Картинки на тему «Обратные тригонометрические функции» |
| Тригонометрические функции | ||
| << Обратные тригонометрические функции | Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции >> |
Картинки из презентации «Обратные тригонометрические функции» к уроку алгебры на тему «Тригонометрические функции»
Автор: user. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Обратные тригонометрические функции.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 220 КБ.
Обратные тригонометрические функции
содержание презентации «Обратные тригонометрические функции.ppt»| Сл | Текст | Сл | Текст |
| 1 | Обратные тригонометрические функции. | 18 | g(x). Предположим, что x0 – решение этого |
| Работу выполнила: Ученица 10 А класса МОУ | уравнения. Обозначим arcsin f(x0) = arccos | ||
| «Гимназии №125» Щепеткова Дарья Рук. | g(x0) через a. Тогда sin a = f(x0), cos a | ||
| Чикрин Е.А. | = g(x0), откуда Итак, arcsin f(x) = arccos | ||
| 2 | Историческая справка. | g(x) (1). | |
| Тригонометрические функции возникли | 19 | Рассуждая аналогично, можно получить | |
| впервые в связи с исследованиями в | следующие переходы: Замечание. Корнем | ||
| астрономии и геометрии. Соотношения | каждого из уравнений (1)–(4) может быть | ||
| отрезков в треугольнике и окружности, | только такое число x0, для которого и . В | ||
| являющиеся по существу тригонометрическими | противном случае множество значений левой | ||
| функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. | и правой частей уравнения не пересекаются. | ||
| в работах математиков Древней Греции – | 20 | Примеры. Пример 6. Решить уравнение | |
| Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и | Решение. Корень является посторонним. | ||
| других. В последующий период математика | Ответ: {1}. | ||
| долгое время наиболее активно развивалась | 21 | Пример 7. Решить уравнение Решение. | |
| индийскими и арабсками учеными. В трудах | Корень x = – 2 является посторонним. | ||
| по астрономии Ариабхаты появляется термин | Ответ: | ||
| «ардхаджива». Позднее привилось более | 22 | Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin | |
| краткое название «джива», а при переводе | x) = arcctg (cos x). Решение. Корни вида | ||
| математических терминов в XII в. Это слово | являются посторонними. Ответ: | ||
| было заменено латинским «sinus». | 23 | При решении неравенств, левая и правая | |
| Принципиальное значение имело составление | части которых представляют собой | ||
| Птолемеем первой таблицы синусов(долгое | разноименные обратные тригонометрические | ||
| время она называлась таблицей хорд): | функции, целесообразно использовать метод | ||
| появилось практическое средство решения | интервалов, а в некоторых случаях | ||
| ряда прикладных задач, и в первую очередь | учитывать свойства монотонных функций. | ||
| задач астрономии. Слово косинус –это | Пример 9. Решить неравенство Решение. | ||
| сокращение латинского выражения | Рассмотрим функцию и решим неравенство | ||
| «complementy sinus»(синус). Тангенсы | f(x) ? 0 методом интервалов. 1) Найдем | ||
| возникли в связи с решением задачи об | D(f). Для этого решим систему 2) Найдем | ||
| определении длины тени.Тангенс (а также | нули f(x). Для этого решим уравнение | ||
| котангенс, секанс и косеканс) введен в X | Корень x = – 2 является посторонним. | ||
| веке Абу-л-Вафой, который составил и | 24 | 3) Решим неравенство f(x) ? 0 методом | |
| первые таблицы для нахождения тангенсов и | интервалов. Замечание 4. Заметим, что | ||
| котангенсов. Однако эти открытия долгое | найдя корень уравнения можно было не | ||
| время оставались неизвестными европейским | обращаться к методу интервалов, а | ||
