Комбинаторика
<<  Решение комбинаторных задач 5-6 класс Эйлеровы графы  >>
Проведенный перебор
Проведенный перебор
Дороги
Дороги
Картинки из презентации «Задачи по комбинаторике с решениями» к уроку алгебры на тему «Комбинаторика»

Автор: 1. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Задачи по комбинаторике с решениями.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 395 КБ.

Задачи по комбинаторике с решениями

содержание презентации «Задачи по комбинаторике с решениями.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Элементы комбинаторики. /для учащихся 38n! = 1· 2· 3· …· (n-2)(n-1)n.
7-9 классов/ Подготовила учитель 39Таким образом, число всевозможных
математики МБОУ «Горковская средняя перестановок из n элементов вычисляется по
общеобразовательная школа» Харитонова Вера формуле Рn = n! Задача 4. Сколькими
Витальевна Горки 2010 г. способами могут быть расставлены 8
2Оглавление: 1. Понятие комбинаторики. участниц финального забега на восьми
Способы решения простейших комбинаторных беговых дорожках? Решение. Т.к. число
задач. Слайд 3 2. Перестановки. Слайд 27 способов равно числу перестановок из 8
3. Размещения. Слайд 51 4. Сочетания Слайд элементов, то по формуле числа
59. перестановок находим, что Рn= 8! = 1· 2·
3Основная цель: знакомство с понятиями 3· 4· 5· 6· 7· 8 = 40 320 Значит,
«перестановка», «размещение», «сочетание» существует 40 320 способов расстановки
и соответствующими формулами, выработка участниц забега на восьми беговых
умений решать несложные комбинаторные дорожках.
задачи. 401! = 1 2! = 1·2 = 2 3! = 1· 2· 3 = 6
4Примеры комбинаторных задач. В науке и 4! = 1· 2· 3· 4 = 24 5! = 4! · 5 = 120 6!
практике часто встречаются задачи, решая = 5!· 6 = 720 и т.Д. Несколько первых
которые приходится составлять различные значений для n!
комбинации из конечного числа элементов и 41Задача 5. Сколько различных
подсчитывать число комбинаций. Такие четырехзначных чисел, в которых цифры не
задачи получили название комбинаторных повторяются, можно составить из цифр
задач, а раздел математики, в котором 0,2,4,6? Решение. Из цифр 0,2,4,6 можно
рассматриваются подобные задачи, называют получить Р4 перестановок. Но из этого
комбинаторикой. числа надо исключить те перестановки,
5Слово «комбинаторика» происходит от которые начинаются с нуля, т.к.
латинского слова combinare, которое натуральное число не может начинаться с
означает «соединять, сочетать». Методы цифры 0. Число перестановок с нулем в
комбинаторики находят широкое применение в начале равно трём, т.е. Р3. Значит,
физике, химии, биологии, экономике и искомое число четырехзначных чисел равно
других областях знаний. Получаем:
6Рассмотрим некоторые комбинаторные 42Задача 6. Имеется 9 различных книг,
задачи. Пример 1. Из группы теннисистов, в четыре из которых - учебники. Сколькими
которую входят четыре человека – Антонов, способами можно расставить эти книги на
Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер полке так, чтобы все учебники стояли
выделяет пару для участия в соревнованиях. рядом? Решение. Сначала рассмотрим
Сколько существует вариантов выбора этой учебники как одну книгу. Тогда на полке
пары? надо расставить не 9 , а 6 книг. Это можно
7Составим сначала все пары, которые сделать Р6 способами. В каждой из
входит Антонов. Получим 3 пары: АГ,АС,АФ. полученных комбинаций можно выполнить Р4
Выпишем пары, в которые входит Григорьев, перестановок учебников. Значит, искомое
но не входит Антонов. Таких пар две: число способов разложения книг на полке
ГС,ГФ. Составим пары, в которые входит равно произведению Р6· Р4 = 6!· 4! = 720 ·
Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. 24 = 17 280.
Такая пара только одна: СФ. Других 43Задача 7. 11 футболистов строятся
вариантов составления пар нет, так как все перед началом матча. Первым становится
пары, в которые входит Федоров уже капитан, вторым вратарь, а остальные
составлены. Итак, мы получили 6 пар: случайным образом. а)Сколько существует
АГ,АС,АФ, ГС,ГФ, СФ. Решение: способов построения? б) Сколько существует
8Итак, мы получили 6 пар: АГ,АС,АФ, способов построения, если первым стоит
ГС,ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 капитан, а остальные в произвольном
вариантов выбора тренером пары теннисистов порядке?
из данной группы. Способ рассуждений, 44Решение. а) К В . . . . . . . . . Т.к.
которым мы воспользовались при решении капитан и вратарь занимают постоянные
задачи, называют перебором возможных первые два места, то всевозможных
вариантов. перестановок будет Р9= 9!= 9 · 8 · 7· 6 ·
9Пример 2. Сколько трёхзначных чисел 5 · 4 ·3 · 2 · 1= 362 880 (способов).
можно составить из цифр 1,3,5,7, используя б)т.к. только капитан занимает постоянное
в записи числа каждую из них не более место, то всевозможных перестановок будет
одного раза? Р10 = 10! = 3 628 800 (способов).
10Пусть на первом месте стоит цифра 1. 45Задача 8. Сколькими способами можно
На втором месте может быть записана любая обозначить вершины куба буквами A,B,C,D,E,
