Тригонометрические функции
<<  Обратные тригонометрические функции Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции  >>
Арксинус
Арксинус
Арккосинус
Арккосинус
Арктангенс
Арктангенс
Арккотангенс
Арккотангенс
I
I
Примеры
Примеры
Пример 2. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1. Решение
Пример 2. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1. Решение
II
II
Пример 3. Решить неравенство Решение
Пример 3. Решить неравенство Решение
Пример 4. Решить уравнение Решение
Пример 4. Решить уравнение Решение
Пример 5. Решить неравенство Решение
Пример 5. Решить неравенство Решение
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 7. Решить уравнение Решение
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x)
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
3) Решим неравенство f(x)
При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры,
При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры,
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Замена переменной
Пример 11
Пример 11
Пример 11
Пример 11
Пример 11
Пример 11
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
Пример 12
IV
IV
IV
IV
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 13
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 15
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Пример 16
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 2. Решить неравенство с параметром a: Решение
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Пример 3. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
Картинки из презентации «Обратные тригонометрические функции» к уроку алгебры на тему «Тригонометрические функции»

Автор: user. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Обратные тригонометрические функции.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 220 КБ.

Обратные тригонометрические функции

содержание презентации «Обратные тригонометрические функции.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Обратные тригонометрические функции. 18g(x). Предположим, что x0 – решение этого
Работу выполнила: Ученица 10 А класса МОУ уравнения. Обозначим arcsin f(x0) = arccos
«Гимназии №125» Щепеткова Дарья Рук. g(x0) через a. Тогда sin a = f(x0), cos a
Чикрин Е.А. = g(x0), откуда Итак, arcsin f(x) = arccos
2Историческая справка. g(x) (1).
Тригонометрические функции возникли 19Рассуждая аналогично, можно получить
впервые в связи с исследованиями в следующие переходы: Замечание. Корнем
астрономии и геометрии. Соотношения каждого из уравнений (1)–(4) может быть
отрезков в треугольнике и окружности, только такое число x0, для которого и . В
являющиеся по существу тригонометрическими противном случае множество значений левой
функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. и правой частей уравнения не пересекаются.
в работах математиков Древней Греции – 20Примеры. Пример 6. Решить уравнение
Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и Решение. Корень является посторонним.
других. В последующий период математика Ответ: {1}.
долгое время наиболее активно развивалась 21Пример 7. Решить уравнение Решение.
индийскими и арабсками учеными. В трудах Корень x = – 2 является посторонним.
по астрономии Ариабхаты появляется термин Ответ:
«ардхаджива». Позднее привилось более 22Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin
краткое название «джива», а при переводе x) = arcctg (cos x). Решение. Корни вида
математических терминов в XII в. Это слово являются посторонними. Ответ:
было заменено латинским «sinus». 23При решении неравенств, левая и правая
Принципиальное значение имело составление части которых представляют собой
Птолемеем первой таблицы синусов(долгое разноименные обратные тригонометрические
время она называлась таблицей хорд): функции, целесообразно использовать метод
появилось практическое средство решения интервалов, а в некоторых случаях
ряда прикладных задач, и в первую очередь учитывать свойства монотонных функций.
задач астрономии. Слово косинус –это Пример 9. Решить неравенство Решение.
сокращение латинского выражения Рассмотрим функцию и решим неравенство
«complementy sinus»(синус). Тангенсы f(x) ? 0 методом интервалов. 1) Найдем
возникли в связи с решением задачи об D(f). Для этого решим систему 2) Найдем
определении длины тени.Тангенс (а также нули f(x). Для этого решим уравнение
котангенс, секанс и косеканс) введен в X Корень x = – 2 является посторонним.
веке Абу-л-Вафой, который составил и 243) Решим неравенство f(x) ? 0 методом
первые таблицы для нахождения тангенсов и интервалов. Замечание 4. Заметим, что
котангенсов. Однако эти открытия долгое найдя корень уравнения можно было не
время оставались неизвестными европейским обращаться к методу интервалов, а
ученым, и тангенсы были заново открыты в воспользоваться тем, что функция является
XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом монотонно возрастающей, а функция
Региомонтаном. Первым автором, который монотонно убывающей на отрезке . Поэтому
использовал специальные символы для решением исходного неравенства является
обратных тригонометрических функций был, промежуток [– 2; 1]. Следует, однако,
Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as понимать, что метод интервалов является
