Тригонометрические функции |
Тригонометрические функции | ||
<< Тригонометрические функции | Тема урока: «Тригонометрические функции >> |
Автор: Valued Acer Customer. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Тригонометрические функции.pptx» со всеми картинками в zip-архиве размером 1686 КБ.
Сл | Текст | Сл | Текст |
1 | Тригонометрические функции. | 20 | он приступает к систематическим |
Исследовательский проект. Исполнитель: | астрономическим наблюдениям. | ||
Воронко Е.В. ученик 11 «А» класса | 21 | Региомонтан. В 1461 году Региомонтан | |
Руководитель: Кирилова Т.Л. учитель | знакомится с кардиналом Виссарионом, от | ||
математики. | которого получает предложение совершить | ||
2 | Содержание проекта. | поездку в Италию, и в составе его свиты | |
3 | Историческая справка. | уезжает в Рим. В течение всего времени, | |
4 | История развития. Истоки тригонометрии | которое Региомонтан провёл при кардинале, | |
берут начало в древнем Египте, Вавилонии и | он вёл активный розыск древнегреческих | ||
долине Инда более 3000 лет назад. | рукописей. Летом 1463 года Виссарион едет | ||
Индийские математики были первопроходцами | в Венецию в качестве папского легата, а | ||
в применении алгебры и тригонометрии к | Региомонтан его сопровождает. Здесь | ||
астрономическим вычислениям. Лагадха | Региомонтану первому в Европе удалось | ||
(450-350 до Р.Х.) — единственный из самых | обнаружить текст уцелевших шести книг | ||
древних известный сегодня математик, | «Арифметики» Диофанта. В 1464 году | ||
использовавший геометрию и тригонометрию в | Региомонтан читает в Падуе лекции по | ||
своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa | астрономии ал-Фаргани. В это же время он | ||
Vedanga»), большая часть работ которого | знакомится с феррарским астрономом и | ||
была уничтожена иностранными захватчиками. | математиком Джованни Бьянкини и ведёт с | ||
5 | История развития. В Европе основы | ним переписку. | |
геометрии закладывал древнегреческий | 22 | Региомонтан. Летом 1467 года | |
астроном и математик Аристарх Самосский | Региомонтан приезжает в Венгрию по | ||
(310-230 до Р.Х.) в труде "О | приглашению епископа Яноша Витеза и | ||
величинах и взаимных расстояниях Солнца и | работает в Буде при дворе венгерского | ||
Луны". Греческий математик Клавдий | короля Матвея Корвина. С 1471 года | ||
Птолемей (87-165 от Р.Х.) также внёс | Региомонтан жил в Нюрнберге, где он вместе | ||
большой вклад в развитие тригонометрии. | со своим учеником Бернхардом Вальтером | ||
6 | История развития. Значительный вклад в | основал научную типографию и одну из | |
развитие тригонометрии внесли арабские | первых в Европе обсерваторий в доме, | ||
ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа | который впоследствии приобрел знаменитый | ||
Мухамед-бен Мухамед (940-998), который | художник Альбрехт Дюрер (сейчас дом-музей | ||
составил таблицы синусов и тангенсов через | Дюрера). Умер Региомонтан в 1476 году в | ||
10’ с точностью до 1/604. | Риме, куда приехал для выработки | ||
7 | История развития. Теорему синусов уже | календарной реформы. | |
знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, | 23 | Николай Коперников. Николай Коперник | |
год смерти неизвестен) и азербайджанский | (нем. Nikolas Koppernigk, польск. Miko?aj | ||
астроном и математик Насиреддин Туси | Kopernik, лат. Nicolaus Copernicus; 19 | ||
Мухамед (1201-1274). Кроме того, | февраля 1473, Торунь — 24 мая1543, | ||
Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о | Фромборк) — польский астроном, математик, | ||
полном четырехстороннике» изложил плоскую | экономист, каноник. Наиболее известен как | ||
и сферическую тригонометрию как | автор средневековой гелиоцентрической | ||
самостоятельную дисциплину. | системы мира, положившей начало первой | ||
8 | История развития. Теорему тангенсов | научной революции. | |
доказал Региомонтан (латинизированное имя | 24 | Значения тригонометрических функций | |
немецкого астронома и математика Иоганна | для некоторых углов. | ||
Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил | 25 | Таблица значений. 0°(0 рад). 30° | |
также плдробные тригонометрические | (?/6). 45° (?/4). 60° (?/3). 90° (?/2). | ||
таблицы; благодаря его трудам плоская и | 180° (?). 270° (3?/2). 360° (2?). sin a. | ||
