Уравнения
<<  Целое уравнение и его корни Дифференциальные уравнения  >>
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах
1. Диофант и история диофантовых уравнений
1. Диофант и история диофантовых уравнений
Картинки из презентации «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах» к уроку алгебры на тему «Уравнения»

Автор: КОНСТАНТИН. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах.pptx» со всеми картинками в zip-архиве размером 138 КБ.

Уравнения с двумя неизвестными в целых числах

содержание презентации «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах.pptx»
Сл Текст Сл Текст
1«Уравнения с двумя неизвестными в 16степени двумя переменными ( С6 из ЕГЭ
целых числах ». Научно-исследовательская -2010).
работа по теме: 17Пример №1. Решить в натуральных числах
2Содержание. 1.Введение. 2. Диофант и уравнение: , где т>п Решение: Выразим
история диофантовых уравнений. 3. Теоремы переменную п через переменную т:
о числе решений уравнений с двумя 18Найдем делители числа 625: т-25 Є{1;
переменными. 4. Нахождение решений для 5; 25; 125; 625} 1) если т-25 =1, то т=26,
некоторых частных случаев. 5. Примеры п=25+625=650 2) т-25 =5, то т=30, п=150 3)
решений уравнений С6 из ЕГЭ -2010. 6. т-25 =25, то т=50, п=50 4) т-25 =125, то
Заключение. 7. Литература. т=150, п=30 5) т-25 =625, то т=650, п=26
3Анализ ситуации. В этом учебном году Ответ: т=150, п=30 т=650, п=26.
одиннадцатиклассникам предстоит сдавать 19Пример №2. Решить уравнение в
Единый государственный экзамен по натуральных числах: тп +25 = 4т Решение:
математике, где КИМы составлены по новой тп +25 = 4т 1) выразим переменную т через
структуре. Нет части «А», но добавлены п: 4т – тп =25 т(4-п) =25 т =.
задания в часть «В» и часть «С». 20найдем натуральные делители числа 25:
Составители объясняют добавление С6 тем, ( 4-п) Є {1; 5; 25} если 4-п =1, то п=3,
что для поступления в технический ВУЗ т=25 4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние
нужно уметь решать задания такого высокого корни) 4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние
уровня сложности. корни) Ответ: (25;3).
4Проблема. Решая примерные варианты 215.Уравнения второй степени с двумя
заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего неизвестными.
встречаются в С6 задания на решение 22Пример №1. 1. Решить уравнение: х2 -
уравнений первой и второй степени в целых у2 =3 в целых числах. Решение: 1) Применим
числах. Но мы не знаем способы решения формулу сокращенного умножения х2 -
таких уравнений. В связи с этим возникла у2=(х-у)(х+у)=3 2) Найдем делители числа 3
необходимость изучить теорию таких = {-1;-3;1;3} 3) Данное уравнение
уравнений и алгоритм их решения. равносильно совокупности 4 систем:
5Цель. Уметь решать уравнения с двумя 23Х-у=1 2х=4 х=2, у=1 х+у=3 х-у=3 х=2,
неизвестными первой и второй степени в у=-1 х+у=1 х-у=-3 х=-2, у=1 х+у=-1 х-у=-1
целых числах. х=-2, у=-1 х+у=-3. Ответ: (2;1), (2;-1),
6Задачи. 1)Изучить учебную и справочную (-2;1), (-2,-1).
литературу; 2)Собрать теоретический 242. Решить уравнение: х2+ху=10 Решение:
материал по способам решения уравнений; 1) Выразим переменную у через х: 2) Дробь
3)Разобрать алгоритм решения уравнений будет целой, если х Є {±1;±2; ±5;±10} 3)
данного вида; 4)Решить уравнения с двумя Найдем 8 значений у. Если х=-1, то у= -9
переменными в целых числах из материалов х=-5, то у=3 x=1, то у=9 х=5, то у=-3 x=-2
ЕГЭ-2010 С6. ,то у=-3 х=-10, то у=9 x=2, то у=3 х=10,
71. Диофант и история диофантовых то у=-9.
уравнений. Решение уравнений в целых 253. Решить уравнение : х3 – у3 =91
числах является одной из древнейших Решение: найдем делители числа 91: {±1;
математических задач. Наибольшего расцвета ±7; ±13; ±91} Значит, уравнение
эта область математики достигла в Древней равносильно совокупности 8 систем.
Греции. Основным источником, дошедшим до 4.Решить уравнение в целых числах: 2х2
нашего времени, является произведение -2ху +9х+у=2 Решение: выразим из уравнения
Диофанта – «Арифметика». Диофант то неизвестное, которое входит в него
суммировал и расширил накопленный до него только в первой степени- в данном случае
