Квадратное уравнение
<<  Квадратные уравнения Квадратные уравнения  >>
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Из истории решения квадратных уравнений
Из истории решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах
Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения
Из предложенных уравнений выберите квадратные уравнения
Неполные
Неполные
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Решение неполных квадратных уравнений
Алгоритм решения квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Примеры решения квадратных уравнений по формуле
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Будущий преобразователь алгебры Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства
Евклид (3 в. до н.э.)
Евклид (3 в. до н.э.)
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Диофант Александрийский (около 3 в.)
Аль - Хорезми
Аль - Хорезми
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и
Домашнее задание
Домашнее задание
Домашнее задание
Домашнее задание
Домашнее задание
Домашнее задание
Картинки из презентации «Квадратные уравнения» к уроку алгебры на тему «Квадратное уравнение»

Автор: . Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Квадратные уравнения.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 1507 КБ.

Квадратные уравнения

содержание презентации «Квадратные уравнения.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Квадратные уравнения. Алгебра 8 класс. 24буквенными коэффициентами или уравнениями
2Из истории решения квадратных с параметрами. Решить уравнение с
уравнений. Необходимость решать уравнения параметром – это значит установить
не только первой, но и второй степени была соответствие, позволяющее для любого
вызвана потребностью решать задачи, значения параметра найти соответствующее
связанные с нахождением площадей земельных множество корней.
участков и с земляными работами военного 25Решение квадратных уравнений с
характера, а также с развитием астрономии параметрами. Решить уравнение с параметром
и самой математики. Уравнения второй – это значит определить, при каких
степени умели решать еще в Древнем допустимых значениях параметров уравнение
Вавилоне во ?? тысячелетии до н. э. 1) имеет решения; 2) не имеет решения; 3)
Математики Древней Греции решали установить количество решений; 4) найти
квадратные уравнения геометрически; вид каждого решения при соответствующих
например Евклид –при помощи деления ему значениях параметров.
отрезка в среднем и крайнем отношениях. 26Решение квадратных уравнений с
Приемы решения уравнений без обращений к параметрами. При каком значении а
геометрии дает Диофант Александрийский уравнение 2х2 + ах + 8 = 0 имеет один
(??? в.). Задачи, приводящие к квадратным корень? Решение. Квадратное уравнение
уравнениям рассматриваются во многих имеет один корень, если D = 0. D = a2 -
древних математических рукописях и 4·2·8 a2 – 4 · 2 · 8 = 0 a2 – 64 = 0 a2 =
трактатах. 64 a1= 8 a2 = - 8 Ответ: при а = 8, и при
3Из истории решения квадратных а = - 8 уравнение имеет один корень.
уравнений. Формула корней квадратного 27Решение квадратных уравнений с
уравнения «переоткрывалась» неоднократно. параметрами. В уравнении х2 + рх + 56 = 0
Один из первых дошедших до наших дней один из корней равен – 4, найдите другой
выводов этой формулы принадлежит корень этого уравнения и коэффициент р.
индийскому математику Брахмагупте (около Решение. х1+ х2 = - р х1· х2 = 56 т. к. х1
598г.). Среднеазиатский ученый аль-Хорезми = - 4, то х2 = - 14 - р = х1 + х2 = - 4 +
(?? в.) в трактате «Китаб аль-джебр (- 14) = - 18 р = 18 Ответ: х2 = - 14, р =
валь-мукабала» получил эту формулу методом 18.
выделения полного квадрата с помощью 28Евклид (3 в. до н.э.). Древнегреческий
геометрической интерпретации. Общее математик, работал в Александрии. Главный
правило решения квадратных уравнений было труд «Начала»(15 книг), содержит основы
сформулировано немецким математиком М. античной математики, элементарной
Штифелем (1487 – 1567). После трудов геометрии, теории чисел, общей теории
нидерландского математика А. Жирара (1595 отношений и метода определения площадей и
– 1632), а также Декарта и Ньютона способ объемов, включавшего элементы теории
решения квадратных уравнений принял пределов, оказал огромное влияние на
современный вид. развитие математики.
4Квадратным уравнением называется 29Диофант Александрийский (около 3 в.).
уравнение вида ах? + вх + с = 0, где х – Диофант - древнегреческий математик из
переменная, а, в, с – некоторые числа, Александрии (возможно, что он был
причем а ? 0. Числа а, в, с – коэффициенты эллинизированный вавилонянин). Мы очень
квадратного уравнения. Число а – первый мало знаем о нем. Автор трактата
коэффициент, в – второй коэффициент, с – Арифметика в 13 книгах(сохранились 6 книг)
свободный член. 15х? - 9х + 5 = 0. Старший посвященного главным образом исследованию
коэффициент. Второй коэффициент. Свободный неопределенных уравнений (т.н. диофантовых
член. Определение квадратного уравнения. уравнений). Одним из первых Диофант стал