и at соответственно вместо arcsin и более универсальным, – ведь его можно
arctg.Современные обозначения arcsin и применять и в тех случаях, когда
arctg появляются в 1772 г. в работах использование свойств монотонных функций
венского математика Шерфера известного не приводит к искомому результату.
французского ученого Лагранжа.Приставка 25При решении уравнений и неравенств
«arc» происходит от латинского данного типа, содержащих параметры,
«arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется становится актуальным вопрос о
со смыслом понятия: arcsin x, например,- равносильности преобразований. Чтобы
это угол (а можно сказать и дуга) синус преобразования (1)–(4) сделать
которого равен x. равносильными, следует учесть естественные
3Для тригонометрических функций можно ограничения, связанные с областями
определить обратные функции (круговые определения обратных тригонометрических
функции, аркфункции). Они обозначаются функций и множествами их значений (см.
соответственно , , , . К обратным замечание 3). Так, например,
тригонометрическим функциям обычно относят 26Замена переменной. Некоторые уравнения
шесть функций: арксинус (обозначение: и неравенства, содержащие обратные
arcsin) арккосинус (обозначение: arccos) тригонометрические функции, можно свести к
арктангенс (обозначение: arctg; в алгебраическим, сделав соответствующую
иностранной литературе arctan) замену переменной. При этом следует
арккотангенс (обозначение: arcctg; в помнить о естественных ограничениях на
иностранной литературе arccot или вводимую переменную, связанных с
arccotan) арксеканс (обозначение: arcsec) ограниченностью обратных
арккосеканс (обозначение: arccosec; в тригонометрических функций. Пример 10.
иностранной литературе arccsc). Решить уравнение Решение. Обозначим После
4Почему можно определить обратную преобразований получим уравнение Поскольку
тригонометрическую функцию. Теорема о откуда Ответ:
корне: Пусть функция f возрастает (или 27Пример 11. Решить неравенство Решение.
убывает) на промежутке I, число a – любое Пусть arccos x = t, 0 ? t ? p. Тогда
из значений, принимаемых f на этом Поскольку откуда Ответ: [– 1; cos 2] И
промежутке. Тогда уравнение F(x)=a имеет [cos 1; 1]. Иногда свести уравнение или
единственный корень в промежутке I. На неравенство к алгебраическому можно с
промежутке функция монотонна, возрастает, помощью тождества.
т.е. все значения от -1 до 1 принимает 28Пример 12. Решить уравнение Решение.
ровно один раз, поэтому можно определить Данное уравнение равносильно следующему:
обратную функцию - arcsin x. На промежутке Пусть arcsin x = t, Тогда.
функция монотонна, убывает, т.е. принимает 29IV. Использование свойств монотонности
все значения от -1 до 1 ровно один раз, и ограниченности обратных
поэтому можно определить обратную тригонометрических функций Решение
тригонометрическую функцию. На интервале некоторых уравнений и неравенств,
функция монотонна, возрастает и принимает содержащих обратные тригонометрические
все значения из R ровно один раз, поэтому функции, основывается исключительно на
можно определить обратную таких свойствах этих функций, как
тригонометрическую функцию. На интервале монотонность и ограниченность. При этом
функция монотонна, убывает , принимает все используются следующие теоремы. Теорема 1.
значения из R ровно один раз, поэтому мы Если функция y = f(x) монотонна, то
можем определить обратную уравнение f(x) = c (c = const) имеет не
тригонометрическую функцию. более одного решения. Теорема 2. Если
5Арксинус. , Арксинус -угол из функция y = f(x) монотонно возрастает, а
промежутка синус которого равен а. Если , функция y = g(x) монотонно убывает, то
то Функция y = arcsinx непрерывна и уравнение f(x) = g(x) имеет не более
ограничена на всей своей числовой прямой. одного решения. Теорема 3. Если то на
Функция y = arcsinx является строго множестве X уравнение f(x) = g(x)
возрастающей. --функция нечетная Таким равносильно системе.
образом, arcsina, (arctga) - угол первой 30Пример 13. Решить уравнение 2arcsin 2x
четверти, если a - положительно, и угол = 3arccos x. Решение. Функция y = 2arcsin
четвертой четверти, если a - отрицательно. 2x является монотонно возрастающей, а
6Арккосинус. Арккосинус -угол из функция y = 3arccos x – монотонно
промежутка , косинус которого равен а. убывающей. Число x = 0,5 является,
Если , то Функция y = arccosx непрерывна и очевидно, корнем данного уравнения. В силу
ограничена на всей своей числовой прямой. теоремы 2 этот корень – единственный.
Функция y = arccosx является строго Ответ: {0,5}. Пример 14. Решить уравнение
убывающей. arccosa (arctga) - угол первой Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид
четверти, если a - положительно, и угол Функции являются монотонно возрастающими.
второй четверти, если a - отрицательно. Поэтому функция также является монотонно
7Арктангенс. , Арктангенс -угол из возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
интервала тангенс которого равен а. - имеет не более одного корня. Очевидно, что
нечётная функция Функций непрерывна и t = 0 является корнем этого уравнения.
ограничена на всей своей числовой прямой. Поэтому Ответ: {– 1; 0}.
Функция является строго возрастающей. 31Пример 15. Решить неравенство Решение.
