Геометрическая прогрессия
<<  Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия  >>
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам
-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую
-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил
-Довольно, - с раздражением прервал его царь
-Довольно, - с раздражением прервал его царь
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит
Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей
Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей
18 446 744 073 709 551 615
18 446 744 073 709 551 615
Спасибо за урок
Спасибо за урок
Картинки из презентации «Геометрическая прогрессия» к уроку алгебры на тему «Геометрическая прогрессия»

Автор: учитель. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Геометрическая прогрессия.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 485 КБ.

Геометрическая прогрессия

содержание презентации «Геометрическая прогрессия.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Геометрическая прогрессия. 12геометрической прогрессии (bn):-20; 40; ….
2Дорогой друг! Сегодня у тебя необычный Найдем знаменатель, для этого нужно 40
урок математики. Сегодня ты еще раз разделить на -20, получится q = -2.
убедишься в том, что математика не только Решение: b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 •
интересна сама по себе, но она необычайно 16 = -320.
полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя 13? Выполни самостоятельно: В
ожидает большая радость творчества и геометрической прогрессии (xn) найти: а)
огромное поле приложения математических x5, если x1 = 16; q = ? б) x3, если x1 =
знаний и умений. Желаю тебе успехов и 3/4; q = 2/3. в) x10, если x1 = 48; q =
творческих радостей на уроке! -1.
Математические знания могут применяться 14Проверь себя! а) x5 = 1 б) x3 = 1/3 в)
умело с пользой лишь в том случае, если x10 = -48 Если ты испытывал затруднения,
они усвоены творчески. А.Н. Колмогоров. обратись к учителю. Итак, просьба мудрого
3Тема урока: «Геометрическая Сеты помогла тебе понять определение
прогрессия». Ты уже знаешь, какая геометрической прогрессии, и теперь
последовательность называется настало время узнать что-же было дальше….
арифметической прогрессией. Напомню тебе 15За обедом царь вспомнил об
ее определение: Арифметической прогрессией изобретателе шахмат и послал узнать, унес
называется последовательность, каждый член ли Сета свою жалкую награду. -Повелитель,
которой, начиная со второго, равен - был ответ, - приказание твое
предыдущему члену, сложенному с одним и исполняется. Придворные математики
тем же числом. an+1 = an+d - формула, исчисляют число следуемых зерен. Царь
задающая арифметическую прогрессию. нахмурился. Он не привык, чтобы повеления
Сегодня ты познакомишься еще с одним видом его исполнялись так медлительно. Вечером,
последовательности, которая называется отходя ко сну, царь еще раз осведомился,
геометрической прогрессией. Но в начале давно ли Сета со своим мешком пшеницы
прочитай легенду о шахматной доске. Чтобы покинул ограду дворца. -Повелитель, -
понять ее, вовсе не нужно уметь играть в ответили ему, - математики твои трудятся
шахматы: достаточно знать, что игра без устали и надеются еще до рассвета
происходит на доске, разграфленной на 64 закончить подсчет.
клетки (попеременно черные и белые). 16Утром царю доложили, что старшина
4Шахматная игра была придумана в Индии, придворных математиков просит выслушать
и когда индусский царь Шерам познакомился важное донесение. Царь приказал ввести
с нею, он был восхищен ее остроумием и его. -Прежде чем скажешь о твоем деле, -
разнообразием возможных в ней положений. объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана
Узнав, что она изобретена одним из его ли, наконец, Сете та ничтожная награда,
подданных, царь приказал его позвать, которую он себе назначил. -Ради этого я и
чтобы лично наградить за удачную выдумку. осмелился явиться перед тобой в столь
Изобретатель, его звали Сета, явился к ранний час, - ответил старик. – Мы
трону повелителя. Это был скромно одетый добросовестно исчислили все количество
ученый, получавший средства к жизни от зерен, которое желает получить Сета. Число
своих учеников. это так велико…..
5-Я желаю достойно вознаградить тебя, 17-Как бы велико оно ни было, - надменно
Сета, за прекрасную игру, которую ты перебил царь, - житницы мои не оскудеют.
придумал, -сказал царь. Мудрец поклонился. Награда обещана и должна быть выдана.. -
-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое Не в твоей власти, повелитель, исполнять
смелое твое пожелание, - продолжал царь. - подобные желания. Во всех амбарах твоих
Назови награду, которая тебя удовлетворит, нет такого числа зерен, которое потребовал
и ты получишь ее. Сета молчал. -Не робей, Сета. Нет его и в житницах целого царства.
- ободрил его царь. – Выскажи свое Не найдется такого числа зерен и на всем
желание. Я не пожалею ничего, чтобы пространстве Земли. И если желаешь
исполнить его. -Велика доброта твоя, непременно выдать обещанную награду, то
повелитель. Но дай срок обдумать ответ. прикажи превратить земные царства в
Завтра я сообщу тебе мою просьбу. пахотные поля, прикажи осушить моря и
6Когда на другой день Сета снова явился океаны, прикажи растопить льды и снега,
к ступеням трона, он удивил царя покрывающие далекие северные пустыни.
беспримерной скромностью своей просьбы. 18Пусть все пространство их будет сплошь
-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи засеяно пшеницей. И все то, что родится на
выдать мне за первую клетку шахматной этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он
доски одно пшеничное зерно. -Простое получит свою награду… С изумлением внимал
пшеничное зерно? – изумился царь. -Да, царь словам старца. - Назови мне это
повелитель. За вторую клетку прикажи чудовищное число, сказал он в раздумьи.
выдать 2 зерна, за третью - 4, за 1918 446 744 073 709 551 615.
четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок
-32… шесть квадрильонов семьсот сорок четыре
7-Довольно, - с раздражением прервал триллиона семьдесят три биллиона семьсот
его царь. – Ты получишь свои зерна за все девять миллионов пятьсот пятьдесят одна
64 клетки доски, согласно твоему желанию: тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
за каждую вдвое больше против предыдущей. 20Такова легенда. Действительно ли было
Но знай, что просьба твоя недостойна моей то, что здесь рассказано, неизвестно, - но
щедрости. Прося такую ничтожную награду, что награда, о которой говорит предание,
ты непочтительно пренебрегаешь моей должна была выразиться именно таким числом
милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе в этом ты сам можешь убедиться.
твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся Фактически, число зерен, о которых идет
хитро, покинул дворец и стал дожидаться у речь, является суммой 64 членов
ворот дворца. геометрической прогрессии, первый член
8Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав которой равен 1, а знаменатель равен 2.
ли был индусский царь, считая просьбу Сеты Обозначим эту сумму через S: S =
ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы 1+2+22+23+24+…….+262+263 Умножим обе части
уместятся в один мешок? Об этом ты узнаешь записанного равенства на знаменатель
чуточку позже. А сейчас поподробнее прогрессии 2, получим: 2S = 2+22+23+24+
рассмотрим последовательность чисел, ……….+264 Вычтем почленно из второго
соответствующих количеству зерен пшеницы, равенства первое и проведем упрощения: 2S
если, как попросил Сета, за каждую – S = ( 2+22+23+24+….+264) –
следующую клетку нужно дать вдвое больше, (1+2+22+23+24+……+263) S = 264 - 1.
чем было в предыдущей. Получается 21S = 264 – 1 Значит, подсчет зерен
последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, сводится к перемножению 64 двоек. Для
64,…. (запиши ее в тетрадь) Нетрудно облегчения выкладок заменим 264 = (210)6 ·
заметить, что члены этой 24 = =1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024·
последовательности, начиная со второго, 16 = =1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 – 1 и
получались путем умножения предыдущего получим искомое число зерен: 18 446 744
члена на одно и то же число 2. Запиши еще 073 709 551 615 Масса такого числа зерен
одну последовательность: 2, 6, 18, 54, больше триллиона тонн. Индусский царь не в
162, …. Члены этой последовательности, состоянии был выдать подобной награды. Но
начиная со второго, получаются путем будь он силен в математике, он бы не попал
умножения предыдущего на 3. Приведенные впросак…
примеры последовательностей являются 22Выведем теперь формулу суммы n первых
геометрическими прогрессиями. А теперь членов произвольной геометрической
попробуй сформулировать и записать прогрессии. Воспользуемся тем же приемом,
определение геометрической прогрессии. с помощью которого была вычислена сумма
Замечание: члены прогрессии должны быть зерен. Пусть дана геометрическая
отличны от нуля! прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых
9Проверь себя! Определение: ее членов через Sn: Sn = b1 + b2 + b3
Геометрической прогрессией называется +………+bn-1 + bn. (1) Умножим обе части
последовательность отличных от нуля чисел, этого равенства на q: Sn ·q = b1· q + b2
каждый член которой, начиная со второго, ·q + d3· q +…..+bn· q Учитывая, что b1· q
равен предыдущему члену, умноженному на = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn, получим:
одно и то же число. Обозначим, например, Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+bn + dn· q (2)
через (bn) - геометрическую прогрессию, Вычтем почленно из (2) равенство (1) и
тогда по определению bn+1= bn?q, где bn приведем подобные члены : Sn·q – Sn =
?0, n - натуральное число, q - некоторое (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn)
число. Из определения геометрической = bn·q – b1 ? Sn(q – 1) = bn·q – b1 Sn =
прогрессии следует, что отношение любого (bn·q – b1) / (q – 1).
ее члена, начиная со второго, к 23Получили формулу суммы n первых членов
предыдущему члену равно q, т.е. bn+1/ bn = геометрической прогрессии, в которой q ?
q Число q называют знаменателем 1, если q = 1, то все члены прогрессии
геометрической прогрессии. Очевидно, что q равны первому члену и Sn = n• b1. Если в
? 0. Например, чтобы найти знаменатель формулу вместо bn подставить выражение b1
геометрической прогрессии, представленной • qn-1, получим : Sn = b1(qn – 1)/(q – 1)
в легенде: 1, 2, 4, 8, 16,…, нужно: 2 , q ? 1. Найдем, например, сумму первых
разделить на 1, или 4 разделить на 2 и восьми членов геометрической прогрессии (
т.д., т.е. q=2. bn), в которой b1 = 3 ; q = -2. S8 = b1(q8
10q = ? Выполни самостоятельно: Найти – 1 )/(q – 1) = 3 •((-2)8 – 1)/(-2 – 1) =
знаменатель геометрической прогрессии: а) =3· 255/(-3) = -255 Выполни
3; 6; 12; 24;… б) 3; 3; 3; 3; ….. в)1; самостоятельно: Первый член геометрической
0,1; 0,01; 0,001;… прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3.
11Проверь себя! а) q = 2 б) q = 1 в) q = Найти сумму первых шести членов этой
0,1 Ошибок нет? Молодец! Если есть прогрессии.
неправильные ответы, обратись к учителю. 24Проверь себя! S6 = b1(q6 – 1 )/(q – 1)
По аналогии с арифметической прогрессией, = 2(36 – 1 )/(3 – 1) = 2 ·728 / 2 = 728
выводится формула n-го члена Молодец! Итак, благодаря поучительной
геометрической прогрессии. Пусть b1 – истории с шахматной доской, ты узнал и
первый член геометрической прогрессии, q – открыл для себя много нового и полезного.
знаменатель, тогда: b2 = b1 ·q b3 = b2 · q Перед тобой вопросы, на которые ты должен
= (b1 · q) · q = d1 · q2 b4 = b3 · q = (b1 ответить в конце урока: 1) Какая числовая
· q2) · q = b1 · q3 b5 = ………………..= b1 · q4 последовательность называется
Продолжи эту цепочку рассуждений в тетради геометрической прогрессией? 2) Какое число
и вырази bn через b1 и q. называется знаменателем геометрической
12Проверь себя! bn=b1• qn-1 –формула прогрессии? 3) По какой формуле можно
n-го члена геометрической прогрессии. Эта найти n-й член геометрической прогрессии?
формула используется для решения многих 4) По какой формуле можно найти сумму n
задач. Рассмотри примеры решения некоторых первых членов геометрической прогрессии,
задач. 1. В геометрической прогрессии (bn) если известны: а) первый член, n-й член и
известны b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4, знаменатель; б)первый член и знаменатель
bk. Решение: b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18 геометрической прогрессии? Подумай и
b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54 bk = b1 • qk-1 ответь!
= -2· 3 k-1 2.Найти пятый член 25Спасибо за урок!
Геометрическая прогрессия.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/geometricheskaja-progressija-179503.html
cсылка на страницу

