Множества
<<  Фракталы Фракталы вокруг нас  >>
Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем
Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем
Т.о., определить меру величины множества точек
Т.о., определить меру величины множества точек
Т.о., определить меру величины множества точек
Т.о., определить меру величины множества точек
Md называют d-мерой множества
Md называют d-мерой множества
начинается с прямолинейного отрезка единичной длины L(0)=1 (затравка
начинается с прямолинейного отрезка единичной длины L(0)=1 (затравка
Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом
Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом
Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом
Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом
Нелинейные фракталы Одним из первых описал нелинейные фракталы
Нелинейные фракталы Одним из первых описал нелинейные фракталы
с = 0, 74543 + 0,11301i с = -0,125 с = 0,11301 - 0,67037i Шесть
с = 0, 74543 + 0,11301i с = -0,125 с = 0,11301 - 0,67037i Шесть
Множество Мандельброта (слева) и сильно увеличенный фрагмент области
Множество Мандельброта (слева) и сильно увеличенный фрагмент области
Инженер Л.П. Корохов в 1981 году придумал интересный фрактал для
Инженер Л.П. Корохов в 1981 году придумал интересный фрактал для
Картинки из презентации «Фракталы и синергетика» к уроку алгебры на тему «Множества»

Автор: Nik. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Фракталы и синергетика.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 769 КБ.