| ученым, и тангенсы были заново открыты в | воспользоваться тем, что функция является | ||
| XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом | монотонно возрастающей, а функция | ||
| Региомонтаном. Первым автором, который | монотонно убывающей на отрезке . Поэтому | ||
| использовал специальные символы для | решением исходного неравенства является | ||
| обратных тригонометрических функций был, | промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, | ||
| Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as | понимать, что метод интервалов является | ||
| и at соответственно вместо arcsin и | более универсальным, – ведь его можно | ||
| arctg.Современные обозначения arcsin и | применять и в тех случаях, когда | ||
| arctg появляются в 1772 г. в работах | использование свойств монотонных функций | ||
| венского математика Шерфера известного | не приводит к искомому результату. | ||
| французского ученого Лагранжа.Приставка | 25 | При решении уравнений и неравенств | |
| «arc» происходит от латинского | данного типа, содержащих параметры, | ||
| «arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется | становится актуальным вопрос о | ||
| со смыслом понятия: arcsin x, например,- | равносильности преобразований. Чтобы | ||
| это угол (а можно сказать и дуга) синус | преобразования (1)–(4) сделать | ||
| которого равен x. | равносильными, следует учесть естественные | ||
| 3 | Для тригонометрических функций можно | ограничения, связанные с областями | |
| определить обратные функции (круговые | определения обратных тригонометрических | ||
| функции, аркфункции). Они обозначаются | функций и множествами их значений (см. | ||
| соответственно , , , . К обратным | замечание 3). Так, например, | ||
| тригонометрическим функциям обычно относят | 26 | Замена переменной. Некоторые уравнения | |
| шесть функций: арксинус (обозначение: | и неравенства, содержащие обратные | ||
| arcsin) арккосинус (обозначение: arccos) | тригонометрические функции, можно свести к | ||
| арктангенс (обозначение: arctg; в | алгебраическим, сделав соответствующую | ||
| иностранной литературе arctan) | замену переменной. При этом следует | ||
| арккотангенс (обозначение: arcctg; в | помнить о естественных ограничениях на | ||
| иностранной литературе arccot или | вводимую переменную, связанных с | ||
| arccotan) арксеканс (обозначение: arcsec) | ограниченностью обратных | ||
| арккосеканс (обозначение: arccosec; в | тригонометрических функций. Пример 10. | ||
| иностранной литературе arccsc). | Решить уравнение Решение. Обозначим После | ||
| 4 | Почему можно определить обратную | преобразований получим уравнение Поскольку | |
| тригонометрическую функцию. Теорема о | откуда Ответ: | ||
| корне: Пусть функция f возрастает (или | 27 | Пример 11. Решить неравенство Решение. | |
| убывает) на промежутке I, число a – любое | Пусть arccos x = t, 0 ? t ? p. Тогда | ||
| из значений, принимаемых f на этом | Поскольку откуда Ответ: [– 1; cos 2] И | ||
| промежутке. Тогда уравнение F(x)=a имеет | [cos 1; 1]. Иногда свести уравнение или | ||
| единственный корень в промежутке I. На | неравенство к алгебраическому можно с | ||
| промежутке функция монотонна, возрастает, | помощью тождества. | ||
| т.е. все значения от -1 до 1 принимает | 28 | Пример 12. Решить уравнение Решение. | |
| ровно один раз, поэтому можно определить | Данное уравнение равносильно следующему: | ||
| обратную функцию - arcsin x. На промежутке | Пусть arcsin x = t, Тогда. | ||
| функция монотонна, убывает, т.е. принимает | 29 | IV. Использование свойств монотонности | |
| все значения от -1 до 1 ровно один раз, | и ограниченности обратных | ||
| поэтому можно определить обратную | тригонометрических функций Решение | ||