из цифр 3,5 или 7. Запишем, например, на F,G,K ?
втором месте цифру 3. Тогда в качестве 46Задача 9. В гостинице семь одноместных
третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим номеров, и семеро гостей желают в них
два числа 135 и 137. 1 3 5 7. Решение: разместиться, причем трое заранее
112) Если на втором месте записать цифру зарезервировали конкретные номера. Найдите
5, то в качестве третьей цифры можно взять число способов расселения семи гостей по
цифру 3 или 7. В этом случае получим числа семи номерам.
153 и 157. Если же, наконец, на втором 47Задача 10. а) На дверях четырех
месте записать цифру 7, то получим числа одинаковых кабинетов надо повесить
173 и 175. 1 3 5 7 5 7 3 7 3 5 Итак, мы таблички с фамилиями четырех заместителей
составили все числа, которые начинаются с директора. Сколькими способами можно это
цифры 1. Таких чисел шесть: 135, 137, 153, сделать?
157, 173, 175. 48б) В 9 классе в среду 5 уроков:
12Аналогичным способом можно составить алгебра, геометрия, физкультура, русский
числа, которые начинаются с цифры 3, с язык, английский язык. Сколько можно
цифры 5, с цифры 7. Полученные результаты составить вариантов расписания на этот
запишем в четыре строки, в каждой из день? Сколько можно составить вариантов
которых шесть чисел: 135, 137, 153, 157, расписания, если алгебра и геометрия стоят
173, 175. 315, 317, 351, 357, 371, 375, вместе?
513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 49в) Сколькими способами четыре вора
731, 735, 751, 753. Таким образом из цифр могут разбежаться по одному на все четыре
1,3,5,7 (без повторения цифр) можно стороны? г)Адъютант должен развести пять
составить 24 трехзначных числа. копий приказа генерала по пяти полкам.
13Проведенный перебор вариантов Сколькими способами он может выбрать
проиллюстрирован на схеме. Такую схему маршрут доставки копий приказа?
называют деревом возможных вариантов. 50Ответы: 1. №8. 40320 способов. 2. №9.
14Второй способ решения. Ответить на 24 способа. 3.№10. А) 24 б) 120 в) 24 г)
поставленный вопрос в задаче можно не 120.
выписывая сами числа. То есть путем 51Размещения Размещением из n элементов
рассуждения. Первую цифру можно выбрать по k (k?n) называется любое множество,
четырьмя способами. Так как после выбора состоящее из любых k элементов, взятых в
первой цифры останутся три, то вторую определенном порядке из данных n
цифру можно выбрать тремя способами. элементов. Число размещений из nэлементов
Наконец, третью цифру можно выбрать( из по k обозначают (читают: «А из n по k»).
оставшихся двух) уже двумя способами. Два размещения из n элементов по k
15Следовательно, общее число искомых считаются различными, если они отличаются
трехзначных чисел равно произведению самими элементами или порядком их
4·3·2, т.е. 24. Отвечая на поставленный расположения.
вопрос в задаче , мы использовали, так 52Задача 1. Сколько трёхзначных чисел
называемое комбинаторное правило (без повторения цифр в записи числа) можно
умножения. составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6?
16Общий вид комбинаторного правила 53Решение: 1) Если бы среди цифр не было
умножения. Пусть имеется n элементов и нуля, то число трёхзначных чисел, которые
требуется выбрать одним за другим можно составить из этих цифр, равно числу
некоторые k элементов. Если первый элемент размещений из 7 элементов по 3. 2) т.к.
можно выбрать n1 способами, после чего среди данных цифр есть цифра 0, с которой
второй элемент можно выбрать из оставшихся не может начинаться трёхзначное число, то
элементов n2 способами, затем третий из размещений из 7 элементов по 3 надо
элемент – n3 способами и т.д., то число исключить те размещения, у которых первым
способов, которыми могут быть выбраны все элементом является цифра 0. 0 . . Их число
k элементов, равно произведению n1· n2· равно числу из 6 элементов по 2. 210 – 30
n3· …nk. = 180 способов составления трехзначных
17Пример 3. Из города А в город В ведут чисел.
две дороги, из города В в город С – три 54Учащиеся второго класса изучают 8
дороги, из города С до пристани – две предметов. Сколькими способами можно
дороги. Туристы хотят проехать из города А составить расписание на один день, чтобы в
через города В и С к пристани. Сколькими нем было 4 различных предмета? Задача 2.
способами они могут выбрать маршрут ? 55Р е ш е н и е. Любое расписание на
18Решение. Путь из А в В туристы могут один день, составленное из 4 различных
выбрать двумя способами. Далее в каждом предметов, отличается от другого либо
случае они могут проехать из В в С тремя предметами, либо порядком следования
способами. Значит, имеются 2· 3 вариантов предметов. Значит, в этом примере речь
маршрута из А в С. Так как из города С на идет о размещениях из 8 элементов по 4.
пристань можно попасть двумя способами, то Имеем: Расписание можно составить 1680
всего существует 2· 3· 2, т.е. 12, способами.
способов выбора туристами маршрута из 56Задачи для самостоятельного решения:
города А к пристани. 1. Сколькими способами может разместиться
