Механика
<<  Теория механизмов и машин «Золотое правило» механики  >>
Курс лекций по теоретической механике
Курс лекций по теоретической механике
Курс лекций по теоретической механике
Курс лекций по теоретической механике
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы
Картинки из презентации «Курс лекций по теоретической механике» к уроку физики на тему «Механика»

Автор: Бондаренко. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока физики, скачайте бесплатно презентацию «Курс лекций по теоретической механике.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 1982 КБ.

Курс лекций по теоретической механике

содержание презентации «Курс лекций по теоретической механике.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Курс лекций по теоретической механике. 19равнялось нулю: Доказательство
Динамика (II часть). Бондаренко А.Н. необходимости: Система находится в
Москва - 2007. Электронный учебный курс равновесии и для каждой точки
написан на основе лекций, читавшихся удовлетворяется уравнение равновесия:
автором для студентов, обучавшихся по Доказательство достаточности: Дано:
специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и Предположим, что равновесия нет. Тогда
МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный материал каждая из точек под действием активных сил
соответствует календарным планам в объеме придет в движение, переместится за время
трех семестров. Для полной реализации dt на малое действительное перемещение dr.
анимационных эффектов при презентации Рассматривая эти перемещения, как
необходимо использовать средство просмотра возможные, вычислим работу и просуммируем:
Power Point не ниже, чем встроенный в Умножим скалярно на вектор возможного
Microsoft Office операционной системы перемещения точки и сложим: Получили
Windows-ХР Professional. Запуск противоречие с исходным равенством. Значит
презентации – F5, навигация – Enter, предположение об отсутствии равновесия
навигационные клавиши, щелчок мыши, неверно. = 0. = 0. Заметим, что 1. для
кнопки. Завершение – Esc. Замечания и нахождения опорного момента MA из
предложения можно послать по e-mail: уравнений статики потребовалось бы решить
bond@miit.ru . Московский государственный как минимум три уравнения равновесия; 2.
университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра эпюра возможных перемещений
теоретической механики Научно-технический пропорциональна линии влияния усилия; 3.
центр транспортных технологий. если задать возможное перемещение для
2Содержание. Лекция 9. Работа, мощность искомой реакции равным 1, например, б? =1,
силы. Кинетическая энергия. Теоремы об то эпюра перемещений будет полностью
изменении кинетической энергии для тождественна линии влияния поскольку. ?
материальной точки и системы. Пример Примеры использования принципа возможных
решения задач на использование теоремы об перемещений для определения реакций
изменении кинетической энергии связей: Пример 1. Определить реакцию балки
материальной точки. Лекция 10. Пример в правой опоре: Балка неподвижна и не
решения задач на использование теоремы об имеет ни возможных, ни действительных
изменении кинетической энергии системы. перемещений. Отбросим связь, реакция
Потенциальное силовое поле. Силовая которой отыскивается, и заменим ее
функция. Потенциальная энергия системы. реакцией: Без правой опоры балка может
Закон сохранения механической энергии. поворачиваться под действием активных сил,
Лекция 11. Динамика поступательного и реакцию RB причисляем к активным силам.
вращательного движения твердого тела. Зададим малое возможное перемещение: A. B.
Физический маятник. Динамика плоского Бsp. Б? Вычислим возможные перемещения:
движения твердого тела. Принцип Даламбера Бsb. a. Запишем сумму работ: Пример 2.
для материальной точки и механической Определить опорный момент многопролетной
системы. Приведение сил инерции точек при составной балке в левой опоре: Запишем
поступательном и вращательном движениях. сумму работ: Отбросим в жесткой заделке
твердого тела. Лекция 12. Пример связь, препятствующую повороту балки, и
приведения сил инерции при вращательном заменим ее парой сил MA: MA. Вычислим
движении тела. Приведение сил инерции возможные перемещения: Бsd. Бsp. Б? Бsb.
точек при плоском движении твердого тела. 17.
Определение динамических реакций 20Лекция 14. Пример. Центробежный
подшипников при вращении твердого тела. регулятор вращается вокруг вертикальной
Балансировка. Лекция 13. Аналитическая оси с постоянной скоростью. При ? = 0
механика. Обобщенные координаты. Уравнения пружина не деформирована. Жесткость
связей. Возможные перемещения. Идеальные пружины c. Длина каждого из стержней l.
связи. Принцип возможных перемещений. Плечо подвески a. Вес каждого из шаров G,
Примеры использования принципа возможных вес муфты G1. Определить угловую скорость
перемещений при определении реакций установившегося вращения для данного угла
связей. Лекция 14. Общее уравнение ?. ? Общее уравнение динамики – Принцип
динамики. Пример решения задачи на возможных перемещений, дающий общий метод
применение общего уравнения динамики. решения задач статики, можно применить к
Обобщенные силы. Лекция 15. Уравнение решению задач динамики, а именно: 1.
Лагранжа II рода. Кинетический потенциал. Применить принцип Даламбера, сводящий
Пример решения задачи на применение задачу динамики с задаче статики: 2.
уравнения Лагранжа II рода. Вариационный Применить принцип возможных перемещений,
принцип Гамильтона-Остроградского. Понятие решающий эту статическую задачу:
об устойчивости состояния равновесия Просуммируем по всем точкам: = 0 – для
системы в потенциальном поле. Лекция 16. идеальных связей. Получим общее уравнение
Малые колебания систем с несколькими динамики: В любой момент времени сумма
степенями свободы. Общая форма работ всех задаваемых сил и сил инерции
дифференциальных уравнений колебаний. несвободной механической системы с
Прямая форма. Обратная форма. Главные двухсторонними идеальными связями на любом
координаты. Свободные колебания с учетом возможном перемещении равна нулю. Более
сопротивления среды. Лекция 17. короткие записи общего уравнения динамики:
Элементарная теория удара. Общие теоремы или. Или еще короче: где бA – возможная
теории удара. Удар тела о неподвижную работа всех задаваемых сил и сил инерции
преграду. Случай косого удара. на любом возможном перемещении. 1. Покажем
Гидравлический удар в трубах. Прямой заданные силы: 2. Добавим силы инерции: x.
центральный удар двух тел. Рекомендуемая 3. Упругая связь (пружина), не являющаяся
литература 1. Яблонский А.А. Курс идеальной (совершает работу на возможных
теоретической механики. Ч.2. М.: Высшая перемещениях), должна быть отброшена и
школа. 1977 г. 368 с. 2. Мещерский И.В. заменена реакцией, которая включается в
Сборник задач по теоретической механике. число заданных сил: A. Модуль реакции
М.: Наука. 1986 г. 416 с. 3. Сборник пружины пропорционален изменению длины
заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. (укорочению) пружины: 4. Определим
Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 проекции возможных перемещений (вариации
с. 4. Бондаренко А.Н. “Теоретическая координат) точек приложения сил: 5.
механика в примерах и задачах. Динамика” Составим общее уравнение динамики: B.
(электронное пособие Подставим значения сил инерции и реакции
www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/ma пружины: y. Отсюда после некоторых
n.htm ), 2004 г. сокращений и упрощений: 18.
3Лекция 9. Работа, мощность силы. 21Лекция 14 (продолжение – 14.2). ?
Кинетическая и потенциальная энергия – Обобщенные силы – следующий шаг к
механическое движение в результате обобщению, а именно, механического
взаимодействия механических систем может действия заданных сил на систему, после
переноситься с одной механической системы введения обобщенных координат (обобщения
на другую: без превращений в другую форму задания движения системы). Пусть
движения, т.е. в качестве того же механическая система имеет s степеней
механического движения, с превращением в свободы, ее положение определяется s
другую форму движения материи обобщенными координатами q1, q2,…, qs.