5Из предложенных уравнений выберите использовать при записи алгебраических
квадратные уравнения. рассуждений специальные знаки. На
6Неполные. Приведенные. Полные. Виды результаты, полученные Диофантом,
квадратного уравнения. впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс
7Неполные квадратные уравнения. Если в и др.
квадратном уравнении хотя бы один из 30Брахмагупта (около 598 – 660 г. г.).
коэффициентов b или с равен нулю, то такое Последний и наиболее выдающийся из древних
уравнение называется неполным. Неполные индийских математиков и астрономов. Родом
квадратные уравнения. b = 0 ax2+c=0. b = c из Удджайна в Средней Индии, где у него
= 0 ax2=0. С = 0 ax2+bx=0. была астрономическая обсерватория. В 628
8Решение неполных квадратных уравнений. г. изложил четвертую индуистскую
9Решение неполных квадратных уравнений. астрономическую систему в стихотворной
Если с = 0. Аx2 + bx = 0 х(ax+b) = 0 х = 0 форме в сочинении Открытие Вселенной
или х = -a/b. Пример: 18х2 + 27х = 0 9х(2х (Брахма-спхута-сиддханта). Две его главы
+ 3) = 0 9х = 0 или 2х + 3 = 0 х = 0 или х посвящены математике, в том числе
= -1,5. арифметической прогрессии и доказательству
10Если b = 0. Ах2 + с = 0 x2 = - с : а , различных геометрических теорем. Остальные
- с : а > 0 2 корня. Пример: 4х2 – 100 23 главы посвящены астрономии: в них
= 0 4х2 = 100 х2= 25 х1 = 5, х2 = - 5. описаны фазы Луны, соединения планет,
Решение неполных квадратных уравнений. солнечные и лунные затмения, даны расчеты
11Если b = 0 и c = 0. Ах2 = 0 х = 0. положений планет. Труд Брахмагупты был
Примеры: а) 157х2 = 0 х = 0 б) -298х2 = 0 переведен на арабский язык и таким образом
х = 0 в) 53,7х2 = 0 х = 0. Решение попал в Египет, а оттуда в Европу.
неполных квадратных уравнений. Брахмагупта изложил общее правило решения
12Из предложенных уравнений выберите квадратных уравнений, приведенных к форме
неполные квадратные уравнения. Решить ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении
оставшиеся уравнения. коэффициенты, кроме а, могут быть и
13Алгоритм решения квадратного отрицательными. Правило Брахмагупты по
уравнения. Ах?+вх+с=0. Если D<0, то. существу совпадает с нашим.
Если D=0, то. Если D>0, то. Уравнение 31Аль - Хорезми. Мухаммад ибн Муса
не имеет корней. 1 корень. 2 корня. Хорезми (ок. 783 – ок. 850) – великий
Определить коэффициенты а,в,с. Вычислить персидский математик, астроном и географ,
дискриминант D=в?-4ас. основатель классической алгебры. Сведений
14Примеры решения квадратных уравнений о жизни ученого сохранилось крайне мало.
по формуле. 3х? + 11х + 6 = 0. А = 3; в = Значительный период своей жизни он провел
11; с = 6. D=11? - 4 · 3· 6 = 121 – 72 = в Багдаде, возглавляя при халифе
49 > 0 , уравнение имеет два корня. аль-Мамуне (сыне знаменитого Гаруна
15Примеры решения квадратных уравнений аль-Рашида) библиотеку «Дома мудрости».
по формуле. 9х? - 6х + 1 = 0. A = 9, b = - Согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то
6 , c = 1 D=(-6)? - 4 · 9 · 1 = 36 – 36 = есть, родом из Хорезма - с берегов
0, уравнение имеет один корень. Х =. Сыр-Дарьи) работал в первой половине 9
16Примеры решения квадратных уравнений века. Главная книга Хорезми названа
по формуле. -2х? + 3х – 5 = 0. A = - 2, b скромно: "Учение о переносах и
= 3, c = - 5 D =3? -4 · (-2) · (-5) = 9 – сокращениях", то есть техника решения
40 = -31<0, уравнение не имеет корней. алгебраических уравнений. По-арабски это
17Квадратное уравнение, у которого звучит «Китаб аль-джебр
первый коэффициент равен 1, называется валь-мукабала"; отсюда произошло наше
приведенным квадратным уравнением. Х2 + px слово "алгебра". Другое
+ q = 0. Теорема Сумма корней приведенного известное слово - "алгоритм", то
квадратного уравнения равна второму есть четкое правило решения задач
коэффициенту, взятому с противоположным определенного типа - произошло от
знаком, а произведение корней равно прозвания "аль-Хорезми". Третий
свободному члену. Теорема Виета. Х1 + х2 = известный термин, введенный в математику
- р х1 · х2 = q. знаменитым согдийцем - это
18Будущий преобразователь алгебры "синус". Памятник аль-Хорезми в
Франсуа Виет (1504 – 1603) появился на Тегеранском университете.
свет в маленьком французском городке. В 32В алгебраическом трактате аль-Хорезми
1560 году он окончил парижский университет дается классификация линейных и квадратных
и начал адвокатскую практику, через уравнений. Автор насчитывает 6 видов
несколько лет перешел на государственную уравнений, выражая их следующим образом:
службу, став сначала советником короля «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
Генриха ???, а затем рекетмейстером – «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
докладчиком по ходатайствам. В 1569 году «Корни равны числу», т. е. ах = с.
покровитель Виета – король – был убит, и «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2
Виет стал служить новому королю. Жизнь его + с = bх. «Квадраты и корни равны числу»,
проходила на фоне кровавых событий войны, т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны
которую вели две мощные религиозные квадратам», т. е. bх + с = ах2. Для
группировки католиков и протестантов – аль-Хорезми, избегавшего употребления
гугенотов. Достаточно сказать, что он отрицательных чисел, члены каждого из этих
пережил Варфоломеевскую ночь. Но был уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При
небольшой промежуток времени, когда из-за этом заведомо не берутся во внимание
происков врагов Виет был отстранен от уравнения, у которых нет положительных
военной службы и получил неожиданный решений. Автор излагает способы решения
досуг. указанных уравнений, пользуясь приемами
19Сейчас нам трудно представить аль-джабр и валь-мукабала. Его решение,
математику без формул и уравнений, но конечно, не совпадает полностью с нашим.
именно такой была она для Виета. Виет Уже не говоря о том, что оно чисто
завершил создание буквенного исчисления, риторическое, следует отметить, например,
введя обозначения не только для что при решении неполного квадратного
неизвестного и его степени, но и для уравнения первого вида аль-Хорезми, как и
параметров. Это позволило записать целые все математики до XVII в., не учитывает
классы задач, которые можно решать с нулевого решения, вероятно, потому, что в
помощью одного правила. Он встал у истоков конкретных практических задачах оно не
создания новой науки – тригонометрии. имеет значения. При решении полных
Многие тригонометрические формулы, которые квадратных уравнений аль-Хорезми на
ныне изучают в курсе математики средней частных числовых примерах излагает правила
школы, впервые были записаны Виетом. В решения, а затем их геометрические
1593 году он первым сформулировал теорему доказательства.
косинусов. Четыре года опалы оказались 33Решение задач. Индусская задача из
необычайно плодотворными для Виета. Он Бхасхары (1114г.). Квадрат пятой части
работал самозабвенно. По рассказам обезьян, уменьшенной на три, спрятался в
современников Виет мог просиживать за гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево,
письменным столом по трое суток подряд. была видна. Сколько было обезьян? Решение.
Только иногда забываясь сном на несколько Пусть было х обезьян. - Не удовл. Усл.
минут. В тот период он начал большой труд, Задачи. Ответ: 50 обезьян.
который назвал «Искусство анализа, или 34Решение задач. Индусская задача из
Новая алгебра». Книгу он не завершил, но Бхасхары (1114г.). На две партии
главное, что определило развитие всей разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть
математики Нового времени, было написано. восьмая их в квадрате В роще весело
20Из предложенных уравнений выберите резвилась; Криком радостным двенадцать
приведенные квадратные уравнения. 12х?+7х= Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты
- 7х?- 2х. Решить оставшиеся уравнения. мне скажешь, Обезьян там было в роще?
211) х2 + х – 2 = 0 2) х2 + 2х – 3 = 0 Решение. Пусть было х обезьян. Х = 48 или
3) х2 – 3х + 2 = 0 4) 100х2 + 34х – 134 = х = 16.
0 5) 200х2 – 23х – 177 = 0 6) х2 – х – 2 = 35Решение задач. Задача Безу (XVIII в.).
0 7) х2 – 2х – 3 = 0 8) 90х2– 25х -115 = Некто купил лошадь и спустя некоторое
0. Свойства коэффициентов квадратного время продал ее за 24 пистоля. При этом он
уравнения. потерял столько процентов своих денег,
22Свойства коэффициентов квадратного сколько стоила ему лошадь. За какую сумму
уравнения. Если в квадратном уравнении ах? денег была куплена лошадь первоначально?
+ вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с Решение Пусть х пистолей стоила лошадь, 1%
= 0, то х1 = 1; х2 = с/а. Пример. 5х? - 8х - пистолей потерял х%, т. е. известно, что
+3 = 0 так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1= 1; х2 продал ее за 24 пистоля. Лошадь стоила или
= 0,6. Если в квадратном уравнении ах? + х пистолей. Составляем уравнение: х = 60
вх + с = 0 выполняется равенство а + с = или х = 40. Ответ: за 60 или 40 пистолей.
в, то х1= -1; х2 = - с/а. Пример. 5х? + 8х 36Домашнее задание. Подготовиться к
+3 = 0 так как 5 + 3 = 8, то х1 = - 1; х2 контрольной работе. Задача из китайского
= - 0,6. . . . трактата «Математика в девяти книгах»
23Устно решить уравнения, применив (примерно II в.до н.э) «Имеется город с
«открытые» свойства. х 2– 17х - 18 = 0 границей в виде квадрата со стороной
100х2 – 97х – 197 = 0 2х2 – х – 3 = 0 5х2 неизвестного размера, в центре каждой
– х – 6 = 0. 14х2 – 17х + 3 = 0. , x2=2–. стороны находятся ворота. На расстоянии 20
Доп. , x2=3–. . бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне
24Решение квадратных уравнений с города) стоит столб. Если пройти от южных
параметрами. Х2 – (2а + 1)х + (а2 + а – 2) ворот прямо 14 бу, затем повернуть на
= 0. В заданном уравнении в роли запад и пройти еще 1775 бу, то можно
коэффициентов выступают не конкретные увидеть столб. Спрашивается: какова
числа, а буквенные выражения. Такие сторона границы города?».
уравнения называют уравнениями с
Квадратные уравнения.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/kvadratnye-uravnenija-153800.html
cсылка на страницу