8Арккотангенс. Арккотангенс -угол из Левая часть неравенства представляет собой
интервала , котангенс которого равен а. монотонно убывающую на отрезке функцию
Функция непрерывна и ограничена на всей Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более
своей числовой прямой. Функция является одного корня. Очевидно, что – корень этого
строго убывающей. уравнения. Поэтому решением неравенства
9Преобразований сумм обратных является отрезок Ответ:
тригонометрических функций. ; На 32Пример 16. Решить уравнение arcsin
промежутке функция возрастает, т.е. каждое (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = ?.
свое значение принимает ровно один раз, Решение. Поскольку arcsin то левая часть
т.е. если на промежутке . Аналогично: уравнения не превосходит Знак равенства
10I. Уравнения и неравенства, левая и возможен, лишь если каждое слагаемое левой
правая части которых являются одноименными части равно Таким образом, уравнение
обратными тригонометрическими функциями. равносильно системе: Решение последней
Решение уравнений и неравенств, левая и системы не представляет труда.
правая части которых представляют собой 33Уравнения и неравенства с параметрами.
одноименные обратные тригонометрические Пример 1. Решить уравнение с параметром a:
функции различных аргументов, Решение. Уравнение равносильно уравнению
основывается, прежде всего, на таком Рассмотрим два случая: 1) a = 0. В этом
свойстве этих функций, как монотонность( случае система примет вид: 2) a ? 0. В
функции y = arcsin t и y = arctg t этом случае уравнение системы является
монотонно возрастают, а функции y = arccos квадратным. Его корни: Так как | x | ? 1,
t и y = arcctg t монотонно убывают на то Если a = – 1, то Если то уравнение
своих областях определения). Поэтому имеет два корня. Ответ: при при a = – 1 и
справедливы следующие равносильные a = 0 x = 1; при прочих a решений нет.
переходы. Замечание. Какой из двух 34Пример 2. Решить неравенство с
равносильных систем пользоваться при параметром a: Решение. Неравенство
решении уравнений 1а), зависит от того, равносильно системе. Решать последнюю
какое неравенство проще: | f(x) | ? 1 систему можно графо-аналитическим методом,
(тогда используем первую систему), или | учитывая то, что при a > первое
g(x) | ? 1 (в этом случае используем неравенство системы равносильно
вторую систему). неравенству x ? 1, при a < –
11Примеры. Пример 1. Решить уравнение неравенству x ? 1, при a = решением
Решение. Уравнение равносильно системе: первого неравенства является любое
Замечание. Решать неравенство, входящее в действительное число. Множество всех точек
систему не обязательно. Достаточно (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих
проверить, удовлетворяют ли неравенству системе, показано на рис. 1 штриховкой.
найденные корни уравнения. Ответ: при | a | > решений нет; при a
12Пример 2. Решить неравенство 3arcsin =– x = 1;
2x < 1. Решение. 35Пример 3. Решить уравнение с
13II. Замечание. Какой из двух параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x
равносильных систем пользоваться при – a). Решение. Данное уравнение
решении уравнений 2а), зависит от того, равносильно системе Графиком квадратного
какое неравенство проще: | f(x) | ? 1 трехчлена является парабола, ветви которой
(тогда используем первую систему), или | направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1
g(x) | ? 1 (в этом случае используем < 0, то при любом a уравнение f(x) = 0
вторую систему). имеет ровно 2 корня, между которыми и
14Пример 3. Решить неравенство Решение. заключено число 2a. Поэтому только больший
Ответ: {– 2}. корень f(x) удовлетворяет условию x >
15Пример 4. Решить уравнение Решение. 2a. Это корень Ответ: при любом a.
Так как , то имеет место следующая цепочка 36Список используемой литературы. 1.
равносильных преобразований: Коломогоров «алгебра начало анализа» 2.
16III. IV. А) arctg f(x) = arctg g(x) Вельмушкина, Н. Уравнения, содержащие
f(x) = g(x); б) acrtg f(x) ? arctg g(x) обратные тригонометрические функции
f(x) ? g(x). А) arcctg f(x) = arcctg g(x) [Текст] / Н. Вельмушкина // Математика /
f(x) = g(x); б) arcctg f(x) ? arcctg g(x) Прил. к ПС, 2004. – №6. – С.26-27. 3. В.С.
f(x) ? g(x). Крамор, П.А Михайлов "
17Пример 5. Решить неравенство Решение. Тригонометрические функции ." Москва
Неравенство равносильно следующему: "Просвещение " 1983г. 4. В. Н.
18Уравнения и неравенства, левая и Литвиненко, А. Г. Мордкович . "
правая части которых являются Практикум по решению математических задач.
разноименными обратными " Москва "Просвещение "
тригонометрическими функциями. При решении 1984г. 5. А.П. Ершова , В. В. Голобородько
уравнений и неравенств, левая и правая " Алгебра . Начала анализа. "
части которых являются разноименными "ИЛЕКСА " Москва 2003г 6.
обратными тригонометрическими функциями, Кожеуров, П.Я. Тригонометрия [Текст] /
пользуются известными тригонометрическими П.Я. Кожеуров. – М.: Физматгиз, 1963. –
тождествами. Рассуждения здесь могут быть 320с. 7. Савин, А. Тригонометрия [Текст] /
примерно следующими. Пусть требуется А. Савин // Квант, 1996. – №4.
решить уравнение arcsin f(x) = arccos
Обратные тригонометрические функции.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/obratnye-trigonometricheskie-funktsii-103158.html
cсылка на страницу