(потенциальную энергию, теплоту, Сообщим некоторой обобщенной координате qj
электрическую энергию и т.д.) Каждый из бесконечно малое приращения, оставляя
этих случаев имеет свои измерители (меры) остальные обобщенные координаты
механического движения и механического неизменными, т.е. бq1 =бq2= … = бqj-1= 0,
взаимодействия, отстаиваемые в свое время бqj ? 0, бqj+1=…= бqs= 0. В результате все
Декартом и Лейбницем (см. таблицу): Ф. N точек системы получат какие-то
Энгельс показал существование и бесконечно малые перемещения: -
равноправность обоих (векторных и Совокупность этих перемещений представляет
скалярных) мер движения, каждой из которых одно из возможных перемещений системы.
соответствуют свои меры механического Элементарная работа всех заданных сил
взаимодействия. Импульс силы является системы на этих перемещениях равна:
мерой действия силы при изменении Поставим в соответствие ко всем заданным
механического движения. Работа является силам системы некоторую одну
количественной мерой превращения (воображаемую) силу, которая совершает
механического движения в какую-либо другую такую же работу на данном возможном
форму движения материи. Мера механического (обобщенном) перемещении бqj , что и все
движения. Мера механического силы системы: Отсюда величина этой силы
взаимодействия. Декарт. Количество определяется как: Обобщенная сила qj,
движения. Импульс силы. Лейбниц. соответствующая обобщенной координате qj–
Кинетическая энергия. Работа силы. Работа скалярная величина, равная отношению
силы, приложенной к материальной точке – элементарной работы заданных сил на всех
Пусть точка приложения переменной по перемещениях системы, вызванных
величине и направлению силы перемещается элементарным приращением бqj ? 0
по некоторой произвольной траектории. На координаты qj, к величине этого
малом (элементарном) перемещении силу приращения. 1. Размерность этой силы
можно считать постоянной и элементарная определяется размерностью обобщенной
работа силы равна проекции силы на координаты. Например, если qj есть
направление перемещения (касательную к линейная обобщенная координата, то
траектории движения), умноженной на размерность обобщенной силы Qj
элементарное перемещение : Знак соответствует силе (Н). Если qj есть
элементарной работы определяется величиной угловая обобщенная координата, то
угла ? и знаком cos? : Поскольку часто размерность обобщенной силы Qj
более удобно работать с острыми углами, то соответствует паре сил или моменту (Нм).
в этом случае используют острый угол и 2. Число обобщенных сил равно числу
знак присваивают по следующему простому обобщенных координат. Размерность каждой
правилу: если сила и перемещение совпадают из обобщенных сил определяется
по направлению, то присваивается знак +, размерностью соответствующей обобщенной
если противоположны по направлению, то координаты. ? Другие формулы для
знак ?. Элементарная работа может быть вычисления обобщенной силы: В векторной
записана в виде скалярного произведения: и форме: Радиус-вектор k-той точки есть
в проекциях: Работа на конечном функция всех обобщенных координат:
перемещении M M1 получается суммированием Вариация радиуса-вектора по обобщенным
или интегрированием: Частные случаи: 1. координатам при бq1 =бq2= … = бqj-1= 0,
Сила постоянная по величине (F = const) и бqj ? 0, бqj+1=…= бqs= 0 : Отсюда: В
направлению (? =const): 2. Сила постоянная координатной форме: В случае потенциальных
по величине (F = const) и параллельна сил: 19.
перемещению (? =0): 3. Сила 22Лекция 14 (продолжение – 14.3). ?
перпендикулярна перемещению: 1. Пример вычисления обобщенных сил – Для
4Лекция 9 (продолжение – 9.2). Можно механической системы трех грузов с двумя
доказать следующие теоремы и утверждения: неподвижными и одним подвижным блоками
Работа равнодействующей на некотором определить обобщенные силы Qj . s1. Q1. 1.
перемещении равна алгебраической сумме Число обобщенных сил равно числу
работ составляющих сил на том же обобщенных координат. Число обобщенных
перемещении: ? Работа постоянной сил по координат равно количеству степеней
величине и направлению на составном свободы, которое можно определить
перемещении равна алгебраической сумме последовательным наложением связей:
работ этой силы на каждом из составляющих Ограничим горизонтальное перемещение груза
перемещений: ? Работа внутренних сил 1, грузы 2 и 3 могут вертикально
неизменяемой системы равна нулю: ? Работа перемещаться. Ограничим дополнительно
силы тяжести не зависит от вида траектории вертикальное перемещение, например, груза
и равна произведению силы тяжести на 3. Бs1. Груз 2 перемещаться не может
разность высот: ? Работа линейной силы (связи считаем двухсторонними). s2. Бs2.
упругости (реакции пружины) при Итак, n = 2. Выбираем обобщенные
перемещении из состояния равновесия: координаты q1 = s1 и q2 = s2: Q2. 2. Для
Работа силы, приложенной к твердому телу, определения Q1 задаем произвольное малое
вращающемуся вокруг неподвижной оси. перемещение бq1 = бs1 (бq2 = бs2=0).
Запишем выражение для элементарной работы Бs2/2. Вычисляем возможную работу заданных
силы, приложенной к точке, и выразим сил: Бs1/2. Бs1. Бs2. 3. Для определения
элементарное перемещение через угол Q2 задаем произвольное малое перемещение
поворота тела: z. Работа силы, приложенной бq2 = бs2 (бq1 = бs1=0). Вычисляем
к вращающемуся твердому телу, выражается возможную работу заданных сил: Бs1/2.
через момент силы относительно оси. h. Бs2/2. ? Уравнения равновесия в обобщенных
Работа силы, приложенной к вращающемуся силах – Согласно принципа возможных
твердому телу, для конечного угла перемещений при равновесии системы:
поворота: В частном случае постоянного Зададим возможные перемещения точек
значения момента силы относительно оси системы, вызванные бесконечно малыми
работа равна произведению момента силы на приращениями всех обобщенных координат:
угол поворота: Мощность – величина, Вычислим возможную работу заданных сил:
характеризуемая количеством работы, Перегруппируем суммы произведений:
произведенной в единицу времени: Мощность Приращения обобщенных координат
силы, приложенной к точке: Мощность силы, произвольны и независимы друг от друга.
приложенной к вращающемуся твердому телу: Поэтому в полученном уравнении все
2. коэффициенты при них (обобщенные силы)
5Лекция 9 (продолжение – 9.3). должны быть равны нулю: Qj. - Условия
Кинетическая энергия – характеризует равновесия сил в обобщенных силах. В
способность механического движения рассмотренном выше примере, для равновесия
превращаться в эквивалентное количество системы необходимо, чтобы Q1 и Q2
другого движения: ? Кинетическая энергия равнялись нулю. Видно, что Q1 ? 0 и
системы материальных точек: ? Кинетическая равновесия нет. Равновесие этой системы
энергия материальной точки: ? Кинетическая возможно лишь при наличии силы трения
энергия твердого тела при поступательном определенной величины между грузом 1 и
движении: ? Кинетическая энергия твердого опорной плоскостью. Тогда эта сила войдет
тела при вращательном движении: ? в выражение для Q1 : Теперь уравнения
Кинетическая энергия твердого тела при равновесия для данной системы определяют
плоском движении: Теорема об изменении соотношения между силами и имеют вид: 20.