Фракталы и синергетика

содержание презентации «Фракталы и синергетика.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Фракталы и синергетика. Дисциплина: 10пробной функции, используемой для покрытия
Синергетика для инженеров Преподаватель: множества. Следовательно, фрактальная
профессор каф. общей физики Н.Н. размерность D может также быть локальной
Никитенков. характеристикой множества. Определение
2Фракталы (под другими названиями) размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет
открыты математиками более ста лет назад, покрывать множество «шарами» не
но их долго относили к причудам обязательно одного и того же размера при
математиков, исследовавших функции и условии, что диаметры всех шаров меньше ?.
множества, для которых применимы В этом случае d-мера есть нижняя грань, то
классические методы вычислений. Функции и есть, минимальное значение, получаемое при
множества, которые не являются гладкими всех возможных покрытиях.
или регулярными (множество Кантора, кривые 11Триадная кривая Кох и ее размерность
Пеано, функции Вейерштрасса и другие) По способу построения фракталы делят на
долго игнорировали как патологические и не линейные и нелинейные. Алгоритмы
заслуживающие изучения. Известный построения линейных фракталов определяются
математик Шарль Эрмит назвал их линейными функциями. В них самоподобие
«монстрами». Эти объекты вновь стал присутствует в самом простом варианте:
исследовать американский математик Бенуа любая часть повторяет целое. Нелинейные
Мандельброт в 1975 году. Он же и придумал фракталы задаются нелинейной функцией
для них термин «фрактал». В своих первых роста, то есть уравнениями в степени выше
работах он рассматривал их как чисто первой. В них самоподобие будет выглядеть
математические объекты, а в 1982 году более сложным: любая часть является уже не
вышла его знаменитая книга «Фрактальная точной, а деформированной копией целого.
геометрия природы», в которой Мандельброт Один из простейших примеров линейного
показал фрактальный характер геометрии фрактала – кривая Кох, (1904 год, немецкий
окружающего мира. (Федер Е. Фракталы. / математик Хельга фон Кох).
Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.). 12начинается с прямолинейного отрезка
3Фракталоподобной структурой обладают единичной длины L(0)=1 (затравка (или
такие разные явления как: береговые линии нулевым поколением кривой Кох), может быть
островов и материков, ландшафты гор, заменена стороной какого-нибудь
границы облаков, ветви деревьев, русла многоугольника), n=0. каждое звено
рек, турбулентные вихри, сосудистая затравки заменяется образующим элементом
система человека, зерна в скалистых (п=1) – получаем первое поколение – кривую
породах, металлах и композитных из четырех прямолинейных звеньев, каждое
материалах, геометрическая структура длиной по 1/3. Длина всей кривой 1-го
кристаллов, молекул химических веществ, в поколения составляет величину L(l)=4/3 от
частности, протеинов, и многие другие затравки. Следующее поколение (n=2):
объекты. Используются в изобразительном замена каждого прямолинейного звена
искусстве, музыке, литературных текстах. умень-шенным образующим элементом. В
4Об определении понятия «фрактал» Все результате: звеньев второго поколения
фракталы, которые исследованы, обладают N=42=16, каждое длиной ?=З-2=1/9. Длина
двумя основными свойствами – изломанностью L(2)=(4/3)2=16/9. И так далее. Построение
и самоподобием. Изломанность понятна и триадной кривой Кох.
визуально и математически (как отсутствие 13Кривая n-го поколения при любом
производной в каждой точке излома). конечном п называется предфракталом.
Самоподобие в классическом смысле: часть Проследим за тем, как получается выражение
есть уменьшенная копия целого, в для D. Длина предфрактала п-го поколения
неклассическом: часть является равна n длин 1-го поколения, то есть,
деформированной копией целого. Строгого и определяется формулой: Длина каждого звена
полного определения фракталов пока нет. Е. составляет ?=3-n. Замечая, что число
Федер в работе «Фракталы» (1991) приводит поколений n представимо в виде n=–ln?/ln3,
два определения фрактала: 1. Фракталом запишем длину предфрактала в виде:
называется множество, размерность Используя далее аппарат определения
Хаусдорфа-Безиковича которого строго фрактальной размерности (см. пособие)
больше его топологической размерности. получим что критическая размерность и,
(определение Мандельброта). 2. Фракталом следовательно, размерность
называется структура, состоящая из частей, Хаусдорфа-Безиковича для триадной кривой
которые в каком-то смысле подобны целому. Кох равна D=ln4/ln3?1,2628.
5Наиболее полное на сегодня определение 14Нелинейные фракталы Одним из первых
фрактала: фракталом называют описал нелинейные фракталы французский
функциональное отображение или множество, математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но
получаемое бесконечным рекурсивным в его работе отсутствовали изображения
процессом и обладающее тремя следующими исследованных им множеств и термин
свойствами: дробной размерностью фрактал. В наше время компьютеры позволили
Хаусдорфа-Безиковича, самоподобием и получить изображения множеств Жюлиа,
недифференцируемостью. Следует различать которые вместе с множествами Мандельброта
фракталы как математические объекты и являются ныне наиболее известными
фракталоподобные объекты реального мира. квадратичными фрактальными структурами.
Последние обладают свойством самоподобия в Оба типа фракталов возникают в результате
ограниченном масштабе (они моделируются с реализации на комплексной плоскости самого
помощью конечного, а не бесконечного простого нелинейного алгоритма: (*)
рекурсивного процесса). Фракталы который разбивает комплексную плоскость на
используют для сжатия изображений путем «зоны влияния».
нахождении в изображении подобных областей 15Любая точка z0 фазового пространства в
и сохранении в файле только коэффициентов данном динамическом процессе либо
преобразований подобия. Сжатие произойдет притягивается аттрактором (конечным или
в том случае, когда коэффициенты бесконечным), либо не может принять
преобразований займут меньше места, чем определенного решения и остается блуждать
исходное изображение. на границе зон влияния аттракторов. Если в
6Поскольку многие природные объекты, итерационном процессе (*) фиксировать c и
которые появились в результате изменять z0, to получается набор множеств
самоорганизации и «странные аттракторы» Жюлиа. Если фиксировать z0= 0 и изменять
обладают фрактальной размерностью, то для с, то множество Мандельброта. Вид
синергетики исследование фракталов множества Жюлиа зависит от выбора
является одной из основных задач. параметра с. В силу нелинейности (малым
7Фрактальная размерность Термины изменениям параметра с соответствуют
«размерность Хаусдорфа-Безиковича» и большие изменения формы множества Жюлиа)
«фрактальная размерность» являются зависимость эта очень сильна.
синонимами. Немецкий математик Ф. Хаусдорф 16с = 0, 74543 + 0,11301i с = -0,125 с =
ввел способ измерения дробной размерности 0,11301 - 0,67037i Шесть примеров множеств
пространства еще в начале ХХ века, русский Жюлиа: от простой окружности (с = 0) до
математик А.С. Безикович развил идеи самых причудливых нелинейных фракталов.
Хаусдорфа. Определение понятия 17Множество Мандельброта (слева) и
«фрактальная» размерность дается через сильно увеличенный фрагмент области его
понятие «топологическая размерность». Под границ (справа). Таким образом, множество
топологической размерностью (для простоты) Мандельброта является бесконечно
будем понимать обычную евклидову эффективным хранилищем информации для
размерность, которая для точки равна 0, бесконечного разнообразия множеств Жюлиа.
для линии – 1, для плоскости – 2, для куба 18Некоторые практические приложения
– 3. Фракталы будем рассматривать как фракталов. Ёлка-фрактал, закон ветвления
некое особое множество точек в речных систем и мелиоративная сеть. В
пространстве. Центральное место в природе ветвящиеся фракталоподобные
определении размерности структуры встречаются всюду, где
Хаусдорфа-Безиковича D занимает измерение необходимо наилучшим образом собрать с
множества ? точек в пространстве. некоторой поверхности или тела вещество и
8Простой способ измерить длину кривых, энергию в одну точку при минимальной общей
площадь поверхностей или объем тела площади структуры или, наоборот,
состоит в том, чтобы разделить их равномерно распределить их. Примеры: русла
соответственно на очень малые отрезки рек, и молнии, кровеносная, нервная,
длиной ?, квадраты со стороной ?, кубы с дыхательная системы человека, корни и
ребром ? или сферы диаметром ?. Если кроны деревьев и многое другое.
поместить центр малой сферы диаметром ? в 19Инженер Л.П. Корохов в 1981 году
какой-нибудь точке множества, то все придумал интересный фрактал для
точки, находящиеся от центра на расстоянии моделирования структуры речной сети.
r<(1/2)?, окажутся покрытыми этой Поскольку внешне он напоминает елку, то и
сферой. Подсчитывая число сфер, назван был елкой-фракталом или
необходимых для покрытия интересующего нас топологическим деревом. Ёлка-фрактал
множества точек, получим меру величины позволила ему теоретически вывести закон
множества. Кривую можно измерить, ветвления речных систем. Ёлка-фрактал
определяя число N(?) прямолинейных равномерно заполняет поверхность
отрезков длины ?, необходимых для того, шестиугольника. Цифрами обозначены: 1 –
чтобы покрыть ее. Ясно, что для обычной точка роста; 2 – фигура, в которой
кривой N(?)=L0/?. Длина кривой развивается структура фрактала; 3 –
определяется предельным переходом: при ??0 внутренняя точка; 4 – корень
То есть пределе при ??0 мера L становится ёлки-фрактала. Ёлка-фрактал представляет
асимптотически равной длине кривой и не собой ветвящуюся по плоскости кривую,
зависит от ?. состоящую из одномерных и двухмерных
9Т.о., определить меру величины симплексов.
множества точек ? в пространстве, можно 20Симплекс (от лат. simplex – простой) –
выбирав некоторую пробную функцию простейший выпуклый многогранник данного
h(?)=?(d)?d (отрезок прямой, квадрат или числа измерений n. Трехмерный симплекс
круг, шар или куб), и ею покрыть (n=3) представляет собой тетраэдр,
множество, образуя меру Md=?h(?). Для двумерный симплекс – треугольник,
прямолинейных отрезков геометрический одномерный – отрезок, нульмерный – точку).
коэффициент ?(d)=1, для кругов ?=?/4 и для Кривая бесконечна, но вписывается в
сфер ?=?/6. В общем случае при ??0 мера Md конечную площадь. Она непрерывна, но вся
равна нулю или бесконечности в зависимости состоит из углов. Это недифференцируемая
от выбора d-размерности меры. Размерность кривая (нет касательных ни в одной точке)
Хаусдорфа-Безиковича D множества ? есть и это – линейный фрактал так как у него
критическая размерность, при которой мера даже самая малая часть в точности
Md изменяет свое значение с нуля на повторяет саму елку. Размерность его
бесконечность: дробная и равна 1.77178... Используя
10Md называют d-мерой множества. ёлку-фрактал Л.П. Корохов получил
Значение Md при d=D обычно конечно, но функциональную зависимость между площадью
может быть равно нулю или бесконечности; абстрактного водосборного бассейна и
существенно, при каком именно значении d длиной его главного водотока: F=kLf, где F
величина Md изменяется скачком. В – площадь абстрактного водосборного
соответствии с определением размерность бассейна; L – длина главного водотока; f –
Хаусдорфа-Безиковича есть локальное размерность структуры елки, равная
свойство в том смысле, что эта размерность 1.77178; k – коэффициент, отражающий
характеризует свойства множеств точек в плотность покрытия поверхности
пределе при исчезающе малом размере ? абстрактного водосбора «речной сетью».
Фракталы и синергетика.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/fraktaly-i-sinergetika-96227.html
cсылка на страницу