Обратные тригонометрические функции

другие презентации на тему «Обратные тригонометрические функции»

«Тригонометрические функции и их свойства» - Свйства функции y=ctg x. Тригонометрические функции Функция y = cos x Свойства функции y = cos x. Учебный проект на тему: Ты, я и тригонометрия. Тригонометрические функции Тангенс и котангенс. Свойство 2. E(y) = (-?;+?). Тригонометрические функции Числовая окружность. Свойство 1. D(y) = (0;+П/2). Тригонометрические функции Функция y = sin x Свойства функции y = sin x.

«Тригонометрические уравнения и их решения» - Решение квадратного уравнения. Основное тригонометрическое тождество. Простейшие тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции. Решите уравнения. Образец решения. Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной.

«Тригонометрические формулы» - Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс. Формулы приведения. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Формулы тройных углов. V. Формулы половинных углов. Преобразование тригонометрических выражений (вывод тригонометрических формул). Формулы двойных углов. По тригонометрическим функциям угла ?.

«Построить график функции» - Дана функция y=sinx+1. Растяжение графика y=cosx по оси y. Смещение графика y=cosx по горизонтали. Чтобы вернуться к содержанию нажмите сюда. Содержание: Постройте график функции. График функции y= m*cos x. Графики и функций y=m sinx+n и y=m cosx+n. Чтобы перейти к примерам задач щёлкните л. кнопкой мышки.

«Обратная биологическая связь» - Область применения БОС. История изучения БОС. Творчество. Системный анализ и принятие решений. Впервые (из американцев) возможность биоуправления у человека открыл Дж. Что лежит в основе БОС? Необходимо подходить дифференцировано к каждому пациенту. Необходимость выбора адекватных критериев управления (2).

Тригонометрические функции

18 презентаций о тригонометрических функциях
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Тригонометрические функции > Обратные тригонометрические функции