опыт решения неопределенных уравнений в у: 2х2 +9х-2=2ху-у.
целых числах. В истории сохранилось мало 26выделим у дроби целую часть с помощью
фактов биографии замечательного правила деления многочлена на многочлен
александрийского ученого-алгебраиста «углом». Получим: Следовательно, разность
Диофанта. По некоторым данным Диофант жил 2х-1 может принимать только значения
до 364 года н.э. -3,-1,1,3. Осталось перебрать эти четыре
8Он специализировался на решении задач случая. Ответ: (1;9), (2;8), (0;2),
в целых числах. Такие задачи в настоящее (-1;3).
время известны под названием диофантовых. 275.Найдите все пары ( х; у) целых
Жизнь и деятельность Диофанта протекала в чисел, удовлетворяющие системе неравенств:
Александрии, он собирал и решал известные х2 +у 2< 18х – 20у - 166, 32х - у2 >
и придумывал новые задачи. Позднее он х2 + 12у + 271 Решение: Выделяя полные
объединил их в большом труде под названием квадраты, получим: (х-9)2 + (у+10)2 <15
«Арифметика». Из тринадцати книг, (х-16)2 + (у+6)2 <21 Из первого и
входивших в состав «Арифметики», только второго неравенства системы : (х-9)2 <
шесть сохранились до Средних веков и стали 15 6? х ? 12 (х-16)2 < 21, 12? х ? 20 ,
источником вдохновения для математиков х=12. Подставляя х = 12 в систему,
эпохи Возрождения. получим: (у+10)2 < 6 -2 ? у+10 ? 2 -12
92. Теоремы о числе решений линейного ? у ? -8 (у+6)2 < 5 -2 ? у+6 ? 2 -8 ? у
диофантового уравнения. ? -4 у=-8 Ответ: (12; -8).
10Теорема 1. Если в уравнении ax+by=1, 28Заключение. Решение различного вида
(a,b)=1, то уравнение имеет, по крайней уравнений является одной из содержательных
мере, одно решение. линий школьного курса математики, но при
11Теорема 2. Если в уравнении ax+by=c, этом методы решения уравнений с
(a,b)=d>1 и с не делится на d, то несколькими неизвестными практически не
уравнение целых решений не имеет. рассматриваются. Вместе с тем, решение
12Теорема 3. Если в уравнении ax+by=c, уравнений от нескольких неизвестных в
(a,b)=d>1 и , то оно равносильно целых числах является одной из древнейших
уравнению a1x+b1y=c1, в котором (a1,b1)=1. математических задач. Большинство методов
13Теорема 4. Если в уравнении ax+by=c, решения таких уравнений основаны на теории
(a,b)=1, то все целые решения этого делимости целых чисел, интерес к которой в
уравнения заключены в формулах: x=x0c+bt настоящее время определяется бурным
y=y0c-at где х0, у0 – целое решение развитием информационных технологий. В
уравнения ax+by=1, t- любое целое число. связи с этим, учащимся старших классов
143. Алгоритм решения уравнения в целых будет небезынтересно познакомиться с
числах. Сформулированные теоремы позволяют методами решения некоторых уравнений в
составить следующий алгоритм решения в целых числах, тем более что на олимпиадах
целых числах уравнения вида ax+by=c. 1. разного уровня очень часто предлагаются
Найти наибольший общий делитель чисел a и задания, предполагающие решение
b, если (a,b)=d>1 и с не делится на d , какого-либо уравнения в целых числах, а в
то уравнение целых решений не имеет; если этом году такие уравнения включены еще и в
(a,b)=d>1 и , то. материалы ЕГЭ.
152. Разделить почленно уравнение 29Литература. 1)Галкин Е.Г.
ax+by=c на d, получив при этом уравнение Нестандартные задачи по математике.
a1x+b1y=c1, в котором (a,b)=1; 3. Найти 2)Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами.
целое решение (х0, у0) уравнения a1x+b1y=1 3)Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа
путем представления 1 как линейной 10-11 класс. 4)Математика. ЕГЭ 2010.
комбинации чисел a и b; 4. Составить общую Федеральный институт педагогических
формулу целых решений данного уравнения измерений. 5)Глейзер Е.И. История
где х0, у0 – целое решение уравнения , - математики в школе. 6)Шарыгин И. Ф.
любое целое число. Факультативный курс по математике. Решение
164 .Примеры решений уравнений первой задач.
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах.pptx
http://900igr.net/kartinka/algebra/uravnenija-s-dvumja-neizvestnymi-v-tselykh-chislakh-259593.html
cсылка на страницу

Уравнения с двумя неизвестными в целых числах

другие презентации на тему «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»

«Умножение целых чисел» - Какие числа называются целыми ? Физминутка. Ал - Бируни. «Знание – самое превосходное из владений. Создание проблемной ситуации. А какие числа еще можно перемножать? Как сложить два числа с одинаковыми знаками? Поэтому произведение (-5)*(-3) не может быть равно (-15). Мнемоническое правило. Тема урока: Умножение целых чисел.

«Растительный организм как единое целое» - Растительный организм – единое целое. Один в земле копается, Другой в свету купается. Плод. На кого идёт облава. Цветок. Сухие сочные односеменные многосеменные защита и распространение семян. Крейг Барретт. Летят пушинки чистые За луг, за сад, за лес… Чудеса творят не компьютеры, а учителя! Обоеполые раздельнополые чашечка венчик тычинки пестик опыление.

«Неравенства с двумя переменными» - Графики уравнений – окружности с центром в начале координат и радиусами 2 и 4 единичных отрезка. Все решения неравенства геометрически изображены точками одной из полуплоскостей. Построим график уравнения (х – 2)? + ( у + 3)? = 25. Для решения неравенств с двумя переменными используется графический метод.

«Два мороза» - Сказано – сделано. Покачал головой Мороз - Синий нос и говорит: - Э, молод ты, брат, и глуп. Ну, а ты как – справился с дровосеком? Пусть, как оденется, да узнает, каков Мороз - Красный нос. А как добрались до места, ещё хуже мне стало. Два мороза. Ну, думаю, доберёмся до места, тут я тебя и прихвачу.

«Параллельность двух прямых» - Параллельны ли прямые? Какие из прямых m, n, p являются параллельными? Что такое секущая? C – секущая для а и b. Признаки параллельности двух прямых. Доказать, что АС || BD. CD – биссектриса угла ВСЕ. Третий признак параллельности прямых. Примеры параллельностей в реальной жизни. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

«Целое и часть» - Отношения частей и целого в окружающем мире и в математике. Посмотрим вокруг… Собственные размышления. Используемые материалы. Существует ли такая же закономерность в числовых равенствах? Наблюдение за предметами окружающего мира и числовыми равенствами. Определить взаимосвязь частей и целого. Авторы: Атаманова Лиза Нехорошкова Надя.

Уравнения

49 презентаций об уравнениях
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Уравнения > Уравнения с двумя неизвестными в целых числах