19Задача 1. В кафе предлагают два первых семья из трех человек в четырехместном
блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых купе, если других пассажиров в купе нет?
блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. 2. Из 30 участников собрания надо выбрать
Укажите все обеды из двух блюд, которые председателя и секретаря. Сколькими
может заказать посетитель. способами это можно сделать? 3. Сколькими
Проиллюстрируйте ответ, построив дерево способами могут занять первое, второе и
возможных вариантов. третье места 8 участниц финального забега
20Задача 2. У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, на дистанции 100 м? 4. На станции 7
Марина, Полина и Светлана. Она решила двух запасных путей. Сколькими способами можно
из них пригласить в кино. Укажите все расставить на них 4 поезда?
возможные варианты выбора подруг. Сколько 575. Сколькими способами можно
таких вариантов? изготовить трехцветный флаг с
21Задача 3. Используя цифры 0,2,4,6, горизонтальными полосами, если имеется
составьте все возможные трёхзначные числа, материал семи различных цветов?
в которых цифры не повторяются. 6.Сколькими способами организаторы
221м 2 4 6 2м 0 4 6 аналогично 3м 4 6 0 конкурса могут определить, кто из 15 его
6 0 4 Если на первом месте стоит цифра 2, участников будет выступать первым, вторым
то возможны шесть вариантов чисел: 204, и третьим? 7. Сколькими способами 6
206, 240, 246, 260, 264. Аналогичные студентов, сдающих экзамен, могут занять
рассуждения проводятся, если на первом места в аудитории, в которой стоит 20
месте будет стоять цифра 4 или 6. Значит, одноместных столов? 8. На странице альбома
существует 3 х 6 = 18 трехзначных чисел, в 6 свободных мест для фотографий. Сколькими
которых цифры 0,2,4,6 не повторяются. способами можно вложить в свободные места:
Решение. а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в)6
23Задача 4. Из цифр 1,2,3 составьте все фотографий. 9. Сколько существует
возможные двузначные числа при условии, семизначных телефонных номеров, в которых
что: а) цифры в числе не повторяются; б) все цифры различные и первая отлична от
допускается повторение цифр в числе. нуля?
24Задача 5. В шахматном турнире 58Ответы: 1. 24 способами. 2. 870
участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл способами. 3. 336 способами. 4. 840
с каждым по одной партии. Сколько всего способами. 5. 210 способами. 6. 2730
партий было сыграно? способами. 7. 27 907 200 способами. 8. А)
25Решение. * * * * * * * * * ( способ 30 способами; б) 360 способами; в) 720
перебора) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Первый с 8 – способами. 9. 544 320 номеров.
ю, второй с 7 – ю, третий с 6-ю, четвертый 59Сочетания. Сочетанием из n элементов
с 5-ю, пятый с 4 - мя, шестой с 3 – мя, по k называется любое множество,
седьмой с 2 – мя, восьмой с 1-м. Всего 8 + составленное из k элементов, выбранных из
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 партий было данных n элементов.
сыграно. Ответ: 36 партий. 60В отличие от размещений в сочетаниях
26Итог: Комбинаторные задачи решаются не имеет значения, в каком порядке указаны
тремя способами: 1)с помощью простого элементы. Два сочетания из n элементов по
перебора; 2) с помощью дерева возможных k отличаются друг от друга хотя бы одним
вариантов; 3) по правилу умножения. У элементом. Число сочетаний из n элементов
каждого способа есть свои преимущества и по k обозначают (читают «С из n по k»).
недостатки. Выбор решения за вами ! 61Задача 1. Пусть имеются 5 гвоздик
27Перестановки. Простейшими разного цвета. Обозначим их буквами a, b,
комбинациями, которые можно составить из c, d, e. Требуется составить букет из трёх
элементов конечного множества, являются гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть
перестановки. составлены. Если в букет входит гвоздика
28Рассмотрим задачу: Пусть имеются три а, то можно составить такие букеты: abc,
книги. Обозначим их буквами а, в и с. Эти abd, abe, acd, ace, ade. Если в букет не
книги можно расставить на полке по входит гвоздика а, но входит гвоздика b,
разному. Если первой поставить книгу а, то то можно получить такие букеты: bcd, bce,
возможны такие расположения книг: авс, bde. Если в букет не входят ни гвоздика а,
асв. Если первой поставить книгу в , то ни гвоздика b, то возможен только один
возможны следующие варианты: вас,вса. Если вариант составления букета: cde. Итак,
первой поставить книгу с, по получим такие рассмотрены всевозможные способы
расположения: сва, сав. Получили 6 составления букетов, в которых по –
вариантов расположения книг на полке. разному сочетаются три гвоздики из данных
29Перестановкой из n элементов пяти. Говорят, что мы составили все
называется каждое расположение этих возможные сочетания из 5 элементов по 3.
элементов в определенном порядке. Число 62Формула числа сочетаний.
перестановок из n элементов обозначают 63Эту формулу можно использовать и в
символом Рn (читается Р из n) . Каждое из случае, когда n = k, если принять по
таких расположений называют перестановкой определению, что 0! = 1. Пример 1. Из 15
из трех элементов. членов туристической группы надо выбрать
30Второй способ решения: Для того, чтобы трех дежурных. Сколькими способами можно
найти число перестановок из трёх сделать этот выбор? Каждый выбор
элементов, можно не выписывать эти отличается от другого хотя бы одним
перестановки, а воспользоваться правилом дежурным. Значит, здесь речь идет о
умножения. Будем рассуждать так: На первое сочетаниях из 15 элементов по 3. Трех
место можно поставить любой из трёх дежурных можно выбрать 455 способами.
элементов; На второе место можно поставить 64Пример 2. Из вазы с фруктами, в
любой из двух оставшихся элементов; На которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо
третье место можно поставить последний выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими
третий элемент. Значит, число перестановок способами можно сделать этот выбор?
из трех элементов равно 3· 2· 1, т.е. 6. Выбрать 3 яблока из 9 можно способами , а
(вариантов). выбрать две груши из 6 можно способами.
31Сколькими способами могут быть Так как при каждом выборе яблок груши
расставлены 8 участниц финального забега можно выбрать Способами, то сделать выбор
на 8 беговых дорожках? Задача 1. фруктов, о котором говорится в задаче,
32Решение. Существует Р8 всевозможных можно способами.
перестановок из 8 элементов, т.е. Р8 = 8! 65Задачи для самостоятельного решения: В
= 8·7·6·5·4·3·2·1= 40 320 (способов) классе 7 человек успешно занимаются
Ответ: 40 320 способов. математикой. Сколькими способами можно
33Задача 2. В семье - 6 человек, и за выбрать из них двоих для участия в
столом в кухне стоят 6 стульев. В семье математической олимпиаде? В магазине
решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться «Филателия» продается 8 различных наборов
на эти 6 стульев по новому. Сколько дней марок, посвященных спортивной тематике.
члены семьи смогут делать это без Сколькими способами можно выбрать из них
повторений? (т.е.нас интересует сколько три набора? Учащимся дали список из 10
всего существует различных способов их книг, которые рекомендуется прочитать во
размещения на стульях). время каникул. Сколькими способами ученик
34Будем считать, что в семье бабушка, может выбрать из них 6 книг?
дедушка, мама, папа, дочь и сын. 664. Из лаборатории, в которой работают
Предположим, что первой усаживается заведующий и 10 сотрудников, надо
бабушка. У неё есть 6 вариантов выбора отправить 5 человек в командировку.
стула. Вторым садится дедушка. У него есть Сколькими способами можно это сделать,
5 вариантов выбора стула из оставшихся. если: а) заведующий лабораторией должен
Третьим садится мама и выбирает стул из 4 ехать в командировку; б)заведующий
оставшихся. Будем рассуждать так: лабораторией должен остаться. 5. На полке
35У папы будет уже 3 варианта, у дочки – стоит 12 книг: англо – русский словарь и
2, ну а сын сядет на единственный 11 художественных произведений на
незанятый стул. По правилу умножения английском языке. Сколькими способами
получаем: 6· 5· 4· 3· 2·1 = 720 различных читатель может выбрать 3 книги, если: а)
способов размещения. Таким образом, в « словарь нужен ему обязательно; б) словарь
игру с рассаживаниями» семья может играть ему не нужен.
720 дней, т.е. почти 2 года. Ответ : 720. 67Ответы: 1. 21 способом. 2. 56
36Задача 3. Десять разных писем способами. 3. 210 способами. 4. А) 210
раскладывают по одному в десять конвертов. способами; б) 252 способами. 5. А) 55
Сколько существует способов такого способами; б) 165 способами.
раскладывания? Предложенная ситуация 68Литература: 1. Макарычев Ю.Н. Алгебра:
отличается от предыдущей тем, что там были элементы статистики и теории вероятностей:
люди и стулья, а здесь письма и конверты. учеб. Пособие для учащихся 7 – 9 кл.
Однако и здесь, и там требуется узнать, общеобразоват. Учреждений / Ю.Н.
сколькими способами можно разместить n Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А.
предметов на n местах. Теляковского. – 4-е изд.-М.: Просвещение,
37Решение. Повторяя предыдущее решение, 2006. 2..Макарычев Ю.Н. Изучение алгебры в
получаем, что всего имеется 10· 9· 8· 7· 7 – 9 классах : кн. Для учителя / Ю.Н.
6· 5· 4· 3· 2· 1 = 3 628 800 способов Макарычев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова. –
раскладывания писем по конвертам. Более 2-е изд. – М.: Просвещение,2006. 3.
3,5 миллионов!!! Мордкович А.Г., Семенов П.В. События.
38Как мы видим, условия задач разные, а Вероятности. Статистическая обработка
решения одинаковы. Поэтому удобно ввести данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7 –
одинаковые обозначения для таких решений. 9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3 – е
Определение: Произведение первых подряд изд. – М.: Мнемозина, 2005.
идущих n натуральных чисел обозначают n!
Задачи по комбинаторике с решениями.ppt
http://900igr.net/kartinka/algebra/zadachi-po-kombinatorike-s-reshenijami-54248.html
cсылка на страницу

Задачи по комбинаторике с решениями

другие презентации на тему «Задачи по комбинаторике с решениями»

«Элементы комбинаторики» - Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Что такое размещения? Что такое сочетания? Отгадай ребусы. Записать формулу для нахождения числа перестановок? Понятие науки « Комбинаторика». Подбор комбинаторных задач. В чем состоит комбинаторное правило умножения?

«Задачи по комбинаторике» - Комбинаторика. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера. Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Задача № 2. Правило суммы. Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Задача №1. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера? Правило умножения.

«Комбинаторика 9 класс» - Не нужно нам владеть клинком, Не ищем славы громкой. Ответы и решения. 2-я группа. На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Устные упражнения: Сообщение домашнего задания. Сколько существует четырехзначных номеров, не содержащих цифр 0, 5, 8? По какой формуле вычисляется размещение? Содержание курса.

«Перестановки элементов» - Задача о минимальном числе инверсий. Нумерация множества. Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок. Перестановки. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Комбинаторика. Формальное описание алгоритма. Нумерация перестановок. Пример отображения. Дискретный анализ. Отображение.

«Комбинаторика и её применение» - Химия. Трехзначное число. Четырехзначное число. На полке лежат 3 книги. Владелец золотой медали. Области применения комбинаторики. Комбинаторика и ее применение. Самостоятельная работа. Комбинаторика. Применение комбинаторики. Обед. Обществознание и математика. Костюм. Ученик. Комбинаторика вокруг нас.

«Комбинации» - Задачу правильно решили 13 уч., а пример-17. не справились с работой 3 ученика. Сколько учеников успешно решили самостоятельную работу. Первое задание правильно решили 14 уч., а второе -13. не справились с контрольной 4 ученика. Комбинаторные задачи. Задача №1. Размещения. Самостоятельная работа. Перестановки:

Комбинаторика

25 презентаций о комбинаторике
Урок

Алгебра

35 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Комбинаторика > Задачи по комбинаторике с решениями