| тригонометрическую функцию. На интервале | некоторых уравнений и неравенств, | ||
| функция монотонна, возрастает и принимает | содержащих обратные тригонометрические | ||
| все значения из R ровно один раз, поэтому | функции, основывается исключительно на | ||
| можно определить обратную | таких свойствах этих функций, как | ||
| тригонометрическую функцию. На интервале | монотонность и ограниченность. При этом | ||
| функция монотонна, убывает , принимает все | используются следующие теоремы. Теорема 1. | ||
| значения из R ровно один раз, поэтому мы | Если функция y = f(x) монотонна, то | ||
| можем определить обратную | уравнение f(x) = c (c = const) имеет не | ||
| тригонометрическую функцию. | более одного решения. Теорема 2. Если | ||
| 5 | Арксинус. , Арксинус -угол из | функция y = f(x) монотонно возрастает, а | |
| промежутка синус которого равен а. Если , | функция y = g(x) монотонно убывает, то | ||
| то Функция y = arcsinx непрерывна и | уравнение f(x) = g(x) имеет не более | ||
| ограничена на всей своей числовой прямой. | одного решения. Теорема 3. Если то на | ||
| Функция y = arcsinx является строго | множестве X уравнение f(x) = g(x) | ||
| возрастающей. --функция нечетная Таким | равносильно системе. | ||
| образом, arcsina, (arctga) - угол первой | 30 | Пример 13. Решить уравнение 2arcsin 2x | |
| четверти, если a - положительно, и угол | = 3arccos x. Решение. Функция y = 2arcsin | ||
| четвертой четверти, если a - отрицательно. | 2x является монотонно возрастающей, а | ||
| 6 | Арккосинус. Арккосинус -угол из | функция y = 3arccos x – монотонно | |
| промежутка , косинус которого равен а. | убывающей. Число x = 0,5 является, | ||
| Если , то Функция y = arccosx непрерывна и | очевидно, корнем данного уравнения. В силу | ||
| ограничена на всей своей числовой прямой. | теоремы 2 этот корень – единственный. | ||
| Функция y = arccosx является строго | Ответ: {0,5}. Пример 14. Решить уравнение | ||
| убывающей. arccosa (arctga) - угол первой | Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид | ||
| четверти, если a - положительно, и угол | Функции являются монотонно возрастающими. | ||
| второй четверти, если a - отрицательно. | Поэтому функция также является монотонно | ||
| 7 | Арктангенс. , Арктангенс -угол из | возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение | |
| интервала тангенс которого равен а. - | имеет не более одного корня. Очевидно, что | ||
| нечётная функция Функций непрерывна и | t = 0 является корнем этого уравнения. | ||
| ограничена на всей своей числовой прямой. | Поэтому Ответ: {– 1; 0}. | ||
| Функция является строго возрастающей. | 31 | Пример 15. Решить неравенство Решение. | |
| 8 | Арккотангенс. Арккотангенс -угол из | Левая часть неравенства представляет собой | |
| интервала , котангенс которого равен а. | монотонно убывающую на отрезке функцию | ||
| Функция непрерывна и ограничена на всей | Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более | ||
| своей числовой прямой. Функция является | одного корня. Очевидно, что – корень этого | ||
| строго убывающей. | уравнения. Поэтому решением неравенства | ||
| 9 | Преобразований сумм обратных | является отрезок Ответ: | |
| тригонометрических функций. ; На | 32 | Пример 16. Решить уравнение arcsin | |
| промежутке функция возрастает, т.е. каждое | (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = ?. | ||
| свое значение принимает ровно один раз, | Решение. Поскольку arcsin то левая часть | ||
| т.е. если на промежутке . Аналогично: | уравнения не превосходит Знак равенства | ||
| 10 | I. Уравнения и неравенства, левая и | возможен, лишь если каждое слагаемое левой | |
| правая части которых являются одноименными | части равно Таким образом, уравнение | ||