сферическая тригонометрия стала | cos a. tg a. ctg a. 0. 1. 0. -1. 0. 1. 0. | ||
самостоятельной дисциплиной и в Европе. | -1. 0. 1. 0. 1. Не существует. 0. Не | ||
9 | История развития. Дальнейшее развитие | существует. 0. Не существует. 1. 0. Не | |
тригонометрия получила в трудах выдающихся | существует. 0. Не существует. | ||
астрономов Николая Коперника (1473-1543) – | 26 | Свойства тригонометрических функции. | |
творца гелиоцентрической системы мира, | Простейшие тождества Так как синус и | ||
Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера | косинус являются соответственно ординатой | ||
(1571-1630), а также в работах математика | и абсциссой точки, соответствующей на | ||
Франсуа Виета (1540-1603), который | единичной окружности углу ? то, согласно | ||
полностью решил задачу об определениях | уравнению единичной окружности или теореме | ||
всех элементов плоского или сферического | Пифагора, имеем: Деля это уравнение на | ||
треугольника по трем данным. | квадрат косинуса и синуса соответственно | ||
10 | История развития. Аналитическая теория | имеем далее: | |
тригонометрических функций в основном была | 27 | Формулы сложения. Чётность Косинус и | |
создана выдающимся математиком XVIII в. | секанс — чётные. Остальные четыре функции | ||
Леонардом Эйлером (1707-1783) членом | — нечётные. то есть: | ||
Петербургской Академии наук. | 28 | Тригонометрические тождества. Основные | |
11 | История развития. Таким образом, | тригонометрические формулы. Формула (1) | |
тригонометрия, возникшая как наука о | является следствием теоремы Пифагора. | ||
решении треугольников, со временем | Формулы (2) и (3) получаются из формулы | ||
развилась и в науку о тригонометрических | (1) делением на квадрат косинуса и синуса | ||
функциях. | соответственно. Основные формулы. Основные | ||
12 | Ученые мира тригонометрии. | формулы. (1). (2). (3). | |
13 | Гиппарх Никейский. Гиппарх Никейский | 29 | Формулы двойного угла. Формулы |
(ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.) ( | двойного угла. Формулы двойного угла. | ||
др. –греч. ????????) — древнегреческий | sin2? = 2sin(?)cos(?). (4). cos2? = cos2? | ||
астроном, географ и математик II века до | ? sin2? = 2cos2? ? 1 = 1 ? 2sin2? (5). | ||
н. э., часто называемый величайшим | (6). | ||
астрономом античности. Главной заслугой | 30 | Формулы понижения степени. Формулы | |
Гиппарха считается то, что он привнёс в | понижения степени выводятся из формул (5): | ||
греческие геометрические модели движения | Формулы понижения степени. Формулы | ||
небесных тел предсказательную точность | понижения степени. (7). (8). | ||
астрономии Древнего Вавилона. | 31 | Формулы преобразования произведения | |
14 | Гиппарх Никейский. Гиппарх родился в | функции. Формулы преобразования | |
Никее (в настоящее время Изник, Турция). | произведений функций. Формулы | ||
Большую часть жизни проработал на острове | преобразования произведений функций. (9). | ||
Родос, где он, вероятно, и скончался. Его | (10). (11). | ||
первое и последнее астрономические | 32 | Формулы преобразования суммы функции. | |
наблюдения датируются, соответственно, 162 | Формулы преобразования суммы функций. | ||
и 127 гг. до н. э.Предполагается, что он | Формулы преобразования суммы функций. | ||
был в контакте с астрономами Александрии и | (12). (13). (14). (15). (16). | ||
Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти | 33 | Тригонометрия. Значение | |
научные центры лично. Основным источником | тригонометрических функции для некоторых | ||
информации о его трудах является | углов. Свойства тригонометрических | ||
«Альмагест» Птолемея; последний оставил | функции. Тригонометрические тождества. | ||
следующую характеристику Гиппарха: «муж | Формулы двойного угла. Формула понижения | ||
трудолюбец и поклонник истины». Из | степени. Формулы преобразования | ||
собственных сочинений Гиппарха до нас | произведения функции. Формулы | ||
дошло только одно, критический комментарий | преобразования суммы функции. Алгоритмы | ||
к популярной астрономической поэме Арата. | нахождения наибольшего(наименьшего) | ||
15 | Клавдий Птолемей. Клавдий Птолемей | значения. | |
(???????? ??????????, ок. 87—165) — | 34 | Цель: Исследовать Открытый Банки | |
древнегреческий астроном, математик, | Заданий по математике и вычленить виды | ||