кинетической энергии материальной точки – 23Лекция 15. ? Уравнение Лагранжа II
Изменение кинетической энергии точки равно рода – Уравнения представляют собой
работе сил, действующих на точку на том же дифференциальные уравнения движения
перемещении: Проинтегрируем полученное системы относительно обобщенных координат
соотношение: Запишем основной закон системы. Воспользуемся общим уравнением
динамики точки: Выразим ускорение через динамики: Где бa – возможная работа всех
скорость и умножим левую и правую части задаваемых сил и сил инерции на любом
соотношения скалярно на дифференциал возможном перемещении. 1. Зададим
радиуса-вектора : После подстановки возможные перемещения точек системы,
пределов получаем: Теорема об изменении вызванные бесконечно малыми приращениями
кинетической энергии системы – Изменение всех обобщенных координат: Вычислим
кинетической энергии системы равно работе возможную работу заданных сил и сил
сил, действующих на систему на инерции: Перегруппируем суммы
соответствующих перемещениях точек произведений: или. Приращения обобщенных
системы: Запишем теорему об изменении координат произвольны и независимы друг от
кинетической энергии для произвольной друга. Поэтому в полученном уравнении все
точки системы, при этом выделим работу коэффициенты при них (обобщенные силы)
внешних и внутренних сил, приложенных к должны быть равны нулю: Qj. Qjф. -
данной точке: Просуммируем левые и правые Уравнения движения системы, эквивалентные
части соотношений: Для неизменяемой общему уравнению динамики. 2. В обобщенные
системы: В левой части получили разность силы инерции QjФ входят массы и ускорения
кинетических энергий системы: 3. точек системы. Попытаемся выразить эти
6Лекция 9 (продолжение – 9.4). Пример силы через скорости точек и в конечном
решения задачи на применение теоремы об итоге через кинетическую энергию: Добавим
изменении кинетической энергии для к этому выражению два одинаковых слагаемых
материальной точки – Снаряд массы m разного знака и следующего вида: Вычислим
выбрасывается пружинным устройством из частную производную кинетической энергии
канала под углом ? к горизонту. Длина системы по обобщенной координате: Таким
нерастянутой пружины жесткостью c равна образом: Подставим в уравнение движения:
длине канала l0. Перед выстрелом пружина Производная по обобщенной скорости имеет
сжимается на величину d. Определить аналогичное выражение: - уравнения
скорость снаряда при вылете из канала, а Лагранжа II рода. Отсюда: Вычислим
также максимальную высоту полета. Дано: ?, производную по времени от частной
c, d, m, l0 Найти: v1, H. Начальная производной кинетической энергии системы
скорость снаряда равна нулю: Работа сил, по обобщенной скорости: Для консервативных
приложенных к объекту, равна: 1. Выбираем (потенциальных) сил: 21.
объект - снаряд. d. 2. Отбрасываем связи – 24Лекция 15 (продолжение – 15.2). Пример
ствол, пружину. Работа нормальной реакции 1. Центробежный регулятор вращается вокруг
равна нулю (направление реакции вертикальной оси с постоянной скоростью.
перпендикулярно перемещению): 3. Заменяем При ? = 0 пружина не деформирована.
связи реакциями – N, R. Работа силы Жесткость пружины c. Длина каждого из
тяжести: 4. Добавляем активные силы – G. стержней l. Плечо подвески a. Вес каждого
Работа упругой реакции пружины из шаров G, вес муфты G1. Определить
(направление реакции совпадает с угловую скорость установившегося вращения
перемещением): ? 5. Записываем теорему об для данного угла ?. ? Кинетический
изменении кинетической энергии для точки: потенциал – функция, определяемая
Подставляем определенные величины в выражением: L = T – П - функция Лагранжа,
теорему: Определяем максимальную высоту где и. Кинетический потенциал L будет
полета (повторяем шаги 1-5): Отсюда также функцией обобщенных координат,
величина скорости вылета снаряда: обобщенных скоростей и времени: Определим
Горизонтальная скорость снаряда постоянная кинетическую энергию через кинетический
(из закона сохранения проекции на ось x потенциал как T = L + П и вычислим
количества движения точки) и равна: необходимые частные производные,
Вертикальная скорость снаряда в наивысшей участвующие в уравнении Лагранжа II рода:
точке траектории равна нулю : Работа силы = 0, т.К не зависит от. Или. Система имеет
тяжести: Подставляем определенные величины 2 степени свободы (поворот вокруг оси и
в теорему: После некоторых сокращений и изменение угла наклона стержней подвески).
преобразований: Отсюда максимальная высота При установившемся вращении рассматриваем
полета: Заметим, что предыдущее выражение только изменение угла наклона ? и выбираем
можно более быстро получить, записывая его в качестве обобщенной координаты q =
теорему об изменении кинетической энергии ?. x. 2. Покажем заданные силы: 3. Упругую
только для вертикальной скорости движения связь (пружину) заменяем реакцией и
точки, поскольку горизонтальные силы включаем ее в число заданных сил: A. 4.
отсутствуют и горизонтальная скорость не Определим проекции возможных перемещений
изменяется.. 4. (вариации координат) точек приложения сил:
7Лекция 10. Пример решения задачи на B. 5. Определим обобщенную силу Q: 6.
применение теоремы об изменении Вычислим кинетическую энергию: y.
кинетической энергии для системы – Составляем уравнение Лагранжа II рода: 22.
Массивный бумажный рулон радиуса R, После подстановки R находим ?:
приведенный в движение толчком, катится 25Лекция 15 (продолжение – 15.3). Пример
без проскальзывания по инерции вверх по 2. Для механической системы трех грузов с
наклонной шероховатой плоскости под углом двумя неподвижными и одним подвижным
? к горизонту с некоторой начальной блоками определить ускорения грузов.
скоростью. Коэффициент трения качения fk. Система имеет 2 степени свободы (см.
Определить начальную скорость рулона, пример вычисления обобщенных сил Лекция
необходимую для того, чтобы он мог 14, стр.19). Уравнения Лагранжа имеют
перевалить через вершину высотой H от следующий вид при выборе обобщенных
начального положения. Дано: ?, fk, H, R координат q1 = s1 и q2 = s2: 2. Обобщенные
Найти: v0. Кинетическая энергия на вершине силы Q1, Q2 были вычислены в примере: 3.
равна нулю: 1. Выбираем объект - рулон. 2. Вычислим кинетическую энергию: 4. Вычислим
Отбрасываем связи – опорную плоскость. частные производные кинетической энергии:
Кинетическая энергия в начальный момент 5. Вычислим производные по времени: 6.
времени равна: 3. Заменяем связи реакциями Подставим полученные выражения и
– N, Fтр, Mк. 4. Добавляем активные силы – обобщенные силы в уравнения Лагранжа: Или:
G. Момент инерции массы сплошного цилиндра Неизвестные (независимые) ускорения: При
равен: ? 5. Записываем теорему об равенстве масс M1=M3=M, как например, в
изменении кинетической энергии для задаче М. 48.26 [2]: 23.
твердого тела: Угловая скорость равна: 26Лекция 15 (продолжение – 15.4,
Подставляем определенные величины в дополнительный материал). ? Вариационный
теорему: Тогда кинетическая энергия в принцип Гамильтона-Остроградского –
начальный момент времени: Работа сил, устанавливает, какому соотношению
приложенных к объекту, равна: Работа удовлетворяет действительное движение
нормальной реакции равна нулю: После механической системы в некотором интервале
некоторых сокращений и преобразований времени в отличие от всех иных возможных
получаем: Работа силы трения скольжения движений (перемещений) – кривых сравнения.
равна нулю (приложена в МЦС): Работа силы Кривая сравнения соответствует движению,
тяжести: Работа момента сопротивления допускаемому существующими связями,
качению: Момент сопротивления качению: бесконечно близкому к действительному.
Заметим, что выражение для начальной Общее уравнение динамики имеет вид: или.