| обратными тригонометрическими функциями. | равносильно системе: Решение последней | ||
| Решение уравнений и неравенств, левая и | системы не представляет труда. | ||
| правая части которых представляют собой | 33 | Уравнения и неравенства с параметрами. | |
| одноименные обратные тригонометрические | Пример 1. Решить уравнение с параметром a: | ||
| функции различных аргументов, | Решение. Уравнение равносильно уравнению | ||
| основывается, прежде всего, на таком | Рассмотрим два случая: 1) a = 0. В этом | ||
| свойстве этих функций, как монотонность( | случае система примет вид: 2) a ? 0. В | ||
| функции y = arcsin t и y = arctg t | этом случае уравнение системы является | ||
| монотонно возрастают, а функции y = arccos | квадратным. Его корни: Так как | x | ? 1, | ||
| t и y = arcctg t монотонно убывают на | то Если a = – 1, то Если то уравнение | ||
| своих областях определения). Поэтому | имеет два корня. Ответ: при при a = – 1 и | ||
| справедливы следующие равносильные | a = 0 x = 1; при прочих a решений нет. | ||
| переходы. Замечание. Какой из двух | 34 | Пример 2. Решить неравенство с | |
| равносильных систем пользоваться при | параметром a: Решение. Неравенство | ||
| решении уравнений 1а), зависит от того, | равносильно системе. Решать последнюю | ||
| какое неравенство проще: | f(x) | ? 1 | систему можно графо-аналитическим методом, | ||
| (тогда используем первую систему), или | | учитывая то, что при a > первое | ||
| g(x) | ? 1 (в этом случае используем | неравенство системы равносильно | ||
| вторую систему). | неравенству x ? 1, при a < – | ||
| 11 | Примеры. Пример 1. Решить уравнение | неравенству x ? 1, при a = решением | |
| Решение. Уравнение равносильно системе: | первого неравенства является любое | ||
| Замечание. Решать неравенство, входящее в | действительное число. Множество всех точек | ||
| систему не обязательно. Достаточно | (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих | ||
| проверить, удовлетворяют ли неравенству | системе, показано на рис. 1 штриховкой. | ||
| найденные корни уравнения. | Ответ: при | a | > решений нет; при a | ||
| 12 | Пример 2. Решить неравенство 3arcsin | =– x = 1; | |
| 2x < 1. Решение. | 35 | Пример 3. Решить уравнение с | |
| 13 | II. Замечание. Какой из двух | параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x | |
| равносильных систем пользоваться при | – a). Решение. Данное уравнение | ||
| решении уравнений 2а), зависит от того, | равносильно системе Графиком квадратного | ||
| какое неравенство проще: | f(x) | ? 1 | трехчлена является парабола, ветви которой | ||
| (тогда используем первую систему), или | | направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 | ||
| g(x) | ? 1 (в этом случае используем | < 0, то при любом a уравнение f(x) = 0 | ||
| вторую систему). | имеет ровно 2 корня, между которыми и | ||
| 14 | Пример 3. Решить неравенство Решение. | заключено число 2a. Поэтому только больший | |
| Ответ: {– 2}. | корень f(x) удовлетворяет условию x > | ||
| 15 | Пример 4. Решить уравнение Решение. | 2a. Это корень Ответ: при любом a. | |
| Так как , то имеет место следующая цепочка | 36 | Список используемой литературы. 1. | |
| равносильных преобразований: | Коломогоров «алгебра начало анализа» 2. | ||
| 16 | III. IV. А) arctg f(x) = arctg g(x) | Вельмушкина, Н. Уравнения, содержащие | |
| f(x) = g(x); б) acrtg f(x) ? arctg g(x) | обратные тригонометрические функции | ||
| f(x) ? g(x). А) arcctg f(x) = arcctg g(x) | [Текст] / Н. Вельмушкина // Математика / | ||
| f(x) = g(x); б) arcctg f(x) ? arcctg g(x) | Прил. к ПС, 2004. – №6. – С.26-27. 3. В.С. | ||
| f(x) ? g(x). | Крамор, П.А Михайлов " | ||
