Интегралы
<<  Определённый интеграл Применение определенного интеграла  >>
Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить
Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить
б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения
б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения
Пример
Пример
Пример 2. Найти область определения функции
Пример 2. Найти область определения функции
Расслабляйся
Расслабляйся
Картинки из презентации «Определенный интеграл» к уроку алгебры на тему «Интегралы»

Автор: INFORMATIKA 1. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Определенный интеграл.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 232 КБ.

Определенный интеграл

содержание презентации «Определенный интеграл.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Определенный интеграл. Продолжение. 23zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' = (x –
2План лекции: Замена переменной в const) = (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y'
определенном интеграле. Приложения = = 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 +
определенного интеграла. Функции 6y2 2. z = xy, zx', zy' - ? zx' = (xy)x' =
нескольких переменных (частные yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx (y – const) (x
производные, дифференцирование сложных – const).
функций, экстремумы функций нескольких 24Полный дифференциал. Пусть z=z(x, y),
переменных). где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v –
3I. Замена переменной в определенном независимые переменные. Тогда частные
интеграле. При вычислении определенного производные сложной функции z = z(x(u, v),
интеграла методом замены переменной данный y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам:
интеграл с помощью замены ?(х) = t (1) (2).
преобразуется в другой определенный 25Пример. Найдем 6 частных производных,
интеграл с новой переменной интегрирования входящих в правые части равенств (1) и
t, причем старые пределы интегрирования х1 (2):
= a и х2 = b. 26Эти 6 производных подставляются в (1)
4заменяются новыми пределами t1 = ?(a) и (2): В данные выражения подставлять x(u,
и t2 = ?(b) согласно уравнению замены: v) и y(u, v) и упрощать их необязательно.
Пример. Вычислить Сделаем замену: В каждом конкретном случае, когда
5Вычислим новые пределы интегрирования: необходимо вычислить z’u и z’v в т. М(х0;
при при Теперь. у0), рациональнее предварительно вычислять
6II. Приложения определенного х и у в этой точке и полученные значения
интеграла. Площадь плоской фигуры: а) подставлять в (3) и (4).
площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 27Частные производные высших порядков.
а, х = b и двумя непрерывными кривыми y = Частными производными второго порядка
f1(x) и y = f2(x), где разность функций функции z=z(x, y) называются частные
имеет постоянный знак, находится по производные от частных производных первого
формуле. порядка.
7Если знаки разности функций известны, 28Порядок дифференцирования указан в
то знаки модуля можно опустить согласно индексе пи прочтении слева направо.
определению модуля. Последние две производные отличаются
8б) В случае, если фигура ограничена по только порядком, называются смешанными и в
бокам точками пересечения кривых f1(x) и случае их непрерывности равны. Пример. z =
f2(x), то площадь вычисляется по такой же x2-2xy2 Найти все частные производные
формуле, но пределы интегрирования 2-ого порядка и проверить равенство z’’xy
находятся как абсциссы этих точек = z’’yx.
пересечения. 29Вначале найдем частные производные
9Пример. Вычислить площадь фигуры, первого порядка: z’x = (x2-2xy2)’x =
ограниченной параболой y = x2 + 4x и 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy Теперь
прямой y = x + 4. Сделаем чертеж: z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y =
10Предел a = -4 находится по построению. -4x z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx =
Найдем оба предела интегрирования как (-4xy)’x = -4y Нетрудно видеть, что z’’xy
абсциссы точек пересечения линий. Так как = z’’yx Выполнение этого условия может
в точках пересечения значения обеих служить критерием правильности нахождения
функций y1 и y2 равны, то. частных производных 1-ого порядка и
11Тогда кв. ед. смешанных – 2-ого порядка.
122. Решение физических задач. Если 30Экстремум функции нескольких
точка движется по некоторой кривой со переменных. Точка M(a; b) называется
скоростью v(t) ? 0, то путь, пройденный точкой максимума (минимума) функции Z(x ,
точкой за время [t1; t2], равен. y), если существует такая окрестность
13Пример. Скорость точки равна v = 3t2 + точки M, что для всех других точек из этой
2t (м/с). Найти путь S, который точка окрестности Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x,
преодолела за время t = 4 c, прошедшее с y)>Z(a, b)) Точки максимума и минимума
начала движения. В нашем случае t1 = 0, t2 функции называются точками ее экстремума.
= 4. Тогда. Соответствующее значение функции есть
14б) Работа силы. Если переменная сила экстремум.
F(x) действует по оси Ох, то работа силы 31Находить экстремум согласно
на отрезке [x1; x2] равна Пример. Какую определению в общем случае бессмысленно.
работу нужно затратить, чтобы растянуть Выделить из области определения функции
пружину на 6 см, если сила в 1 кг конечное число точек, претендующих на
растягивает ее на 1 см? точки экстремума, помогает необходимое
15Из закона Гука следует, что F = kx, условие экстремума. «Точками экстремума
где k – коэффициент пропорциональности. В могут служить только критические точки,
нашем случае при x = 0,01 м сила F = 1 кг. т.е. точки из области определения функции,
Отсюда т.е. F = 100 x. Кроме того, x1 = 0, в которых все ее частные производные 1-ого
x2 = 0,06. Тогда искомая работа есть. порядка обращаются в нуль, или не
16III. Функции нескольких переменных. существует хотя бы одна из них». Выделить
Определение. Если каждой паре из множества критических точек точки
действительных чисел (x; y) из области D экстремума позволяют достаточные условия
по определенному правилу ставится в экстремума. Укажем на 2 из них.
соответствие только одно число z из 32Точками экстремума являются лишь те из
области Е, то говорит, что на множестве D критических точек, в окрестности которых
задана функция двух переменных z = z(x, приращение функции ?Z = Z(x, y) - Z(a, b)
y). Значение z(a; b) функции z = z (x, y) не меняет знака. При этом, если ?Z>0
есть значение этой функции, вычисленное (?Z<0), то критическая точка есть точка
при x = a, y = b. минимума (максимума).
17Пример 1. . Найти значение z в т. М(1; 33Рассмотрим в критической точке М(a; b)
-1). дискриминант ?=АС-В2, где А=z’’xx(a; b),
18Пример 2. Найти область определения C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или
функции . Такая функция вычисляется, если B=z’’yx(a; b). Тогда: 1) если ?>0, то
подкоренное выражение неотрицательно, т.е. М(a; b) - точка экстремума, а именно точка
1 – x2 – y2 ? 0 ? x2 + y2 ? 1. Область максимума при А<0 (или C<0) и точка
есть указанный на рисунке круг. минимума при A>0 (или C>0); 2) если
19Частные производные. Определение. ?<0, то в точке М экстремума нет; 3)
Частной производной функции z = z(x, y) по если ?=0, то требуется дополнительное
аргументу x называется производная этой исследование.
функции по x, при постоянном y. 34Пример. Найти экстремум функции
Обозначения: z=y2-4y+x2 Найдем критические точки.
20Аналогично, частной производной Выпишем частные производные 1-ого порядка:
функции z = z(x, y) по аргументу y z’x=(y2-4y+x2)’x=2x z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4
называется производная этой функции по y Приравниваем их к нулю: - Критическая
при постоянном x. Обозначения: точка.
21Из определения следует, что на момент 35Производные существуют во всей области
дифференцирования функция z является определения. Найдем дискриминант ?=АС-В2.
функцией одной переменной и, Для этого вначале вычислим частные
следовательно, при нахождении частных производные 2-ого порядка: z’xx=(2x)’x=2
производных справедливы обычные правила и z’yy=(2y-4)’y=2 Из равных смешанных
формулы дифференцирования функций одной производных находят ту, которая получается
переменной. проще, например, z’’xy: z’’xy=(2x)’y=0.
22При дифференцировании полезна 36Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0;
следующая таблица: xx' = 1, xy' = 0 yy' = 2)=2, B=z’’xy(0; 2)=0. Дискриминант
1, yx' = 0 cx' = 0, cy' = 0, c – const ?=2·2-02=4>0 => М(0; 2) точка
Примеры. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка
- ? zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' = (y – минимума. Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2
const) = (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' + 0 = -4 Ответ: zmin=-4.
= = 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy. 37Расслабляйся!
Определенный интеграл.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/opredelennyj-integral-235330.html
cсылка на страницу

Определенный интеграл

другие презентации на тему «Определенный интеграл»

«Площадь криволинейной трапеции и интеграл» - Любая другая первообразная F(x) отличается от S(x) на постоянную, т.е. F(x) = S(x) + С. 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания. (Площадь криволинейной фигуры). Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Разность F(b) - F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначают так :

«Определенное личное предложение» - Расставьте недостающие знаки препинания. Итоги урока. Мой друг, отчизне посвятим души прекрасные порывы. Определенно-личные предложения. Односоставные предложения. Определенно - личные предложения встречаются в живой разговорной речи. Берегите природу родного края! Закрепление изученного. Оценка теста.

«Применение определённого интеграла» - Механическая работа. Гл.3. Применение определенного интеграла. §1. Оценка разности S-s. §6. Методы интегрирования. §3. Остальные результаты §7.Анализ изложения темы «Определенный интеграл» в современных учебниках. Вводные замечания. §2. Гл. 4. Разработка факультатива по теме «Определенный интеграл».

«Определённый интеграл» - Теорема о существовании определенного интеграла. Параметрические уравнения эллипса. Вычисление объема тела вращения. Вычисление интеграла. Геометрические приложения определенного интеграла. Определенный интеграл. Задача о вычислении площади плоской фигуры. Площадь фигуры в декартовых координатах. Площадь полярного сектора вычисляют по формуле.

«Первообразная и интеграл» - Выражение Лейбниц стал называть интегралом. Исторические сведения. Интеграл – от латинского слова integralis – целостный. Неопределённым интегралом выражения называется наиболее общий вид его первообразной функции. Функция называется первообразной для функции. Есть дифференциал функции. Первообразная функция.

«Неопределённый интеграл» - Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению. Примеры. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен. Неопределенный интеграл. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Интегрирование по частям.

Интегралы

12 презентаций об интегралах
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Определенный интеграл