скорости не зависит от массы рулона. Масса Первое слагаемое – работа задаваемых сил
рулона, как мера инертности, будет влиять на возможном перемещении системы (бA). Бt
на величину усилия, которое должно быть – d(…)/dt. Бa. Попробуем представить
приложено к телу, чтобы сообщить ему второе слагаемое в виде совокупности
указанную начальную скорость. Разность членов, содержащих скорости и в конечном
углов поворота рулона: Потенциальное счете кинетическую энергию: Таким образом,
силовое поле Силовое поле – пространство, общее уравнение динамики принимает вид:
в каждой точке которого на материальную Потребуем, чтобы на границах интервала
точку действуют силы, зависящие от времени [t1,t2] действительная траектория
координат точки. Стационарное силовое поле совпадала с кривой сравнения: Тогда
– действующие силы которого не зависят от получаем вариационный принцип
времени, F = F(x, y,z) (поле силы тяжести, Гамильтона-Остроградского в другой форме:
поле силы упругости). Нестационарное Введем подобно импульсу действия силы
силовое поле - действующие силы которого интеграл вида. Данное требование
зависят от времени, F = F(x, y,z, t) эквивалентно отсутствию вариации
(электромагнитное поле). 5. перемещений в начале и в конце интервала
8Лекция 10 (продолжение – 10.2). ? [t1,t2], например, при рассмотрении
Потенциальное силовое поле – в котором свободных колебаний можно задаться формой
существует функция, в каждой точке решения: Только для действительного
пространства удовлетворяющая соотношениям: движения консервативной системы с
Где U = u(x, y, z) – силовая функция. голономными, двухсторонними и идеальными
Силовая функция определяется с точностью связями для данных условий вариация
до постоянной: Основные свойства силовой интеграла S по рассматриваемому интервалу
функции: Элементарная работа силы времени равна нулю или действие по
потенциального поля равна полному Гамильтону имеет стационарное значение. -
дифференциалу силовой функции: Полная действие по Гамильтону. Такая вариация
работа силы потенциального поля не зависит координаты обращается в нуль на концах
от траектории перемещения точки и равна интервала [0,T/2], где T – период
разности значений силовой функции в колебаний (2?/k). Полученное общее
конечном и начальном положениях: уравнение динамики в дифференциальной
Следствие: Работа силы потенциального поля форме справедливо в любой момент времени
при перемещении точки по замкнутой рассматриваемого интервала. Умножим его на
траектории равна нулю: Потенциальная dt и проинтегрируем по всему интервалу: =
энергия системы – функция, характеризующая 0. = 0. Отсюда получаем вариационный
запас энергии (потенциальной энергии) в принцип Гамильтона-Остроградского: Только
данной точке потенциального силового поля. для действительного движения системы с
Потенциальная энергия равна работе сил голономными, двухсторонними и идеальными
потенциального поля, действующих на связями для данных условий интеграл по
материальную точку, при ее перемещении из рассматриваемому интервалу времени суммы
данного положения в начальное (нулевое). вариаций работы заданных сил и
Для системы материальных точек кинетической энергии равен нулю. В случае
потенциальная энергия равна сумме работ потенциальных (консервативных) сил: где, L
сил потенциального поля на всех = T – П - функция Лагранжа. 24.
перемещениях точек системы в начальное (Uv)’=u’v+uv’ или -u’v=-(uv)’+uv’.
положение. Величина потенциальной энергии 27Лекция 15 (продолжение – 15.5,
в начальном положении принимается равной дополнительный материал). ? Вывод
нулю: П(x0,y0,z0) = 0. В произвольной уравнения Лагранжа из вариационного
точке потенциальная энергия является принципа Гамильтона-Остроградского –
функцией координат: П(x,y,z). Тогда по установленный принцип
определению: – Связь потенциальной энергии Гамильтона-Остроградского позволяет
с силовой функцией. С учетом: П(x0,y0,z0) получить уравнение Лагранжа II рода:
= 0 соотношение связи можно записать как Вариационный принцип
разность: Таким образом, изменение Гамильтона-Остроградского: Возможная
потенциальной энергии равно и обратно по работа, выраженная через обобщенные силы:
знаку изменению силовой функции. Тогда: и. Вариация кинетической энергии в каждый
Поскольку потенциальная энергия также момент времени: Подставим вариации работы
определена с точностью до постоянной, то и кинетической энергии в принцип
работа силы потенциального поля на Гамильтона-Остроградского: Или.
перемещении из точки M0 в точку M равна: Проинтегрируем члены с вариацией
6. обобщенной скорости по частям: V. V. dV.
9Лекция 10 (продолжение 10.3). Примеры U. dU. U. = 0. На границах интервала бqj =
потенциальных силовых полей Поле силы 0. Таким образом, принцип
тяжести. Сила тяжести, работа которой не Гамильтона-Остроградского принимает вид:
зависит от траектории, является примером Или. Равенство нулю подынтегральной
силы, имеющей потенциал – геометрическое функции должно выполняться при любых
место точек пространства, в которых значения вариации обобщенной координаты.
потенциальная энергия постоянна. Проекции Следовательно, для каждой из обобщенных
силы тяжести на координатные оси равны: координат коэффициенты при вариациях
Последнее выражение есть дифференциальное должны быть равны нулю: ? Понятие об
уравнение, которое легко решается устойчивости равновесия механической
разделением переменных и интегрированием системы – Состояние покоя (равновесия)
левой и правой частей: Эквипотенциальные механической системы в консервативном
поверхности (П = const) представляют собой (потенциальном) поле может быть
горизонтальные плоскости. Сила тяжести устойчивым, неустойчивым и безразличным:
направлена перпендикулярно к этим Устойчивое – если система, выведенная из
плоскостям в сторону уменьшения значений положения равновесия, возвращается в это
потенциальной энергии. Работа силы тяжести положение и совершает колебания около
на перемещении из точки M1 в точку M2: ? него. Неустойчивое – если система,
Поле центральной силы притяжения. Силы выведенная из положения равновесия при
тяжести могут считаться параллельными и сколь угодно малом отклонении от него, не
постоянными по величине только в небольшой возвращается в положение равновесия и не
области пространства в поле тяготения совершает колебания около него.
Земли и эквипотенциальные поверхности Безразличное - если система, выведенная из
могут считаться плоскими только в пределах положения равновесия, занимает новое
этой области. В случае рассмотрения силы положение равновесия. 25.
притяжения к центру величина силы прямо 28Лекция 15 (продолжение – 15.6,
пропорциональна массе и обратно дополнительный материал). Выберем в
пропорциональна квадрату расстояния между качестве обобщенной координаты угол
материальной точкой и центром тяготения O: отклонения стержня метронома от вертикали,
Проекции силы притяжения на координатные ?: Если GALA>GBLB и ? =0 вторая
оси равны: Элементарная работа силы производная оказывается больше нуля и это
притяжения: O. Дифференциал потенциальной соответствует устойчивому состоянию
энергии: Полученное выражение есть равновесия. Если GALA>GBLB и ? =180о
дифференциальное уравнение, которое легко вторая производная оказывается меньше нуля
решается интегрированием левой и правой и это соответствует неустойчивому
частей: Эквипотенциальные поверхности (П = состоянию равновесия. ? Уравнения
const) поля центрального тяготения равновесия в обобщенных координатах (в
представляют собой сферические поверхности обобщенных силах): По определению
с центром в точке O. Сила притяжения обобщенной силы для консервативной
направлена по нормали к этим поверхностям системы: Отсюда следует, что положению
в сторону уменьшения значений равновесия (покоя) консервативной системы
потенциальной энергии. Закон сохранения соответствуют экстремальные значения
механической энергии – При движении потенциальной энергии системы. При этом по
механической системы в стационарном обращению в нуль частной производной
потенциальном поле полная механическая потенциальной энергии нельзя судить об
энергия системы остается постоянной. устойчивости состояния покоя (равновесия)
Отсюда: По теореме об изменении в этих положения системы. Условие
кинетической энергии системы: 7. Сумму устойчивости состояния покоя
кинетической и потенциальной энергий устанавливается критерием
называют полной механической энергией Лагранжа-Дирихле: Те положения покоя
системы. консервативной системы, в которых
10Лекция 11. Динамика поступательного и потенциальная энергия достигает минимума,
вращательного движений твердого тела – являются ее устойчивыми состояниями покоя:
рассмотренные теоремы динамики системы - Условие минимума потенциальной энергии.
дают дифференциальные уравнения, Если вторая производная потенциальной
описывающие эти два типа движения твердого энергии меньше нуля, то это соответствует
тела. Дифференциальные уравнения случаю неустойчивого положения равновесия.
поступательного движения твердого тела – Если вторая производная потенциальной
из теоремы о движении центра масс системы: энергии равна нулю, то она не может
Дифференциальные уравнения вращательного служить критерием минимума потенциальной
движения твердого тела вокруг неподвижной энергии и для решения вопроса об
оси – из теоремы об изменении момента устойчивости положения равновесия
количества движения системы: Физический необходимо последовательно исследовать
маятник – твердое тело, имеющее знаки производных более высокого порядка:
неподвижную горизонтальную ось вращения, Если первая по порядку, ненулевая
не проходящую через его центр тяжести, и производная потенциальной энергии, имеет
находящийся под действием только силы четный порядок и больше нуля, то это
тяжести. При отклонении физического соответствует минимуму потенциальной
маятника от положения равновесия возникает энергии (положение равновесия устойчивое).