оптик, теоретик музыки и географ. В период | заданий, содержащие тригонометрические | ||
с 127 по 151 год жил в Александрии, где | функции. Задачи: Классифицировать задания; | ||
проводил астрономические наблюдения. | Вычленить необходимый теоретический | ||
16 | Клавдий Птолемей. Клавдий Птолемей — | материал для успешного решения задания; | |
одна из крупнейших фигур в науке позднего | Найти рациональные приемы и методы | ||
эллинизма. В астрономии Птолемею не было | решения; | ||
равных на протяжении целого тысячелетия — | 35 | Объект исследования. Открытый банк | |
от Гиппарха (II в. до н. э.) до Бируни | заданий по математике. | ||
(X—XI вв. н. э.). История довольно | 36 | Итогом исследования является | |
странным образом обошлась с личностью и | определение основных тенденция в | ||
трудами Птолемея. О его жизни и | подготовке к итоговой аттестации типа ЕГЭ. | ||
деятельности нет никаких упоминаний у | 37 | Классификация заданий. С. Задания | |
современных ему авторов. В исторических | повышенной сложности. | ||
работах первых веков нашей эры Клавдий | 38 | Нахождение. В-4. Сторон треугольника | |
Птолемей иногда связывался с династией | (многоугольника); Высот; Радиуса вписанной | ||
Птолемеев, но современные историки | (описанной) окружности; | ||
полагают это ошибкой, возникшей из-за | Внешнего(внутреннего) угла | ||
совпадения имён (имя Птолемей было | треугольника(многоугольника); | ||
популярным на территории бывшего царства | Наибольшего(наименьшего) угла; | ||
Лагидов). Римский nomen (родовое имя) | 39 | В-4. Для решения задания нужно знать: | |
Клавдий (Claudius) показывает, что | Определения синуса, косинуса, тангенса | ||
Птолемей был римским гражданином и предки | острого угла прямоугольного треугольника; | ||
его получили римское гражданство, скорее | Основные тригонометрические тождества; | ||
всего, от императора Клавдия лет за 40 до | 40 | В-4. Прототип. В треугольнике АВС | |
его рождения. | АС=12. Найдите ВС. | ||
17 | Насирэддин Туси. Насирэддин Туси Абу | 41 | В-4. ВС=5х, АВ=13х х=1 ВС=5. Ответ: |
Джафар Мухаммед ибн Мухаммед ибн Хасан Абу | ВС=5; Способ 1. Поскольку. Ответ:ВС=5. . | ||
Бакр (18.2.1201, Туе, - 25.6.1274, | 42 | В-4. Способ 2. Ответ:ВС=5. | |
Багдад), учёный-энциклопедист и | 43 | В-4. Прототип № 27905. Меньшая сторона | |
государственный деятель. Сначала служил у | прямоугольника равна 6. Угол между | ||
исмаилитов Аламута, а с 1256 - у | диагоналями равен Найдите радиус описанной | ||
монгольского ильхана Хулагу, стал его | окружности этого прямоугольника. Решение | ||
личным советником и секретарём. Руководил | Проведем из точки О перпендикуляр к прямой | ||
строительством Марагинской обсерватории. | СВ. Т.к а катет, лежащий против равен | ||
Трактат Насирэддин Туси о государственных | половине гипотенузе, т.о. ОВ=2НВ, т.е. | ||
финансах содержит подробный материал о | ОВ=6 Ответ: R=6. | ||
налоговой системе в государстве | 44 | В-4. Прототип № 2790). Меньшая сторона | |
Хулагуидов. Насирэддин Туси также автор | прямоугольника равна 6. Угол между | ||
главы о взятии Багдада монголами в | диагоналями равен Найдите радиус описанной | ||
сочинении персидского историка Джувейни. | окружности этого прямоугольника. Решение | ||
Написал широко известный на Востоке труд | СО=СВ ВС=6 Ответ: R=6. Со=ов=вс=6. | ||
«Насирова этика». Философские воззрения | 45 | В-4. Прототип № 27798. В треугольнике | |
формировались под влиянием Бахманяра. | ABC , угол C равен Найдите высоту AH. | ||
18 | Насирэддин Туси. Большую ценность | 1)Внешний угол. Ответ: 3. | |
представляют его «Комментарии к философии | 46 | В-7. Нужно знать 1. Основные | |
и логике Ибн Сины» (Авиценны), где | тригонометрические формулы; | ||
Насирэддин Туси опровергает взгляды | 47 | В-7. Прототип №26753. Найти значение | |
идейных противников Ибн Сины. Теории | выражения. Решение: Ответ: 12. . | ||
поэзии посвящена 10-я глава его книги по | 48 | В-7. Прототип №26758. Найдите значение | |
логике «Асас аль-иктибас» и труд «Мийар | выражения. Решение. | ||
аль-аш"ар». Под | 49 | В-11. Нужно уметь: Знать производную | |
руководствомНасирэддин Туси был составлен | функции; Знать алгоритмы нахождения | ||
астрономический каталог «Зидж Эльхани» | функции; Уметь исследовать функцию с | ||
(см. Зидж). Автор работ по математике; в | помощью производной; | ||