| 17 | Пример 5. Решить неравенство Решение. | Тригонометрические функции ." Москва | |
| Неравенство равносильно следующему: | "Просвещение " 1983г. 4. В. Н. | ||
| 18 | Уравнения и неравенства, левая и | Литвиненко, А. Г. Мордкович . " | |
| правая части которых являются | Практикум по решению математических задач. | ||
| разноименными обратными | " Москва "Просвещение " | ||
| тригонометрическими функциями. При решении | 1984г. 5. А.П. Ершова , В. В. Голобородько | ||
| уравнений и неравенств, левая и правая | " Алгебра . Начала анализа. " | ||
| части которых являются разноименными | "ИЛЕКСА " Москва 2003г 6. | ||
| обратными тригонометрическими функциями, | Кожеуров, П.Я. Тригонометрия [Текст] / | ||
| пользуются известными тригонометрическими | П.Я. Кожеуров. – М.: Физматгиз, 1963. – | ||
| тождествами. Рассуждения здесь могут быть | 320с. 7. Савин, А. Тригонометрия [Текст] / | ||
| примерно следующими. Пусть требуется | А. Савин // Квант, 1996. – №4. | ||
| решить уравнение arcsin f(x) = arccos | |||
| Обратные тригонометрические функции.ppt | |||
http://900igr.net/kartinka/algebra/obratnye-trigonometricheskie-funktsii-103158.html
cсылка на страницу
Обратные тригонометрические функции
другие презентации на тему «Обратные тригонометрические функции»
«Тригонометрические функции и их свойства» - Свйства функции y=ctg x. Тригонометрические функции Функция y = cos x Свойства функции y = cos x. Учебный проект на тему: Ты, я и тригонометрия. Тригонометрические функции Тангенс и котангенс. Свойство 2. E(y) = (-?;+?). Тригонометрические функции Числовая окружность. Свойство 1. D(y) = (0;+П/2). Тригонометрические функции Функция y = sin x Свойства функции y = sin x.
«Тригонометрические уравнения и их решения» - Решение квадратного уравнения. Основное тригонометрическое тождество. Простейшие тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции. Решите уравнения. Образец решения. Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной.
«Тригонометрические формулы» - Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс. Формулы приведения. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Формулы тройных углов. V. Формулы половинных углов. Преобразование тригонометрических выражений (вывод тригонометрических формул). Формулы двойных углов. По тригонометрическим функциям угла ?.
«Построить график функции» - Дана функция y=sinx+1. Растяжение графика y=cosx по оси y. Смещение графика y=cosx по горизонтали. Чтобы вернуться к содержанию нажмите сюда. Содержание: Постройте график функции. График функции y= m*cos x. Графики и функций y=m sinx+n и y=m cosx+n. Чтобы перейти к примерам задач щёлкните л. кнопкой мышки.
«Обратная биологическая связь» - Область применения БОС. История изучения БОС. Творчество. Системный анализ и принятие решений. Впервые (из американцев) возможность биоуправления у человека открыл Дж. Что лежит в основе БОС? Необходимо подходить дифференцировано к каждому пациенту. Необходимость выбора адекватных критериев управления (2).
Тригонометрические функции
18 презентаций о тригонометрических функциях
Алгебра
35 тем
Алгебра
Числа
Проценты
Степень
Корень
Логарифм
Одночлены
Многочлены
○ Действия с многочленами
Уравнения
○ Квадратное уравнение
○ Системы уравнений
Неравенства
Прогрессии
○ Геометрич.прогрессия
Функции
○ Свойства функции
○ График функции
○ Виды функций
▫ Квадратичная функция
Тригонометрия
▫ Тригонометрич.функции
Последовательность
Производная
○ Вычисление производн.
Интегралы
Комбинаторика
○ Множества
○ Операции над множеств.
Вероятность
Статистика
Логика
○ Алгебра логики
Координаты
Без темы
Похожие
презентации
Картинки
900igr.net
>
Презентации по алгебре
>
Тригонометрические функции
>
Обратные тригонометрические функции