возвращающий момент от силы тяжести, Если первая по порядку, ненулевая
наличие которого является условием производная потенциальной энергии, имеет
колебательного движения (качания) нечетный порядок, то потенциальная энергия
относительно положения равновесия. 1. не имеет экстремума (нет ни минимума, ни
Выбираем объект (маятник): 2. Отбрасываем максимума), соответствует безразличному
связи (цилиндрические шарниры): 3. состоянию равновесия. Пример. Метроном
Заменяем связи реакциями (суммарные представляет собой маятник с двумя
реакции двух шарниров): 4. Запишем грузами: A – неподвижный, весом GA, B –
дифференциальное уравнение вращения оси x перемещаемый, весом GB. Определить условия
: Представим уравнение в виде: - устойчивого и неустойчивого положения
дифференциальное уравнение качаний равновесия. Потенциальная энергия системы
физического маятника. Рассмотрим грузов: Условие равновесия системы грузов:
математический маятник длиной l: Подставим Исследуем устойчивость равновесия системы
момент инерции - дифференциальное грузов при выполнении условий (a) и (b):
уравнение качаний и представим уравнение в При выполнении условия (a) (GALA=GBLB)
виде: математического маятника. Поскольку вторая производная, как и все последующие,
полученные уравнения отличаются лишь обращается в нуль. Это соответствует
коэффициентами, то всегда можно поставить безразличному состоянию равновесия. 26.
в соответствие физическому маятнику 29Лекция 16. Здесь матрица C –
математический маятник, период качаний симметричная матрица жесткости, элементы
которого равен периоду данного физического которой cij – реакция по направлению i-той
маятника. Для этого достаточно приравнять упругой связи от единичного смещения по
коэффициенты: Отсюда можно определить направлению j-той связи. Здесь матрица D –
приведенную длину физического маятника: симметричная матрица податливости,
Последнее неравенство легко доказывается: элементы которой dij – перемещение по
Точка O1 физического маятника, находящаяся направлению i-той упругой связи от
на расстоянии l по прямой OC называется единичной силы, действующей по направлению
центром качаний маятника. В случае малых j-той связи. ? Малые колебания упругих
колебаний sin? ? ?: Период колебаний: систем с конечным числом степеней свободы
Используя формулу для периода колебаний – Рассмотрим упругую, например, двух
можно определять опытным путем моменты опорную балку, распределенную массу
инерции тел сложной формы (положение которой далее будем считать
центра тяжести можно найти методом сосредоточенной в нескольких точках,
подвешивания). 8. расположенных по длине балки, например, с
11Лекция 11 (продолжение – 11.2). некоторым равным шагом: Считаем, что
Динамика плоского движения твердого тела – точечные массы соединяются жесткими
Плоское движение может быть представлено шарнирными стержнями, а упругое (изгибное)
как совокупность поступательного движения взаимодействие отдельных частей исходной
тела со скоростью центра масс и балки представим в виде пружин
вращательного движения вокруг центра масс. определенной жесткости, обеспечивающих
Это представление было использовано ранее возвращение системы в положение равновесия
при вычислении кинетической энергии: Здесь при ее отклонении. m1. m3. m2. Заметим,
найдем дифференциальные уравнения движения что такие связи не являются идеальными
твердого тела. В кинематике уравнения (совершают возможную работу) и должны быть
движения плоской фигуры были получены при заменены соответствующими реакциями: При
использовании в качестве полюса любой этом перемещение одной из точек вызывает
произвольной точки. В динамике в качестве перемещение других соответственно
полюса выбирают центр масс: Первые два некоторой гладкой кривой прогиба балки и
дифференциальные уравнения, описывающие значит определенную величину реакции
поступательное движение тела, найдем, каждой из пружин. Реакции упругих связей
используя теорему о движении центра масс: линейно связаны с перемещениями точек и
Третье дифференциальное уравнение, могут быть вычислены как сумма реакций от
описывающее вращательное движение тела единичных перемещений: В матричном виде:
вокруг центра масс, найдем, используя R1=1. Аналогично можно представить
теорему об изменении кинетического момента обратную зависимость (перемещения точек от
системы: Подобным образом с использованием действия единичной силы): В матричном
различных теорем динамики могут быть виде: q32. Уравнения Лагранжа II рода для
получены соответствующие уравнения при рассматриваемой системы: Обобщенная сила:
рассмотрении динамики других более сложных Приращение работы на вариациях
видов движения твердого тела (сферическое, перемещений: Сумма полных работ всех сил:
свободное, ударное взаимодействие). Возможная работа: Обобщенная сила: 27.
Принцип Даламбера (Германа, Эйлера) – 30Лекция 16 (продолжение – 16.2). Здесь
общий метод, при помощи которого матрица M – симметричная матрица масс,
уравнениям динамики по форме придается вид элементы которой mij – мера (сила)
уравнений статики. Благодаря простоте этот инерции, соответствующая направлению i-той
метод получил широкое применение во многих упругой связи от единичного ускорения по
прикладных дисциплинах. Принцип Даламбера направлению j-той связи: Здесь матрица
для материальной точки. Основное уравнение масс M становится диагональной:
динамики точки: Перенесем произведение Кинетическая энергия. Для механической
массы на ускорение в правую часть: системы материальных точек кинетическая
Получившееся дополнительное слагаемое энергия вычисляется как сумма: m1. m3. m2.
имеет размерность силы и принимается за Здесь скорость k-той точки: В матричном
силу инерции, направленную в сторону виде: Тогда кинетическая энергия: = mij.
противоположную ускорению: С введением Вычислим необходимые производные
силы инерции уравнение динамики точки кинетической энергии, участвующие в
принимает вид уравнения равновесия: Таким уравнении Лагранжа: Подставим найденные
образом, геометрическая сумма приложенных выражения в уравнение Лагранжа: - Общая
к точке сил и силы инерции этой точки форма уравнений малых колебаний. Или. При
равна нулю. Сила инерции условно получении уравнений в общей форме матрица
добавляется к действующим на точку силам, масс M и матрица жесткости C являются
образуя взаимно уравновешенную систему полностью заполненными, например: В
сил. Пример 1: Кабина лифта весом G матричном виде: Уравнение колебаний в
поднимается тросом с ускорением a. матричном виде может быть представлено и
Определить натяжение троса. Определяем так: Сравните с каноническим уравнением
реакцию троса: Определяем натяжение троса: свободных колебаний материальной точки:
1. Выбираем объект (кабина лифта). 2. Специальным выбором обобщенных координат
Отбрасываем связь (трос) и заменяем можно добиться диагональности матрицы
реакцией R. Сравните ход решения и масс: Тогда кинетическая энергия: И
результат с примером 1 в лекции 2 (стр.3). система дифференциальных уравнений
3. Добавляем к действующим силам силу распадается относительно ускорений: -
инерции: 4. Составляем уравнение Прямая форма уравнений малых колебаний.
равновесия: 9. Физический смысл прямой формы – система
12Лекция 11 (продолжение – 11.3). Пример расчленяется на отдельные материальные
2: Груз весом G подвешен на тросе длиной l точки, на каждую из которых действуют
и движется по круговой траектории в упругие силы безмассового каркаса. 28.
горизонтальной плоскости с некоторой 31Лекция 16 (продолжение – 16.3). Здесь
скоростью. Угол отклонения троса от матрица масс M сразу становится
вертикали равен ?. Определить натяжение диагональной (массы расчленены), а матрица
троса и скорость груза. y. 1. Выбираем податливости D по-прежнему остается
объект (груз). 2. Отбрасываем связь (трос) полностью заполненной (упругий безмассовый
и заменяем реакцией R. 3. Добавляем к каркас соединяет точечные массы).
действующим силам силу инерции: x. 4. Физический смысл – безмассовый каркас
Составляем уравнение равновесия: Из нагружен силами инерции со стороны
первого уравнения определяем реакцию материальных точек. Специальные методы и
троса: Определяем натяжение троса: стандартные программы, составленные на их
Подставляем значение реакции троса и силы основе, решают данную задачу и в
инерции во второе уравнение и определяем результате получается набор значений
скорость груза: Сравните ход решения и собственных частот ( ?i ) и
результат с примером 3 в лекции 2 (стр.4). соответствующих им собственных векторов (
? Принцип Даламбера для несвободной ?i ). Последние представляют собой формы
механической системы. Принцип Даламбера собственных колебаний для каждой из
для k-той точки: Здесь Pk – собственных частот: Обратная форма –
равнодействующая задаваемых сил, получается формально из обратных
приложенных к точке, Rk – равнодействующая соотношений обобщенных координат: В
реакций связей, приложенных к точке, Фk = матричном виде: Здесь силу Rj можно
- mak – сила инерции точки. Сложим все n рассматривать как силу инерции,
уравнений: Таким образом, геометрическая приложенной к связи: Тогда: Или. Уравнение
сумма главных векторов задаваемых сил, колебаний в обратной форме в матричном
реакций связи и сил инерции материальных виде может быть представлено и так:
точек равна нулю. Здесь P* – главный Решение уравнений малых колебаний –
вектор задаваемых сил, приложенных к получим формально с использованием
точке, R* – главный вектор реакций связей, матричной записи по аналогии с решением
приложенных к точке, Ф*– главный вектор дифференциального уравнения свободных
сил инерции точек системы. Умножим колебаний материальной точки: Будем искать
уравнение, выражающее принцип Даламбера на решение в виде: - Для любого момента
радиус-вектор, проведенный из центра O к времени. Это уравнение представляет собой
точке: Сложим все n уравнений: Здесь MOP – типичную задачу определения собственных
главный момент задаваемых сил относительно значений (и собственных векторов), которое
центра O, MOR– главный момент реакций для произвольных значений амплитуд
связей относительно центра O, MOФ– главный сводится к вычислению определителя
момент сил инерции точек системы следующего (“векового”) уравнения: Для
относительно центра O. Таким образом, уравнений малых колебаний в прямой форме
геометрическая сумма главных моментов матрица масс диагональная и вековое
задаваемых сил, реакций связи и сил уравнение может быть записано, например,
инерции материальных точек относительно для i = 3 более подробно: Формы
любого центра равна нулю. ? Приведение сил собственных колебаний ортогональны между
инерции точек твердого тела к простейшему собой, что означает равенство нулю их
виду - В динамике за центр приведения скалярных произведений: Замечание. При
принимается обычно центр масс системы. В использовании стандартных программ
результате приведения сил инерции в общем уравнения колебаний приводятся к виду: или
случае получается главный вектор сил Собственные числа и собственные вектора
инерции и главный момент сил инерции вычисляются для матрицы . 29.
относительно центра масс: 10. 32Лекция 16 (продолжение – 16.4). Здесь
13Лекция 11 (продолжение – 11.4). ? матрица Ф – матрица собственных форм
Главный вектор сил инерции твердого тела – колебаний, элементы которой ?ij – элементы
не зависит от выбора центра приведения и собственных векторов (ординаты эпюр
для всех типов движения равен: ? прогибов): ? Главные координаты – С целью
Приведение сил инерции точек твердого тела приведения матрицы масс и матрицы
при поступательном движении – В случае жесткости к диагональному виду можно
поступательного движения ускорения всех использовать собственные формы колебаний в
точек одинаковы и главный момент сил качестве новых обобщенных координат. Такие
инерции относительно центра масс равен координаты называются главными в силу их
нулю: Т.К. Радиус-вектор центра масс ортогональности. В этом случае система
обращается в нуль, если центр приведения дифференциальных уравнений распадается на
совпадает с центром масс. Таким образом, отдельные совершенно независимые
силы инерции приводятся к равнодействующей уравнения. Выразим старые координаты qi
силе, приложенной в центре масс, равной по как линейную комбинацию ортогональных форм
модулю произведению массы тела на модуль с новыми координатами (главными
ускорения его центра масс и направленной координатами): В матричном виде:
противоположно этому ускорению. ? Обобщенные скорости выражаются через
Приведение сил инерции точек твердого тела ортогональные формы и главные координаты
при вращательном движении вокруг аналогично. В матричном виде: Здесь
неподвижной оси – Рассмотрим тело, имеющее матрица масс – обобщенная матрица масс,
плоскость материальной симметрии, которая становится диагональной в силу
перпендикулярной оси вращения. В этом использованного ортогонального
случае ось вращения является главной осью преобразования координат. Тогда
инерции тела в точке O. Ускорения всех кинетическая энергия системы в матричном
точек, лежащих на одной прямой, виде: Точно также потенциальная энергия
параллельной оси вращения геометрически системы: Здесь матрица жесткости –
равны. Поэтому силы инерции симметричных обобщенная матрица жесткости, которая так
точек относительно плоскости материальной же становится диагональной по той же
симметрии также равны и их причине. Уравнения движения в главных
равнодействующая будет лежать в этой координатах имеют вид: Подстановка общего
плоскости (в точке Mк). z. Главный вектор решения приводит к равенству , откуда: ?
сил инерции равен: Ускорение центра масс: Свободные колебания с учетом сопротивления
При выборе центра приведения в точке O среды – Сила вязкого сопротивления
главный вектор сил инерции должен быть движению пропорциональна скорости:
приложен в этой точке параллельно вектору Обобщенная сила с учетом силы
ускорения центра масс в противоположную сопротивления: Уравнения движения в общей
сторону: В произвольной точке Mк ускорение форме с учетом силы сопротивления: В
равно: Так как линии действия центробежных матричном виде: 30. Здесь матрица F –
сил инерции проходят через центр вращения, диагональная матрица демпфирования.
то главный момент сил инерции вычисляется 33Лекция 16 (продолжение – 16.5 ,
как сумма моментов только вращательных сил дополнительный материал). ? Примеры
инерции: Главный момент сил инерции равен вычисления собственных частот для
произведению углового ускорения на момент различных схем дискретизации массы – С
инерции тела относительно оси вращения и целью исследования влияния схемы
направлен в сторону противоположную дискретизации массы рассмотрим для одной и
угловому ускорению: Таким образом, силы той же балки длиной L = 3а, a = 1 м,
инерции приводятся к главному вектору и погонный вес G1 = 21 кгс/м (206 Н/м),
главному моменту сил инерции. Как и в момент инерции поперечного сечения I =
статике, силу и пару можно заменить одной 1840 см4 = 1.84?10-5 м4, модуль упругости
силой, равнодействующей, приложенной в E = 2?106 кгс/см2, несколько схем: 1. С
новом центре приведения. Можно показать, одной точечной массой – балка заменяется
что равнодействующая сил инерции будет одной, расположенной посредине,
приложена в центре качаний. В частном сосредоточенной массой, равной массе
случае, если центр масс лежит на оси балки. m =M. Воспользуемся обратной
вращения, главный вектор сил инерции формой: Матрицы имеют первый порядок и
обращается в нуль и силы инерции представляют собой один всего лишь
приводятся к паре: 11. элемент: 3а. Элемент матрицы податливости
14Лекция 12. Пример: Однородный стержень определим как перемещение от единичной
OA массы M длиной l, шарнирно подвешенный силы с помощью интеграла Мора, используя
в точке O к вращающейся оси со угловой для его вычисления правило Верещагина:
скоростью ?, находится в относительном Произведение элементов матриц жесткости и
равновесии под углом ? к оси вращения. податливости: Точное решение (низшая
Определить силы инерции и угол ?. Силы частота колебаний): Собственная частота
инерции в каждой точке стержня колебаний (рад/c): Обратная величина:
пропорциональны осестремительному Ошибка аппроксимации составляет 29.8%.
ускорению, величина которого в свою Такая большая ошибка связана с тем, что
очередь пропорциональна расстоянию точки вся масса балки сосредотачивается в точке
до оси вращения (треугольная эпюра максимального прогиба. Вполне логично
распределения). Элементарная сила инерции, разбить балку на три части: средняя часть
приложенная к элементарной массе длины ds – половина массы балки прикладывается в
, расположенной на расстоянии s от точки средней точке, две части – две четверти
О, равна: Главный вектор сил инерции массы прикладываются в опорных точках и
находится интегрированием dФ по длине тем самым не участвуют в колебаниях. Таким
стержня: Этот же результат можно гораздо образом, остается одна точечная масса,
проще получить используя ускорение центра равная половине массы балки: Собственные
масс: Главный момент сил инерции нельзя частоты колебаний (рад/c): Собственные
найти по формуле MФ0 = Ix?x, т.к. стержень числа: Обратная матрица: Ошибка
OA находится в относительном равновесии и аппроксимации по нижней частоте 18.4%.
?x =?x = 0. Однако силы инерции от Вновь, если принять массу каждого из двух
вращения стержня относительно оси z точечных масс, равной одной трети от массы
создают момент сил инерции: Таким образом, балки при той же геометрии расположения,
силы инерции приводятся к главному считая, что оставшаяся треть массы
вектору, приложенному в центре приведения приходится на опоры, то ошибка по нижней
O, и главному моменту относительно этого частоте снижается до 0.101%. Это не
центра. Полученную систему силы и пары означает, что такая высокая точность
можно заменить одной силой, получается для высших частот. Для
равнодействующей сил инерции, приложенной получения достаточной точности по этим
в точке, отстоящей от центра приведения по частотам приходится увеличивать степень
перпендикуляру к направлению силы на дискретизации (количество точечных масс).
расстоянии: Таким образом, Ошибка аппроксимации составляет теперь
равнодействующая сил инерции приложена в всего 0.73%. И это очень хороший
центре тяжести эпюры распределения сил результат. 2. С двумя точечными массами –
инерции. Такому расположению соответствует балка заменяется двумя, расположенными по
центр качаний O1. Угол ? можно определить третям длины балки, сосредоточенными
из уравнения относительного равновесия: ? массами, равными половине массы балки.
Приведение сил инерции точек твердого тела Матрицы имеют второй порядок: Матрица
при плоском движении – Рассмотрим тело, податливости: Произведение матриц
совершающее плоское движение, и имеющее жесткости и податливости: 31.
плоскость материальной симметрии 34Лекция 17. ? Элементарная теория
параллельную плоскости движения. Это удара. Удар – явление, при котором за
движение может быть разложено на ничтожно малый промежуток времени скорости
поступательное движение с центром масс точек изменяются на конечную величину.
тела C и вращательное вокруг подвижной оси Ударные силы - силы взаимодействия при
zC, проходящей через центр масс тела соударении тел (удар молота, столкновения
перпендикулярно плоскости движения. В экипажей). Время удара – очень малый
соответствии с этим силы инерции промежуток времени, в течении которого
поступательного движения приводятся к происходит удар (контакт соударяющихся
главному вектору сил инерции, приложенному поверхностей). В силу этого ударные силы
в центре масс, и главному моменту сил могут достигать очень больших значений,
инерции (паре сил, лежащей в плоскости при которых возможно изменение скоростей
движения): 12. точек на конечную величину. Соотношение
15Лекция 12 (продолжение – 12.2). между конечным изменением скорости и
Определение динамических реакций величиной ударной силы определяется
подшипников при вращении твердого тела теоремой об изменении количества движения:
вокруг неподвижной оси – Тело произвольной Здесь. - Основное уравнение удара. -
формы вращается вокруг неподвижной оси z с Импульс ударной силы. Импульс ударной силы
угловой скоростью ? и угловым ускорением является конечной величиной не смотря на
?. 1. Освобождаем объект движения от то, что интегрирование должно выполняться
связей и заменяем их реакциями: 2. практически на бесконечно малом интервале
Показываем внешние задаваемые (активные) времени (времени удара). Точный закон
силы: 3. Добавляем к системе сил силы изменения ударной силы в течении времени
инерции. В каждой точке тела прикладываем удара, как впрочем и само время удара, как
вращательную и центробежную силы инерции: правило, остаются неизвестным и интеграл
4. Полученная система сил удовлетворяет заменяется произведением некоторого
уравнениям равновесия: 5. Силы инерции в среднего значения силы на время удара: В
общем случае приводятся к главному вектору силу того, что ударные силы много больше
и главному моменту сил инерции. Определим по величине других сил (неударных),
величину и направление компонент главного последними пренебрегают. В силу малости
вектора сил инерции: O. Выбираем центр времени удара, возникающие перемещения
приведения в начале координат и точек во время удара (vср??) также очень
прикладываем компоненты главного вектора малы и их можно не учитывать. При
сил инерции в этом центре: 6. Определим рассмотрении механической системы во время
компоненты главного момента сил инерции удара из всех теорем динамики используется
относительно центра приведения как осевые лишь теорема об изменении количества
моменты непосредственным суммированием по движения системы и для вращающейся системы
каждой из компонент сил инерции, ее аналог – теорема об изменении момента
приложенных в точке: 6. Запишем уравнения количества движения системы: В проекции,
равновесия полученной системы сил с учетом например, на ось x: В проекции, например,
динамических добавок от возникающих сил на ось z (относительно оси z): Теорема об
инерции: Из первых пяти полученных изменении кинетической энергии
уравнений можно определить реакции использоваться практически не может,
подшипников. Последнее уравнение является поскольку перемещениями во время удара
дифференциальным уравнением вращения. пренебрегается и работа ударных сил не
Динамические добавки зависят от положения может быть вычислена. ? Удар шара о
центра масс тела и значений центробежных неподвижную поверхность – Рассматривается
моментов инерции этого тела. 13. поступательное движение шара массой m со
16Лекция 12 (продолжение – 12.3). ? скоростью v перпендикулярно неподвижной
Балансировка вращающегося тела – массивной поверхности (преграде) – прямой
Добавление сил инерции к действующим силам удар. Например, шар падает с высоты h0 и
есть результат введения подвижной системы ударяется о горизонтальную поверхность со
координат, связанной с вращающимся телом. скоростью v. Различают две стадии (фазы)
Полученные уравнения представляют собой удара: Переход кинетической энергии
относительные уравнения равновесия, движения в потенциальную энергию
записанные для этой подвижной системы деформации. При этом скорость падает до
координат: Реакции подшипников разложим на нуля, часть энергии расходуется на нагрев
две составляющие, условно статическую и тела. 2. Переход потенциальной энергии в
дополнительную (динамическую), например: кинетическую при восстановлении
Из 4 и 5 уравнений системы определим эти первоначальной формы тела за счет упругих
составляющие: Модуль полной дополнительной сил. Из-за наличия остаточных
динамической реакции равен: Центробежные (пластических) деформаций и нагрева тела
моменты инерции, вычисляемые относительно кинетическая энергия полностью не
подвижных осей, не изменяются при вращении восстанавливается и скорость u отделения
тела. Модуль полной дополнительной реакции шара от поверхности будет меньше, чем
зависит от угловой скорости и ускорения. В скорость до удара (u < v). Отношение
случае установившегося вращения ( ? = 0 ), модуля скорости шара в конце удара к
величина полной дополнительной реакции модулю его скорости в начале удара –
пропорциональна квадрату угловой скорости. коэффициент восстановления при ударе :
В современных машинах угловые скорости по Коэффициент восстановления можно
величине могут быть значительными, так что определить опытным путем: 32.
дополнительные динамические реакции могут 35Лекция 17 (продолжение – 17.2).