Фракталы и синергетика

другие презентации на тему «Фракталы и синергетика»

«Множество и его элементы» - Даны числовые промежутки: А = (0; 1), В = [-0,5; 0,9], С = [-1; 1], D = (0,1; 1,1]. Множество всех х таких, что ... Круги Эйлера. Подмножества. Верно ли, что: а) б) с) г). Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке.

«Множества чисел» - Запись -3,5 Є R читается: «-3,5 принадлежит множеству действительных чисел». Запись 2457 означает, что 2457=2•1000+4•100+5•10+7. Действительные числа. Запись -3,5 Є Q читается: «-3.5 принадлежит множеству рациональных чисел». Всякое рациональное число можно представить в виде дроби, m/n, где m Є Z, n Є N.

«Элементы множества» - Объекты, из которых образовано множество, называются элементами. Любое множество является подмножеством самого себя. Множество точек на прямой, Множество натуральных чисел. Общий вид характеристического свойства: «x I А и x I В». Дополнение множества В до множества А обозначают В'А. Декартово произведение обозначают А X В.

«Отношения объектов» - Отношения объектов и их множеств. Состав объекта. Объект может состоять из множества одинаковых объектов. Бабушка прислала Ивану посылку с яблоками и грушами. Схема отношения. Отношение. Черешни и персики – это плоды. Связь двух и более объектов. Отношения объектов. Имена отношений. Как можно наглядно изобразить отношения объектов.

«Состав объектов» - Например, объект «апельсин» состоит из частей - долек апельсина. Коротко о главном. Определите в каждой такой паре имя подмножества. Состав объекта. Состав объектов. Объект может состоять из множества различных объектов. Ответьте на вопросы. Задания. Какие имена объектов приведены в списке: общие или единичные?

«Теория множеств» - Множество может состоять из небольшого количества элементов. Обозначается, А\В. Пример 4. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А?В. Пример 2. Примеры. Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. а?[а, b], но а?(а, b].

Множества

8 презентаций о множествах
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Множества > Фракталы и синергетика