Тригонометрия
<<  Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств Математика 10 класс Формулы приведения  >>
3-й способ
3-й способ
5-й способ
5-й способ
sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +
sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +
Картинки из презентации «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1» к уроку алгебры на тему «Тригонометрия»

Автор: user. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 117 КБ.

Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1

содержание презентации «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Восемь способов решения 6ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
тригонометрического уравнения sin x – cos 75-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ
x = 1. Проект составил ученик 10п класса УРАВНЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ ФУНКЦИЙ.
МОУ «Бичурга – Баишевская СОШ» Мишкин sin x – cos x = 1 Так как sin? x + cos? x
Михаил. 2007 г. = 1, то sin x = ± ?1 – cos? x , sin x –
2Цель: Лучше подготовится к ЭГЕ. cos x = 1 ? ± ?1- cos? x – cos x = 1 , ±
31-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ?1 – cos? x = 1 + cos x. Возведём обе
ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И части полученного уравнения в квадрат: 1 –
КОСИНУСА. sin x – cos x =1 Разложим левую cos? x = 1 + 2cos x + cos?x , 2cos? x +
часть по формулам двойного аргумента, а 2cos x = 0 , cos x = 0 cos x (cos x + 1) =
правую часть заменим тригонометрической 0 => cos x + 1 = 0 cos x = 0; x = ?/2 +
единицей: 2sin x/2 * cos x/2 – cos? x/2 ?k, k Є Z cos x + 1; cos x = -1; x = ? +
+sin? x/2 = sin? x/2 + cos? x/2 2sin x/2 * 2?n, n Є Z В процессе решения обе части
cos x/2 – 2cos? x/2 = 0 cos x/2 * (sin x/2 уравнения возводились в квадрат, что могло
– cos x/2) =0 Произведение равно нулю, привести у появлению посторонних решений,
если хотя бы один из множителей равен поэтому необходима проверка. Выполним её.
нулю, а остальные при этом не теряют Полученные решения эквиваленты объединению
смысла, поэтому cos x/2 * (sin x/2 – cos трёх решений: x = ?/2 + 2?k, x = ? + 2?n,
x/2) =0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – x = - ?/2 +2?m. Первое и второе решения
cos x/2 = 0 cos x/2 = 0; x/2 = ?/2 + ?k; x совпадают с ранее полученными, поэтому не
= ? + ?k; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – являются посторонним. Проверим x = - ?/2 +
однородное уравнение первой степени. Делим 2?m, m Є Z. Левая часть: sin (-?/2 + 2?m)
обе его части на cos x/2 (cos x/2 ? 0, так – cos (-?/2 + 2?m) = sin (-?/2) – cos
как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 (-?/2) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1.
=> sin x/2 = 0, что противоречит Следовательно, x = - ?/2 + 2?m, m Є Z –
тождеству sin? x/2 + cos? x/2 = 1). постороннее решение. Ответ: x = ?/2 + 2?k,
Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = k Є Z или x = ? + 2?n, n Є Z.
?/4 = ?n; x = ?/2 + 2?n; n Є Z. Ответ: x = 8sin x – cos x = 1 sin? x – 2sin x cos
? + 2?k; k Є Z или x = ?/2 + 2?n, n Є Z. x + cos? x = 1; 1 – sin 2x = 1; sin 2x =
4sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; 2x = ?k; x = ?k/2, k Є Z. Полученное
0; Так как 1 + cos x = 2cos? x/2, а sin x решение эквивалентно объединению четырех
= 2sin x/2 * cos x/2, то 2sin x/2 * cos решений: x = 2?k, k Є Z, x = ?/2 + 2?n, n
x/2 – 2cos? x/2 = 0; cos x/2 * (sin x/2 – Є Z, x = ? + 2?m, m Є Z, x = - ?/2 + 2?l,
cos x/2) = 0 cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) l Є Z. Проверка показывает, что первое и
=0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 четвертое решения – посторонние. Ответ: x
= 0 cos x/2 = 0; x/2 = ?/2 + ?k; x = ? + = ?/2 + 2?n, n Є Z, или x = ? + 2?m, m Є
?k; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – Z. 6-й способ. ВОЗВЕДЕНЕИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ
однородное уравнение первой степени. Делим УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ.
обе его части на cos x/2 (cos x/2 ? 0, так 97-й способ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ
как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 ЧЕРЕЗ tg x (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО
=> sin x/2 = 0, что противоречит ФОРМУЛАМ: sin x = 2tg x/2 / 1 + tg? x/2;
тождеству sin? x/2 + cos? x/2 = 1). cos x = 1 – tg? x/2 / 1 + tg? x/2; tg x =
Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = 2tg x/2 / 1 – tg? x/2. С учетом
?/4 = ?n; x = ?/2 + 2?n; n Є Z. Ответ: x = приведенных формул уравнение sin x – cos x
? + 2?k; k Є Z или x = ?/2 + 2?n, n Є Z. = 1 запишем в виде 2tg x/2 / 1 + tg? x/2 –
2-й способ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ 1 – tg? x/2 / 1 + tg? x/2 = 1. Умножим обе
УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ. части уравнения на 1 + tg? x/2 (1 + tg?
53-й способ. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО x/2 ? 0, так как tg? x/2 ? 0): 2tg x/2 – 1
УГЛА (ЧИСЛА). sin x – cos x = 1 В левой + tg? x/2 = 1 + tg? x/2; 2tg x/2 = 2; tg
части уравнения вынесем ?2 за скобку x/2 = 1; x/2 = ?/4 + ?n; x = ?/2 + 2?n, n
(корень квадратный из суммы квадратов Є Z. ОДЗ первоначального уравнения – все
коэффициентов при sin x и cos x). Получим множество R. При переходе к tg x/2 из
?2(sin x * 1/?2 – cos x * 1/?2) = 1; sin x рассмотрения выпали значения, при которых
cos ?/4 – cos x sin ?/4 = 1/?2; sin (x – tg x/2 не имеет смысла, т.е. x/2 = ?/2 +
?/4) = ?2/2 x – ?/4 = (-1)k arcsin ?2/2 + ?k, или x = ? + 2?k, k Є Z. Следует
?k, k Є Z. Ответ: x = ?/4 + (-1)k * ?/4 + проверить, не является ли x = ? + 2?k
?k, k Є Z. С помощью тригонометрического решением данного уравнения. Левая часть:
круга легко установить, что решение x = sin (? + 2?k) – cos (? + 2?k) = sin ? –
?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k распадается на два cos ? = 0 – (-1) = 1. Правая часть: 1.
случая x = ? + 2?k, x = ?/2 + 2?k; x – ?/4 Значит, x = ? + 2?k, k Є Z – решение
= ?/4 + 2?n, x = ?/2 + 2?n, n Є Z, sin (x уравнения. Ответ: x = ?/2 + 2?n, n Є Z,
– ?/4) = ?2/2 => => x – ?/4 = 3?/4 + или x = ? + 2?k, k Є Z.
2?k; x = ? + 2?k, k Є Z. 10sin x – cos x = 1 Рассматриваемое
6sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в уравнение запишем в виде sin x = 1 + cos
виде sin x – sin (?/2 – x) = 1. Применяем x. На одном и том же чертеже построим
формулу разности двух синусов, получим графики функций, соответствующих левой и
2sin (x – ?/4) cos ?/4 = 1 2sin (x – ?/4) правой частям уравнения. Абсциссы точек
* ?2/2 = 1 sin (x – ?/4) = 1/?2 x – ?/4 = пересечения графиков являются решениями
(-1)k arcsin ?2/2 + ?k, k Є Z. Ответ: x = данного уравнения. y = sin x – график:
?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k, k Є Z. С помощью косинусоида; y = cos x + 1 – график:
тригонометрического круга легко косинусоида y = cos x смещенная на 1
установить, что решение x = ?/4 + (-1)k * вверх. Ответ: x = ?/2 + 2?k, k Є Z или x =
?/4 + ?k распадается на два случая x = ? + ? + 2?n, n Є Z. 8-й способ. ГРАФИЧЕСКОЕ
2?k, x = ?/2 + 2?k; x – ?/4 = ?/4 + 2?n, x РЕШЕНИЕ.
= ?/2 + 2?n, n Є Z, sin (x – ?/4) = ?2/2 11Литература: 1. Газета «Математика»
=> => x – ?/4 = 3?/4 + 2?k; x = ? + №40,октябрь 1995г. 2. Учебник «Алгебра и
2?k, k Є Z. 4-й способ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ начала анализа» 10 – 11 классы, Москва
РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОЯНОМЕТРИЧЕСКИХ «Просвещение» 2004г.
Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/vosem-sposobov-reshenija-trigonometricheskogo-uravnenija-sin-x-cos-x-1-148818.html
cсылка на страницу

Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1

другие презентации на тему «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1»

«Способы решения систем уравнений» - Функция. Способ подстановки (алгоритм). 5. Упростите выражение. 9. График какой функции изображен на рисунке? Число. Построим график второго уравнения. Самостоятельная работа. 4. Выполните умножение. Уравнение. 15х км – расстояние от озера до деревни, 10(1 – х) км – расстояние от деревни до озера. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

«Решение простейших тригонометрических неравенств» - sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств. cos x. Методы решения тригонометрических неравенств .

«Преобразование графиков тригонометрических функций» - 2.Функция косинус. Обзор тригонометрических функций. Ученик третий. 2.Функция котангенса. Урок-презентация «Графики тригонометрических функций. «Графики тригонометрических функций». Вводное слово учителя. 1.Растяжение графика вдоль оси ординат y=af(x) ; a>1. Ученик четвётый. Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.

«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: V. Формулы половинных углов. Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс. Преобразование тригонометрических выражений (вывод тригонометрических формул). Формулы приведения. По тригонометрическим функциям угла ?.

«Тригонометрические уравнения и их решения» - Простейшие тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции. Основное тригонометрическое тождество. Решение квадратного уравнения. Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной. Образец решения. Решите уравнения.

«Тригонометрические уравнения» - Тригонометрические уравнения. Пример 5. 3 sin x +4 cos x =0; Пример 4. sin2 4x = 1/4. Пример 3. Решить уравнение tgx + 2ctgx = 3. Имеют ли смысл выражения: Решение. Решить уравнение: Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4/3 > 1.

Тригонометрия

20 презентаций о тригонометрии
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Тригонометрия > Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1