Геометрическая прогрессия

другие презентации на тему «Геометрическая прогрессия»

«Арифметическая прогрессия урок» - Поэтому сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65м. Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов. Урок применения знаний на практике. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC.

«Прогрессия» - Введение Вспомним теорию. Прогрессии в литературе. Розничные цены с НДС, рублей. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...». Прогрессия: 2; 4; 6; 8... Вывод. Ямб. Б. Л. Пастернак. Назад, в историю! «Я пропАл, как звЕрь в загОне». В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

«Сумма бесконечной геометрической прогрессии» - Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию: Практические задания. Прогрессии, то формула доказана. 4. Найдите член геометрической прогрессии , если: Получили последовательность. 2. Вычислите: Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Найти сумму геометрической прогрессии: Если последовательность.

«Арифметическая прогрессия 9 класс» - а1, а2, а3, а4, …, аn – последовательность, где аn+1 = an + d. Задать прогрессию – указать а1 и d. Разность прогрессии: d = an+1 – an. Характеристические свойства: Знание свойств арифметической прогрессии позволяет решать не мало различных задач. Теперь найдём сумму первых n нечётных натуральных чисел.

«Арифметическая и геометрическая прогрессии» - Цели урока. Определение. Дано: Найти: Решение: Ответ: Q > 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 < q < 1 геометрическая прогрессия убывающая. Дано: (аn)-арифметическая прогрессия, а12=4, а14=16. Как можно задать последовательность? 3. Найти шестой член геометрической прогрессии 128; 64…

«Геометрическая прогрессия урок» - Куда стремится человек? Да не забудь, две копейки припаси. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. И потом что? Я свои принес. Встретились как-то богач и бедняк. Богач. (удивленно). Государственный образовательный стандарт. Бедняк. Ладно. Ход урока. Вот мои деньги по уговору. Назад.

Геометрическая прогрессия

12 презентаций о геометрической прогрессии
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки