта, которая делит каждой из этих величин равно a и среднее
дискретный вариационный ряд на две части, квадратическое отклонение – ?.
равные по числу вариант. Если число 69Так как случайная величина X
вариант нечетно (n = 2k + 1), то Me = распределена нормально, то и ее выборочное
xk+1, а при четном n = 2k. среднее также распределено нормально.
29При вычислении медианы интервального Параметры распре-деления равны: Потребуем,
ва-риационного ряда сначала находят чтобы выполнялось соотношение , где ? –
медианный интервал , где h – длина заданная надежность.
медиан-ного интервала. Для этого можно 70Используем формулу Заменим X на и ? на
использовать кумулятивное распределение и получим: где Выразив из последнего
частот или час-тостей. Медианному равенства ?, получим: Так как вероятность
интервалу соответствует тот, в котором P задана и равна ?, оконча-тельно имеем:
содержится накопленная частость, равная ? 71Число t определяется из равенства ; по
или накопленная частота, большая величины таблице функции Лапласа находят аргумент
, где п – объем выборки. t, которому соответствует значение функции
30Внутри найденного интервала расчет Лапласа, равное ?/2. Следует отметить два
медианы производится по формуле. Где момента: 1) при возрастании объема выборки
mi-1нак – накопленная частота интервала, n число ? убывает и, следовательно,
предшествующего медианному; mi – частота точность оценки увеличивается,
медианного интервала. Где. – Накопленная 722) увеличение надежности оценки
частота интервала, предшествующего ?/2=Ф(t) приводит к увеличению t (так как
медианному; – Частота медианного функция Лапласа – возрастающая функция) и,
интервала. следовательно, к возрастанию ?, то есть
31Выборочной средней называется среднее увеличение надежности оценки влечет за
арифметическое значений случайной собой уменьшение ее точности. Если
величины, принимаемых в выборке: где xi – требуется оценить математическое ожидание
варианты; тi – частоты. Замечание. с наперед заданной точностью ? и
Выборочная средняя служит для оценки надежностью ?, то минимальный объем
математического ожидания исследуемой выборки, который обеспечит эту точность,
случайной величины. находят по формуле.
32Свойства среднего арифметического. 73Доверительный интервал для
Если из всех значений признака вычесть математического ожидания нормального
некоторую константу С, то значение распределения при неизвестной дисперсии
среднего арифметического не изменится. Пусть количественный признак X генеральной
Если все значения признака умножить на С, совокупности распределен нормально, причем
то и среднее умножается на С. Средняя среднее квадратическое отклонение ? этого
величина признака, а также его мода и распределения неизвестно. Требуется
медиана в двух выборочных совокупностях оценить неизвестное математическое
могут быть одинаковыми. Но в одном случае ожидание с помощью доверительных
значения признака могут мало отличаться от интервалов.
среднего, а в другом эти значения могут 74Оказывается, что по данным выборки
быть велики. можно построить случайную величину ,
33Простейшей числовой характеристикой которая имеет распределение Стьюдента с
приз-нака является вариационный размах R = степенями свободы. В последнем выражении –
xmax – xmin. Размах выборки дает лишь – выборочное среднее, – исправленное
самое общее представление о размерах среднее квадратическое отклонение, – объем
вариации, так как показывает насколько выборки; возможные значения случайной
отличаются друг от друга крайние значения, величины T мы будем обозначать через t.
но не указывают, насколько велики 75Плотность распределения Стьюдента
отклонения вариант друг от друга внутри имеет вид: где некоторая постоянная,
этого промежутка. Более точным будет такой выражающаяся через гамма–функции. Как
показатель, который учитывает отклонение видно, распределение Стьюдента
каждой из вариант от средней величины. определяется параметром n – объемом
34Выделяют среднее линейное отклонение выборки (или, что то же самое – числом
либо среднеквадратичное отклонение степеней свободы k=n-1) и не зависит от
(выборочная дисперсия). неизвестных параметров a, ?.
35Выборочной дисперсией называется 76С помощью распределения Стьюдента
величина а выборочным средним квадратичным найден доверительный интервал покрывающий
отклонением. неизвестный параметр a с надежностью ?. По
36Так же, как в теории случайных таблице распределения Стьюдента и заданным
величин, можно доказать, что справедлива n и ? можно найти t?, и, используя
следующая формула для вычисления найденные по выборке x и s, можно
выборочной дисперсии: Так как выборочная определить доверительный интервал.
дисперсия имеет систематическую ошибку, то 77Можно показать, что при возрастании
для ее устранения вводят поправку. объема выборки n распределение Стьюдента
37Исправленная дисперсия Исправленное стремится к нормальному. Поэтому
среднее квадратичное отклонение. практически при n>30 можно вместо него
38Для характеристики совокупности пользоваться нормальным распределением.
значений признаков, кроме абсолютных, При малых n это приводит к значительным
применяются относительные показатели ошибкам.
признака. Коэффициент вариации Он 78Доверительный интервал для оценки
используется для сравнения размеров среднего квадратического отклонения ?
вариации в вариационных рядах с различными нормального распределения Пусть
средними, а также для сравнения вариаций количественный признак X генеральной
разных показателей в одной и той же совокупности распределен нормально и
совокупности. требуется оценить неизвестное генеральное
39Моментом порядка р распределения среднее квадратическое отклонение ? по
вариационного ряда называется число где. исправленному выборочному среднему
40В зависимости от значения а общая квадратическому отклонению s. Найдем
схема моментов разбивается на три доверительные интервалы, покрывающие
подсистемы. Если а = 0, то получаем параметр ? с заданной надежностью ?.
систему начальных моментов. Если а = x, то 79Плотность распределения ? имеет вид:
получаем систему центральных моментов. Это распределение не зависит от
Если а = С = const (обычно выбирается С оцениваемого параметра ?, а зависит только
близкое к середине вариационного ряда), то от объема выборки n.
получаем систему условных моментов. Она 80Вероятность того, что неравенство
применяется для упрощения расчетов. равна: Из этого уравнения можно по
41Начальным эмпирическим моментом заданным n и ? най-ти q, используя
порядка р называется число В частности, , имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по
т. е. начальный эмпирический момент выборке s и найдя по таблице q, получим
первого порядка равен выборочной средней. искомый интервал, покрывающий ? с заданной
42Центральным эмпирическим моментом надежностью ?.
порядка р называется. В частности, , т. е.
Элементы математической статистики.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/elementy-matematicheskoj-statistiki-245240.html
cсылка на страницу

Элементы математической статистики

другие презентации на тему «Элементы математической статистики»

«Интернет-статистика» - Что может статистика? Все данные сопровождаются справочной информацией внизу диаграммы. Пути по сайту. Торговали – веселились, подсчитали – прослезились. Основное правило. Эффективный интернет-сайт не может существовать без статистики. 4. Выбирайте любой интересующий вас период времени. Используйте числовой и графический способы представления информации Круговая диаграмма.

«Названия химических элементов» - Свинец. Дорогие ребята! Воспитательные: воспитать интерес к предмету. Цели. Произношение символа, соответствующей букве латинского алфавита. Нескучного труда вам!!! N. Медь. Ртуть. То кружились, то мелькали, То водили хоровод, То взрывались, то пылали, То шипели, то сверкали. Д.И. Менделеев. Элементарный – начальный, относящийся к основам чего-нибудь (из толкового словаря С.И.Ожегова).

«Элементы статистики» - Основные понятия. Представление результатов наблюдений при помощи рисунков и таблиц Построение и интерпретация статистических диаграмм Определение средней арифметической, моды и медианы статистического ряда. Таблица данных, сгруппированных по интервалам. Для вычисления числа интерваловрекомендуется формула Стерджерса r ? 1+3,322 lg n Длина интервала вычисляется по формуле: h = (xmax-xmin)/r.

«Размещение элементов» - Формулы: Комбинаторика. Для любых натуральных чисел n и k где n>k,справедливы равенства: Размещение и сочитание. Для числа выборов двух элементов из n данных: Сочетание. Размещение. В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов.

«Статистика инфляции» - Дефлятор валового национального продукта (ДВНП) Индекс потребительских цен (ИПЦ). Статистика инфляции Подавленная инфляция. Подавленная или скрытая открытая или очевидная. Статистика инфляции. Статистика инфляции Дефлятор ВВП. Проявляется в виде: инфляции спроса инфляции предложения структурной инфляции.

«Элементы комбинаторики» - Что такое перестановки? Правило. Определение: Записать формулу для нахождения числа сочетаний? Что такое факториал? Понятие науки « Комбинаторика». Что такое размещения? Отгадай ребусы. Записать формулу для нахождения числа перестановок? Подбор комбинаторных задач. Записать формулу для нахождения числа размещений?

Статистика

17 презентаций о статистике
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Статистика > Элементы математической статистики