их числе «Трактат, исцеляющий сомнение по | 50 | 1. Если функция задана формулой, то | |
поводу параллельных линий» и «Изложение | при нахождении наибольшего и наименьшего | ||
Евклида», где постулат о параллельных | значения функции на отрезке, используем | ||
связан с вопросом о сумме углов | стандартный алгоритм: Найти значения | ||
треугольника, «Трактат о полном | функции на концах отрезка, то есть числа | ||
четырехстороннике», где изложена плоская и | f(a) и f(b); Найти е значения в тех | ||
сферическая тригонометрия как | критических точках, которые принадлежат | ||
самостоятельная дисциплина. | интервалу (а;b); Сравнить все найденные | ||
19 | Региомонтан. Региомонтан, (лат. | значения и выразить наибольшее и | |
Regiomontanus, подлинное имя — Йоганн | наименьшее значение на отрезке [a;b]; 2. | ||
Мюллер, нем. Johannes M?ller) (6 июня | Если функция задана графиком, то | ||
1436, Кёнигсберг (Бавария) — 6 июля 1476, | используем следующий алгоритм: Найти | ||
Рим) — выдающийся немецкий астроном и | Область определения; найти Производную; | ||
математик. Именем Региомонтан его впервые | Стационарные точки; Промежутки возрастания | ||
назвал Филипп Меланхтон в предисловии к | и убывания; Точки экстремума; | ||
своему изданию книги «Сфера мира» | 51 | Прототип №26778. В-11. Найти | |
Сакробоско. | наибольшее значение y=9x-6sinx+7, | ||
20 | Региомонтан. Йоганн Мюллер родился в | 52 | Прототип №26725. В-11. - + - 2 5 10 х. |
городе Кёнигсберге в Баварии. Уже в 11 лет | Найти точку максимума. | ||
он стал студентом Лейпцигского | 53 | Прототип №26725. В-11. Т.о. x=5 –точка | |
университета. Весной1450 года в 14 лет он | максимума, т.к. при переходе через данную | ||
перешёл в Венский университет. В 15 лет | точку, производная меняет знак. Ответ: 5. | ||
после окончания факультета свободных | 54 | Вывод: Егэ - это мир, а Мир невозможно | |
искусств Региомонтан стал бакалавром. С | удержать силой. Его можно лишь постичь | ||
1453 года слушал лекции по математике и | пониманием. | ||
астрономии Георга Пурбаха, с которым | 55 | Используемая литература. Открытый банк | |
впоследствии сотрудничал до скоропостижной | заданий http://www.mathege.ru:8080 | ||
смерти последнего в 1461 году. В 1457 году | Википедия http://ru.wikipedia.org. | ||
Региомонтан становится магистром и сам | 56 | Практика. В4. В7. В11. Выберите | |
приступает к чтению лекций. В этом же году | задание? | ||
Тригонометрические функции.pptx |
«Решение тригонометрических неравенств» - А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx<1/2, 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2, Простейшие тригонометрические неравенства. Все значения y на промежутке MN.
«Графики тригонометрических функций» - 7. Точки экстремума: Хмах= p/2 +2pn, n?Z Хмin= -p/2 +2pn, n?Z. Постройте график функции: y=sin (x - p/6). Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = -sin3x. y=sin2x. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: [-p/2+2pn; p/2+2pn], n?Z. y=sin x. Тригонометрические функции.
«Тригонометрические формулы» - Формулы приведения. Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс. Вычтя из равенства (4) равенство (3), получим: Формулы тройных углов. Формулы двойных углов. Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим:
«График функции Y X» - Простейшие преобразования графиков функций. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Шаблон параболы у = х2. Графиком функции y=x2 + п является парабола с вершиной в точке (0; п). Постройте самостоятельно графики функций: у = х2 + 2; у = х2 – 3; у = (х – 1)2; у = (х + 2)2; у = (х + 1)2 – 2; у = (х – 2)2 + 1; у = (х + 3)*(х – 3); у = х2 + 4х – 4; у = х2 – 6х + 11.
«Тригонометрические неравенства» - Тогда t2 > t1, и, как легко понять, t2=?-arcsin(-1/2)=7*?/6. Значит t должно удовлетворять условию -?/2<t??/4. Решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2?] длиной 2?, таковы: ?/3<t<5?/3. Таким образом, мы приходим к окончательному ответу: ?/3+2?n<t<5?/3+2?n, n - целое. Тригонометрическое неравенство sin(t)?a.
«Функция y = x2» - Геометрические свойства параболы. Рассмотрим функцию y = x2. Фокус параболы. Свойства функции y = x2. Алгебра. Функция y = x2. Рассмотрим математическую модель. Замечательное свойство параболы. Кривые и космос. Объяснение нового материала. Построим график функции y = x2. Функция y = x^2.