Квадратные уравнения

другие презентации на тему «Квадратные уравнения»

«Квадратные уравнения урок» - Максимальное количество баллов – 18. I. Организационный момент. Нужно расшифровать слово. Полуфинал. На столе 3 карточки с заданиями. Если набрано от 3 до 5 баллов – оценка «3»; от 6 до 7 баллов – оценка «4»; 8 баллов и более – оценка «5». VI.Выставление оценок всем ученикам класса за работу на уроке.

«Решение квадратных уравнений 9 класс» - Решение кв. уравнений с помощью «номограмм» 1ч. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Метод выделения полного квадрата. Геометрический способ решения уравнения. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Пояснительная записка.

«Квадратные неравенства» - Нули функции: x = -5 и x = 10. Наличие корней определяется с помощью дискриминанта квадратного уравнения D=b2+ 4ас. Понятие квадратных неравенств. Выход. Решение квадратных неравенств. Рассмотрим решение квадратных неравенств на конкретном примере. К другому методу. Свойства неравенств. Для начала выполнения теста нажмите кнопку далее.

«Урок Решение квадратных уравнений» - Проверка домашнего задания. Смотрим вверх, вниз, не двигая головой. Решаем самостоятельно. (индивидуальные задания). Повторение пройденного материала. Индивидуальная работа. «Математический десерт». Проверь себя. Итоги урока. Вытянули голову вверх, повернули ею влево, вправо, вверх, вниз. 7-8 раз. Самостоятельная работа.

«Неполные квадратные уравнения» - Какое уравнение называется квадратным? Уравнение вида ах2+bх+с=0 называется квадратным, где а,b,с- заданные числа, а?0 х- неизвестное. X2 = 4 x2= - 16 3x2 = 0 в) Разложить на множители: x2 - 4 2x2 - x 3y + y2. Неполные квадратные уравнения. А - старший (первый) коэффициент; b – средний (второй) коэффициент; с – свободный член.

«Способы решения квадратных уравнений» - Способы решения. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Решение полных квадратных уравнений. Биография Виета Способы решения. Решение квадратных уравнений. Квадратные уравнения Способы решения. Определение. 3. По теореме обратной теореме Виета x2+bx+c=0 х1+х2=-b, x1?x2=c. Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение

34 презентации о квадратном уравнении
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки