Степень
<<  Свойства степени с целым показателем Некоторые приемы решения целых уравнений  >>
Решение нелинейных уравнений в целых числах
Решение нелинейных уравнений в целых числах
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
Делимость целых чисел
ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
НОК и НОД чисел
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа
Решение линейных диафантовых уравнений
Решение линейных диафантовых уравнений
Решение линейных диофантовых уравнений
Решение линейных диофантовых уравнений
Использование свойств простых чисел
Использование свойств простых чисел
Использование свойств простых чисел
Использование свойств простых чисел
Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с
Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с
Учет четности, нечетности чисел
Учет четности, нечетности чисел
Учет четности, нечетности чисел
Учет четности, нечетности чисел
Учет остатков от деления на число
Учет остатков от деления на число
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Картинки из презентации «Решение нелинейных уравнений в целых числах» к уроку алгебры на тему «Степень»

Автор: DNS. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Решение нелинейных уравнений в целых числах.pptx» со всеми картинками в zip-архиве размером 1127 КБ.

Решение нелинейных уравнений в целых числах

содержание презентации «Решение нелинейных уравнений в целых числах.pptx»
Сл Текст Сл Текст
1Решение нелинейных уравнений в целых 18х=-12k+54, y=7k+1 k Z.
числах. НАЦИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ 19Решение линейных диофантовых
ПРОГРАММА «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ уравнений. k. 0. 1. 2. 3. 4. Х. 54. 42.
ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ» Секция : МАТЕМАТИКА 30. 28. 6. У. 1. 8. 15. 22. 29.
Методы решения нелинейных уравнений в 20Уравнения, решаемые с помощью
целых числах Ким Елена МОУ лицей № 1, 10 разложения на множители. Суть метода:
класс, г. Комсомольск – на – Амуре Научный сначала первоначальное уравнение путём
руководитель: Будлянская Наталья группировки слагаемых и вынесения общих
Леонидовна Учитель математики высшей множителей приводится к виду, когда в
квалификационной категории. левой части уравнения стоит произведение
2Содержание. сомножителей, содержащих неизвестные, а
Введение…………………………………………………………………………………сла справа стоит некоторое число. ПРИМЕР 1:
д(ы) 3 Решить в натуральных числах уравнение: m2-
Аннотация………………………………………………………………………………..с n2=2001. РЕШЕНИЕ: (m-n)(m+n)=2001
айд(ы) 4 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: 1.Делимость 2001=3*23*29*1 ОТВЕТ: (1001;1000), (335;
целых 332), (49; 20), (55;32). m-n=1 m+n=2001.
чисел……………………………………………………………..слайд(ы) 5-6 m-n=3 m+n=667. m-n=23 m+n=87. m-n=29
2.Простые и составные m+n=69. m=1001 n=1000. m=335 n=332. m=49
числа………………………………………………………..слайд(ы) 7-8 n=20. m=55 n=32.
3.НОК и НОД 21Уравнения, решаемые с помощью
чисел……………………………………………………………………..слайд(ы) разложения на множители. ПРИМЕР 2: Решить
9-13 4.Взаимно-простые в целых числах х2-3ху+2у2=3 РЕШЕНИЕ:
числа……………………………………………………………..слайд(ы) 14 Группировка: х2-2ху-ху+2у2=3;
5.Линейные диофантовые (х2-ху)-(2ху-2у2)=3 Вынесение общего
уравнения……………………………………………….слайд(ы) 15-19 множителя за скобки: х(х-у)-2у(х-у)=3;
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: 1.Разложение на (х-у)(х-2у)=3 Возможны 4 варианта: 1) 2)
множители………………………………………………………….слайд(ы) 3) 4) (остальные 2 системы решаются
20-21 2. Использование свойств простых подобным образом) ОТВЕТ:(5:2); (1:2);
чисел……………………………………….....слайд(ы) 22-23 (-5:-2); (-2:-1); Х-у=3. Х-у=-1. Х-у=-3.
3.Выражение одной переменной через другую Х-у=1. Х-2у=1. Х-2у=-3. Х-2у=-1. Х-2у=3.
с последующим выделением целой Х=у+3 у+3-2у=1. Х=у-1 у-1-2у=-3. Х=5 у=2.
части…………………………………………..…………...слайд(ы) Х=1 у=2.
24-25 4.Использование свойств чётности и 22Использование свойств простых чисел.
нечётности чисел…………………………слайд(ы) 26-27 ПРИМЕР 1: Решить в натуральных целых
5.Учёт ограниченности числах 19х+89у=1989 РЕШЕНИЕ: 19х+89у=1989
выражений………………………………………………….слайд(ы) 28 19х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) (*)
6.Учёт остатков от деления на (19;89) взаимно-простые равенство (*)
число………………………………………………..слайд(ы) 29-30 возможно в 3 случаях а) х-100=89 b)
7.Представление левой части уравнения в х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0
виде суммы неотрицательных а) х = нет b) х=11 c) х=100 решений у=20
слагаемых…………………………………………..слайд(ы) 31 у=1 ОТВЕТ: (11;20), (100;1).
8.Учёт свойств 23Использование свойств простых чисел.
делимости……………………………………………………………..слайд(ы) ПРИМЕР 2: Решить в простых числах х2-2у2=1
32 9.Введение новой РЕШЕНИЕ: 2у2-четное х-нечетное 2у2=х2-1=
переменной……………………………………………………......слайд( (х-1)(х+1) (х-1) : 2(т.к. четное) (х+1):
) 33 10.Другой метод решения уравнений 2(т.к. четное) у-четное х,у-простые ОТВЕТ:
……………………………………………….слайд(ы) 34 (3;2). Х=3. У=2. (Х-1)(х+1):4.
Заключение………………………………………………………………………………сл 24Уравнения, решаемые выражением одной
йд(ы) 35 Библиографический переменной через другую с последующим
список……………………………………………………………слайд(ы) 36. выделением целой части. ПРИМЕР 1: Решить
3Введение. Я ученица 9 класса уравнение в целых числах х2-ху+5х-9=0
физико-математической школы, лицея № 1, и РЕШЕНИЕ: а) У , b) Z, если х= ±1, ±3, ±9
вскоре, как и многие девятиклассники, буду х=-1, у=13 х=3, у=5 х=1, у=-3, х=-9, у=-3
проходить итоговую аттестацию. Тема для х=-3, у=5 х=9, у=13
исследования «Методы решения нелинейных Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(
уравнений в целых числах» выбрана мною не ;13). Х2+5х-9. 9. Х+5. У Z. x. x. 9. x. =.
случайно. Во-первых, как в части В, так и -. =.
в части С ГИА в 9-х классах есть задания, 25Уравнения, решаемые выражением одной
где можно будет применить знания методов переменной через другую с последующим
решения нелинейных уравнений в целых выделением целой части. ПРИМЕР 2: Решить
числах. Во-вторых, умение качественно уравнение в целых числах у-х-ху=2 РЕШЕНИЕ:
решать такие уравнения позволяют оценить а)Выразим у через х: (у-ху)=2+х у(1-х)=2+х
мои математические навыки. Тем более у= =-1- b)Т.к. х Z;у Z, то (х-1) может
умение решать уравнение различными равняться ±1; ±3, откуда х=2, у=-4, х=0,
способами высоко оценивается на олимпиадах у=2, х=4, у=-2, х=-2, у=0. ОТВЕТ:
регионального, всероссийского и (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2). Х+2. 3. 1-х.
международного уровней. В-третьих, передо Х-1.
мной была поставлена задача - провести 26Учет четности, нечетности чисел.
исследования, результаты которых будут ПРИМЕР 1: Доказать, что не существует
полезны и для учеников, и для учителей. целых решений уравнения х2+х+1 + у2+у+1 =
Свою работу я оформила в виде презентации, 13 РЕШЕНИЕ:а)х2+х+1=х(х+1)+1 х(х+1)-четное
состоящей из двух частей: теоретической и х2+х+1 - нечетное b)аналогично у2+у+1 -
практической. В теоретической части нечетное с) Противоречие:
освещены базовые знания, которые нечет.+нечет.=чет. нечет.+нечет.=нечет.(по
необходимы при решении нелинейных условию). Х(х+1)+1 - нечетное.
уравнений в целых числах. В практической 27Учет четности, нечетности чисел.
части я на примерах представила различные ПРИМЕР 2: Решить в целых числах уравнение
методы решения нелинейных уравнений, х3+у3-3ху=2 РЕШЕНИЕ: 1)Если х, у нечетны
поэтому II часть моей работы относится к х3-нечетное число у3-нечетное число
прикладным исследованиям. 3ху-нечетное число Получаем:
4Аннотация. Работа представлена в виде нечет+нечет-нечет ? чет 2)Если х-четное,
презентации, выполненной в программе у-нечетное х3-четное число у3-нечетное
Microsoft Office Power Point 2007. Она число 3ху-четное число Получаем:
состоит из двух частей: теоретической и чет+нечет-чет ? чет (аналогично, если
практической, - размещенных на 36 слайдах, х-нечетное, у-четное) 3)Если х-четное,
включая титульный лист, оглавление, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n
введение, аннотацию, заключение и 8m3+8n3-12mn=2 или 2(2m3+2n3-3mn)=1
библиографический список. В теоретической невозможно ни при каких целых m и n ОТВЕТ:
части мною освещены следующие темы: решений нет.
«Делимость целых чисел»,«Простые и 28Учёт ограниченности выражений. ПРИМЕР
составные числа», «НОК и НОД чисел», 1: Решить уравнение в целых числах:
«Взаимно-простые числа», «Линейные 2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7 (1) РЕШЕНИЕ:
диофантовые уравнения». В практической х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2?2
части рассматриваются различные методы у4-3у2+4=(у2-3 )2+7 ? 7 Л.Ч. ?7,
решения нелинейных уравнений на примерах : П.Ч.=7,значит, уравнение (1) равносильно
«Разложение на множители», «Использование системе : (х2-1)2+2=2 х2-1 =0 (у2-3 ) +7 =
свойств простых чисел», «Выражение одной 7 у2- =0 Откуда х =±1,у =± Z ОТВЕТ:
переменной через другую с последующим уравнение не имеет решений в целых числах.
выделением целой части», «Использование (Возможен второй способ решения –
свойств чётности и нечётности чисел», использование свойств простых чисел). 3.
«Учёт ограниченности выражений», «Учёт 2. 3. 2. 4. 4. 2. 4. 4. 2.
остатков от деления на число», 29Учет остатков от деления на число.
«Представление левой части уравнения в ПРИМЕР 1 : Решить в натуральных числах
виде суммы неотрицательных слагаемых», уравнение n!+4n-9=k2 РЕШЕНИЕ: Заметим, что
«Учёт свойств делимости», «Введение новой n!+4n-9=n!+4n-12+3 а)Если n ?4, то (n!) 4,
переменной», «Другой метод решения 4n 4, 12 4 (Ост4(n!+4n-9)=3) В правой
уравнений». Также к работе предоставлены части уравнения стоит квадрат натурального
тезисы, автореферат и данная аннотация. числа k, который при делении на 4 не может
Работа оформлена по правилам, давать в остатке 3. при n ?4 уравнение не
представленным оргкомитетом конкурса имеет корней. b)Рассмотрим случаи, когда
«Первые шаги в науку». n=1,2,3 : 1.n=1 2.n=2 3.n=3 1+4-9=k2
5Делимость целых чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ : 2!+8-9=k2 3!+12-9=k2 -4=k2 1=k2 9=k2 k=
Если существует такое с, что а=b*с, то а b k=1 k=3 ОТВЕТ: n=2, k=1 n=3,k=3.
(или b а). При этом с-частное от деления а 30Учет остатков от деления на число.
на b. ОБОЗНАЧЕНИЕ: а b (а делится на b) ПРИМЕР 2 : Решить в целых числах уравнение
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ ЕСЛИ а N, b х2+1=3у РЕШЕНИЕ: а) 3у 3, при любом целом
N,с N 1)а b, с-частное от деления с - у b) (х2+1)/3: (Ост3(х2+1)=0),
единственное 2)а а, b b, с с…и.т.д. 3)а b, (Ост3(х2+1)=1), (Ост3(х2+1)=2) 1.х=3k
b c a c 4)a b, b а a=b a=-b 5)a b, b > (Ост3(9k2+1)=1) 2.x=3k+1
a a=0 6)a b, a ? 0 a ? b 7)чтобы а b, (Ост3(9k2+6k+1+1)=2) 3.x=3k+2
необходимо и достаточно, чтобы а b. 1 ъ. (Ост3(9k2+12k+4+1)=2) Получаем: ни при
6Делимость целых чисел. ПРОСТЕЙШИЕ каких значениях х выражение (х2+1) не
СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ : ЕСЛИ а N, b N,с N 8) делится на 3 при любом значении у
а1 b, a2 b… an b (a1±a2… ±an) b 9) выражение 3у кратно 3 Уравнение не имеет
(a1+a2+…+an) b и a1 b, a2 b…an-1 b an b решений в целых числах ОТВЕТ: решений нет.
10)a b и a>0 a ? b 11)a b, b c, m N0, n 31Уравнения, решаемые с помощью
N0, ma>nb, mo(ma-nb) c (ma+nb) c 12)a представления левой части уравнения в виде
b, k ? 0 ak bk 13)ak bk, k ? 0 a b 14)a bc суммы неотрицательных слагаемых. ПРИМЕР 1:
(a b) c 15)(a b) c a bc. Решить уравнение в целых числах
7ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5х4+10х2+2у6+4у3 =6 РЕШЕНИЕ:
: Целое положительное число р>1 5х4+10х2+2у6+4у3 = 5(х4 +2х2)+2(у6+2у3) =
называется простым, если оно имеет ровно 5(х2+1)2+2(у3+1)2-7 Уравнения приводится к
два положительных делителя: 1 и р. виду: 5(х2+1)2+2(у3+1)2=13 Отсюда имеем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Целое положительное число 5(х2+1)2 ?13 так как (х2+1)2 – целое
m>1 называется составным, если оно число, то (х2+1) может быть только равен
имеет, по крайней мере, один положительный 0,1,-1 Можно увидеть, что только х=0
делитель, отличный от 1 и m. СВОЙСТВА возможен 5*1+2(у3+1)2=13 Тогда (у3+1)2=4 ,
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ: 1)2 – единственное четное у3+1=±2, но если у3+1=-2, то у=-3 ( не
простое число 2)a и b – простые и a?b a ? удовлетворяет условию) у3+1=2;у=1
b*х b ? a*у (х, у - некоторые числа) 3) ОТВЕТ:(0;1) Пример №1: Решить уравнение в
а,b,c,d Z и аbcd е, причем е-простое а е целых числа 5х4+10х2+2у6+4у3 =6. РЕШЕНИЕ:
или b е или c е или d е 4)a Nо, а >1 5х4+10х2+2у6+4у3 = 5(х4 +2х2)+2(у6+2у3) =
наименьший положительный делитель -простое 5(х2+1)2+2(у3+1)2-7 Уравнения приводится к
число. виду: 5(х2+1)2+2(у3+1)2=13 Отсюда имеем
8ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. ОСНОВНАЯ 5(х2+1)2 ?13 так как (х2+1)2 – целое
ТЕОРЕМА АРИФМЕТКИ a Nо, а ? 1, р1, р2, число, то (х2+1) может быть только равен
р3,……,рk – простые а = р1*р2*р3*……*рk Если 0,1,-1 Можно увидеть, что только х=0
среди чисел р1, р2, р3,……,рk есть возможен 5*1+2(у3+1)2=13 Тогда (у3+1)2=4 ,
одинаковые а = р1 а1*р2 а2*р3 а3*……*рk аk. у3+1=±2, но если у3+1=-2, то у=-3 ( не
9НОК и НОД чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:НОД чисел удовлетворяет условию) у3+1=2;у=1
а1, а2…аn называется положительный общий Ответ:(0:1).
делитель, делящийся на любой другой общий 32Учет свойств делимости. ПРИМЕР 1 :
делитель этих чисел. ОБОЗНАЧЕНИЕ: (a1, Решить в целых числах уравнение
a2…an)=d, d-НОД чисел а1, а2…аn a) d>0 х3-100=225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х3
b) d a1, d a2 … d an Теорема 1: 1)Для должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z Z,
любых чисел а1, а2…аn, из которых хотя бы тогда 125z3-100=225y 5z3-4=9y (1)
одно отлично от нуля, существует НОД Очевидно,что левая часть уравнения должна
2)p1,…,ps –различные простые числа быть кратна 9,т.е a) z=3t b) z=3t+1 c)
a1=р1?1*…*рs?s,…,an=p1?1*…*ps?s (а1, z=3t-1 5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y
а2…аn)=p1min(?1,…,?1) *…*psmin(?1,…,?s) 5(3t-1)3-4=9y 135t3-4=9y
Замечание: способ нахождения НОД: 5(27t3+27t2+9t+1)-4=9
1)Разложить каждое число на простые 5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y
множители, записав разложение в 135t3+135t2+45t+1=9y 135t3-135t2+45t-9=9y
каноническом виде 2)Найти произведение т.е. z=3t-1, тогда х=15t-5,
минимальных степеней простых множителей. y=15t3-15t2+5t-1 ОТВЕТ: (15t-5;
10НОК и НОД чисел. ПРИМЕР 1: Найти НОД 15t3-15t2+5t-1), t Z.
чисел 10080, 2646, 56. РЕШЕНИЕ: 1)10080 2 33Уравнения, решаемые с помощью введения
2646 2 56 2 5040 2 1323 3 28 2 2520 2 441 новой переменной. ПРИМЕР 1: Решить
3 14 2 1260 2 147 3 7 7 630 2 49 7 1 315 3 уравнение в целых числах:
7 7 105 3 1 35 5 7 7 1 2)d= 21*30*50*71= 7(х+у)=3(х2-ху+у2) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р,
2*7=14 (10080,2646,56)=14. 10080=25*32*5*7 х-у=q. Тогда, выразив х и у, получим: х=
=25*32*51*71 2646=2*33*72 =21*33*50*72 p+q , у=p-q . Подставим в исходное
56=23*7 =23*30*50*71. уравнение: 7р= - - 7р= т.к.28p=3(p2+3q),
11НОК и НОД чисел. Теорема 2: (a1, то p–неотрицательное и p 3, т.е p=3k, k Z
a2…an)=d, d b, b>0 ( ,…, )= Теорема 3: Подставив p=3k, получим 28*3k=3((3k)2
(а1,…,an-1,an)=((a1,…,an-1),an) n?3 НОД +3q2); 28k=3(3k2 +q2). Отсюда следует, что
n-чисел: 1)НОД (n-1) 2)НОД (d, an), d= k 3, поэтому k=3m, m Z; Подставив k=3m,
(a1, a2…an), an -последнее число получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2; 28m=27m2+q2 ;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: НОК чисел a1, a2,…,an m(28-27m)=q2; так как q2?0, то m=0, или
называют наименьшее положительное число, m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ?0 c
делящееся на все эти числа. ОБОЗНАЧЕНИЕ: помощью метода интервалов) а)Если m=0, k=0
[a1, a2…an]=m, m-НОК чисел a1, a2…an (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к.
а)m>0 b)a1 m,…,an m. 28p=3(p2+3q)), значит, х=0, у=0 (т.к.
12НОК и НОД чисел. Теорема 5: x=p+q , у= p-q b)Если m=1, k=3, p=9,
a1=р1?1*…*рs?s*,…,*an=p1?1*…*ps?s - q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) а)q= 1, получаем
каноническое разложение m=[a1, х=5; у=4; b) q= -1, получаем х=4; у=5;
a2…an]=p1max(?1,…,?1) *…*psmax(?1,…,?s) ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0) Второй способ
Теорема 6: а>0, b>0, a N, b N, решения – использование свойств взаимно -
(a,b)=d, [a,b]=m m= Замечание: способ простых чисел.
нахождения НОД: 1)Разложить число на 3(p2+2pq+q2-p2+q2+p2-2pq+q2). 2. 2. (Р+q)2
простые множители, записав разложение в (p+q)(p-q) (p-q)2. 2. 2. 2. 4. 2. 2.
каноническом виде 2)Найти произведение 34Другие методы решения уравнений.
максимальных степе- ней простых ПРИМЕР 1 : Решить уравнение в целых числах
множителей, входящих в разложение. 10х+у=х2+у2+13 РЕШЕНИЕ: 10х+у=х2+у2-13
13НОК и НОД чисел. ПРИМЕР 1: Найти НОК х2-10х+у2-у+13=0 D/4=25-y2+y-13 Уравнение
чисел 96,64,33,22. РЕШЕНИЕ: 1)96 2 64 2 33 имеет корни при D/4?0, т.е. 25-у2+у-13 ?0
3 22 2 48 2 32 2 11 11 11 11 24 2 16 2 1 1 -у2+у+12 ?0 *(-1) у2-у-12?0
12 2 8 2 6 2 4 2 3 3 4 2 1 2 2 D=1-4*(-12)=49=72 y1=-3 y2=4 + + -3 - 4 У
2)m=26*31*111=2112 [96,64,33,22]=2112. т.е. -3 ?у ?4, т.о. переберем все
96=25*3 =25*31*110 64=26 =26*30*110 возможные случаи: у=4, 3, 2, 1,0,-1,-2,-3
33=11*3=20*31*111 22=11*2=21*30*111. ОТВЕТ: (-5;-3), (5;4).
14Взаимно-простые числа. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: а 35Заключение. Мною была проведена научно
и b взаимно-простые числа, если (a,b)=1 - исследовательская работа в разделе
Теорема 1: а Z, р Z, причем р - простое математики по изучению различных методов
или а р или а и р – взаимно-простые решения нелинейных уравнений в целых
Теорема 2: а,b – взаимно-простые [а,b]=ab числах. Моей целью было качественно
Теорема 3: Чтобы а:b или а:с достаточно и изучить методы решения таких уравнений и
необходимо а: bс Теорема 4: Если (а* b) с, представить результаты другим ученикам.
причем (а,с)=1 b с. Работа велась в течение нескольких
15Решение линейных диафантовых месяцев. За это время я прочитала немало
уравнений. Общий вид диафантовых научной литературы, изучила многие методы
уравнений: ax+by=c 1.Найдем d(а, b) решения нелинейных уравнений в целых
2.Определим частное решение, выразив числах, а также приобрела опыт в ведении
переменную х из данного уравнения, а научно – исследовательской работы. За это
переменную у находим, используя метод время я убедилась в актуальности темы,
перебора (х0; у0)-частное решение. 3.Все выбранной мною, т.к. моя работа была
остальные решения находим по формулам: представлена всем ученикам старших
х=-bk+x0, y=ak+y0, k Z. классов, особенно 9 и 11. В большей
16Решение линейных диофантовых степени учащихся интересовала практическая
уравнений. ПРИМЕР 1: Решить уравнение в часть работы, ведь на примере всегда проще
целых числах х-3у=15 РЕШЕНИЕ: a)НОД(1;3)=1 рассмотреть, тем более, что теоретическую
b)Определим частное решение: х=(15+3у):1 часть знало большинство из них. Несмотря
Используя метод перебора находим значения на то, что работа велась самостоятельно,
у=0, тогда х=(15+0). Следовательно, (15;0) неоценимую помощь как в предоставлении
- частное решение c)Остальные решения научных материалов, так и в информационной
находим по формулам: х=3k+15, k Z y=k+0=k, поддержке, оказал мне мой научный
k Z ОТВЕТ: (3k+15; k), k Z. руководитель, Наталья Леонидовна
17Решение линейных диофантовых Будлянская. В завершение хочу сказать, что
уравнений. ПРИМЕР 2: Решить уравнение в те цели, которые были поставлены передо
целых числах 15х+11у=14 РЕШЕНИЕ: мной, на мой взгляд, я выполнила.
а)НОД(15;11)=1 b)Определим частное 36Библиографический список. - Балк М.Б.,
решение: х=(14-11у):15 Используя метод Балк Г.Д.. Математика после уроков.
перебора, находим значение у [0;14], т.к. Москва, издательство «Просвещение», 1971,
при остальных значениях (х;у), не входящих - 462 с.. - Вавилов В.В., Мельников И.И.,
в этот промежуток, выражение (14-11у):15 Олехник С.Н., Пасиченко П.И.. Задачи по
не будет являться целым числом математике. Уравнения и неравенства.
(противоречит условию). (-2;4) – частное Справочное пособие. Москва, издательство
решение c)Остальные решения находятся по «Наука», 1960, - 608 с.. - Власов А.П.,
формулам: х=-11k-2, k Z y=15k+4, k Z Евсеев Н.В.. Полный комплект пособий для
ОТВЕТ: (-11k-2; 15k+4), k Z. подготовки к ЕГЭ. «50 типовых
18Решение линейных диофантовых экзаменационных работ». Москва,
уравнений. ПРИМЕР 3: Купили 390 цветных издательство АСТ «Астрель», 2009, - 320
карандашей в коробке по 7 и 12 карандашей. с.. - Гельфонд А.О.. Решение уравнений в
Сколько тех и других коробок купили? целых числах. Москва, издательство
РЕШЕНИЕ: а)Пусть х – количество коробок по «Наука», 1978, - 63 с.. - Горбачев Н.В..
7 карандашей, у - по 12. Всего было Сборник олимпиадных задач по математике.
куплено (7х+12у) карандашей, что по Москва, издательство МЦНМО, 2004, - 560
условию задачи равно 390. Составим и решим с.. - Кушнир И.. Шедевры школьной
уравнение. 7х+12у=390 b)НОД(7;12)=1 математики. Киев, издательство «Астарта»,
c)Определим частное решение: х=(390-12у):7 1995, - 576 с.. - Шарыгин И.Ф.. Решение
Используя метод перебора, находим значение задач. Москва, издательство «Просвещение»,
у [1;6] (54;1) – частное решение 1994, - 252 с..
d)Остальные решения находим по формулам:
Решение нелинейных уравнений в целых числах.pptx
http://900igr.net/kartinka/algebra/reshenie-nelinejnykh-uravnenij-v-tselykh-chislakh-141207.html
cсылка на страницу

Решение нелинейных уравнений в целых числах

другие презентации на тему «Решение нелинейных уравнений в целых числах»

«Решение системы уравнений» - Способ сравнения (алгоритм). Линейное уравнение с двумя переменными. Решение системы способом сравнения. Решение системы методом определителей. Решение системы графическим способом. Способы решения систем уравнений. Линейное уравнение с одной переменной. Алгебра стоит на четырёх китах. Решение систем линейных уравнений.

«Решение уравнений 2» - Решение. Среднее арифметическое всех корней уравнения. Способ группировки. Метод подбора. Простейший метод. Методы решения уравнений третьей степени. Искусственный метод. Графический метод. Искусственный метод. Решение уравнений с модулем.

«Решение уравнений 1» - Формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Формула Виета. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Интересны нелинейные уравнения, т.е. больших степеней. Корни уравнения не всегда действительные числа. Из истории. Квадратные уравнения. Уравнения первой степени.

«Растительный организм как единое целое» - Клубень. Растительный организм – единое целое. Под кустами, у плетня, Не смолкает трескотня; Пуля слева, пуля справа… Один в земле копается, Другой в свету купается. Чудеса творят не компьютеры, а учителя! Плод. Плод - ягода. Однодольные двудольные семенная кожура зародыш запас питательных веществ. Лист.

«Умножение целых чисел» - Фронтальный опрос. Определить знак произведения и вычислить. Цель урока: Научиться умножать целые числа. Поэтому произведение (-5)*(-3) не может быть равно (-15). Как сложить два числа с разными знаками ? Турист движется по шоссе со скоростью v км/ч. Историческая справка. Умножение целых чисел. А какие числа еще можно перемножать?

«Решение систем уравнений» - Метод алгебраического сложения. Методы решений. Что значит решить систему уравнений? Метод подстановки. Устно. Системы уравнений. Сложение и вычитание одночленов. Коэффициент. Самостоятельная работа. Являются ли пары (1;1) и (-1;3) чисел решением системы {. Работа по учебнику. Работа по учебнику: стр. 42 и 44 Упражнения: № 282(а),283 (а), 284 (а) Задача № 291.

Степень

14 презентаций о степени
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Степень > Решение нелинейных уравнений в целых числах