во много раз превышать статические Коэффициент восстановления может
реакции. Кроме того, направления этой изменяться от 0 до 1. При k = 0 –
динамической реакции и условно статической абсолютно неупругий удар (шар не
составляющей изменяются по отношению к отскакивает от преграды), при k =1 –
неподвижной системе координат. Это абсолютно упругий удар (нет потери энергии
вызывает знакопеременное нагружение при деформации, нет нагрева). Реальные
опорных узлов, приводящее к их материалы всегда имеют такие потери
усталостному разрушению. Если центр масс энергии и коэффициент восстановления даже
находится на оси вращения, но главная для достаточно упругих материалов лишь
центральная ось инерции тела не совпадает приближается в той или иной степени к
с осью вращения, то условно статические единице. Кроме того коэффициент
реакции при консервативных заданных силах восстановления зависит от скорости, при
не будут изменяться по величине и по которой происходит удар (k = k(v)).
направлению (см. уравнения 1,2), но Поэтому сравнение значений коэффициентов
дополнительные динамические реакции восстановления должно выполняться при
образуют пару сил: Т.К. По определению одной и той же скорости. Например, при
условно статических реакций. Плоскость скорости v = 3 м/с: стекло – k = 0.94;
действия пары и направления дополнительных кость – k = 0.89; сталь – k = 0.56; дерево
реакций вращаются вместе с рассматриваемым – k = 0.50. Можно показать, что
телом со всеми вытекающими отсюда коэффициент восстановления определяет так
последствиями. При конструировании машин и же соотношение между импульсами ударной
механизмов необходимо исключить силы в двух фазах: Основное уравнение
возникновение дополнительных динамических удара для первой фазы: для второй фазы:
реакций. Для этого вращающиеся элементы Отсюда, импульс второй фазы и суммарный
должны иметь нулевые центробежные моменты импульс ударной силы в двух фазах зависят
инерции, т.е. главная центральная ось от коэффициента восстановления: Рассмотрим
должна совпадать с осью вращения. При теперь поступательное движение шара массой
изготовлении таких элементов возможны m со скоростью v , составляющей некоторый
незначительные отклонения в размерах, угол (угол падения) к нормали неподвижной
которые приводят к неуравновешенности массивной поверхности (преграде) – косой
возникающих при вращении сил инерции и удар. Запишем основное уравнение удара:
возникновению дополнительных динамических Спроецируем на нормаль и касательную к
реакций на опорные устройства. Для поверхности: ? ? Коэффициент
предотвращения этого выполняется восстановления: Поскольку коэффициент
балансировка - введение дополнительных восстановления k < 1, то угол отражения
масс, силы инерции которых уменьшают больше угла падения. Угол отражения равен
неуравновешенность сил инерции тела, или, углу падения только в случае абсолютно
напротив, высверливание части материала, упругого удара (k = 1). Модуль скорости
что изменяет распределение сил инерции. после удара: При очень больших углах
14. падения, близких к прямому углу, скорость
17Лекция 13. ? Аналитическая механика – после удара приближается к скорости до
устанавливает общие, единые методы удара (u ? v). Импульс ударной силы: При
изучения движения и равновесия любых самых очень больших углах падения, близких к
сложных материальных систем средствами прямому углу, импульс ударной силы
математического анализа. Для этого приближается к нулю (S ? 0). На этих
вводятся новые понятия и обобщаются свойствах, связанных с большими углами
старые. ? Связи – рассматриваются теперь падения, основывается эффект запуска
как некоторые условия, налагаемые на “блинчиков” метанием плоских камней
систему, которые должны удовлетворяться в (голышей) под острым углом к водной
процессе движения системы. Они содержат поверхности. 33.
соотношения (уравнения или неравенства) 36Лекция 17 (продолжение – 17.3). ?
между координатами, компонентами скоростей Гидравлический удар в трубах – при резком
и ускорений и, возможно, времени. закрывании задвижки в магистральных
Классификация связей: По интегрируемости: трубопроводах может произойти ударное
Голономные (геометрические) – выражаются воздействие на элемент запирающего
конечными уравнениями относительно устройства и саму трубу (резко возрастает
координат или интегрируемыми давление в системе). Рассмотрим трубу
дифференциальными уравнениями относительно длиной L, по которой движется жидкость под
координат: Неголономные (кинематические) - некоторым давлением. Пусть в некоторый
выражаются неинтегрируемыми момент поток резко перекрывается
дифференциальными уравнениями относительно опусканием задвижки. Запишем теорему об
координат, т.е. уравнениями, содержащими изменении количества движения для объема
не только координаты точек системы, но и жидкости, находящейся под давлением в
их производные по времени: трубе: Спроецируем уравнение на ось x,
Неинтегрируемость состоит в том, что их совпадающей с осью трубы: L. Здесь ?p –
нельзя привести к виду уравнений разность давлений, A – площадь поперечного
голономной связи. По зависимости от сечения потока, ?t – время, за которое
времени: Склерономные (стационарные) – не ударная волна пройдет расстояние L.
зависящие от времени: Например, уравнение Характер изменения ударной силы (разности
траектории, полученное для некоторой точки давления) неизвестен. Ударный импульс
шатуна кривошипно-шатунного механизма: заменим произведением средней разности
рассматривается как уравнение cклерономной давлений на площадь поперечного сечения
голономной связи: Если на систему N точек потока и время импульса: Количество
в пространстве наложено m голономных движения жидкости в начальный и конечный
связей, то декартовые координаты всегда моменты: Здесь с – скорость
могут быть выражены конечными распространения ударной волны. Знак минус
соотношениями: Реономные (нестационарные) означает, что RB > RA и его можно далее
– зависящие от времени. Например, опустить. Подставим эти выражения в
кинематическое возбуждение колебаний. По уравнение разности проекций количеств
освобождаемости: Неосвобождающие движения: С использованием коэффициента
(удерживающие или двухсторонние) – объемного веса получаем формулу
описываются уравнением, исключающим Жуковского: Таким образом, повышение
возможность покидания точкой траектории давления не зависит от длины трубы и
или поверхности, описываемой уравнением. пропорционально скорости течения жидкости.
Этому соответствует, например, жесткая Здесь E – модуль упругости воды 2.07?104
связь в виде шарнирного стержня. Число кгс/см2. Скорость распространения ударной
обобщенных координат равно n = 3N – m. волны в жидкости: Поскольку при
Освобождающие (неудерживающие или гидравлическом ударе происходит также
односторонние) – выражаются неравенством, деформация трубы, влияющая на изменение
регламентирующим связь лишь в одном плотности жидкости Жуковским была получена
направлении, например, гибкая нить или формула для скорости распространения волны
гладкая поверхность. ? Обобщенные с учетом этого: Здесь Eм – модуль
координаты – независимые параметры, материала трубы, d – диаметр трубы, б –
однозначно определяющее положение толщина стенки трубы. Следовательно,
механической системы при ее движении. гидравлический удар зависит от скорости и
Обобщенность состоит в том, что они могут будет сильнее в трубах малого диаметра и
иметь различную природу (линейные или трубах, изготовленных из материалов с
угловые перемещения относительно более высоким модулем упругости (например,
некоторого начального положения или модуль упругости стали почти в два раз
какие-либо другие величины). Общее больше модуля упругости меди). 34.
обозначение – qi (i = 1,…,n). ? Число 37Лекция 17 (продолжение – 17.4 ,
степеней свободы – число независимых дополнительный материал). ? Прямой
обобщенных координат, через которые можно центральный удар двух тел – Рассмотрим
выразить декартовые координаты всех точек соударение двух движущихся тел со
системы. Например: Здесь положение любой скоростями v1 и v2 (v1 > v2) массами M1
точки стержня (например, А) однозначно и M2. В первой фазе удара ударная сила
определяется значением всего одной взаимодействия возрастает от нуля до
величины – угла ?, который является максимального значения (деформация
обобщенной координатой (q = ? ). Число нарастает до момента выравнивания
степеней свободы равно n = 1. Уравнение скоростей). Проекция на горизонтальную ось
связи для рассматриваемой точки A: 15. теоремы об изменении количества движения
18Лекция 13 (продолжение – 13.2). ? для всей системы дает: M1. M2. Для
Возможные перемещения – бесконечно малые определения величины механического
перемещения, допускаемые наложенными на взаимодействия (импульса) составим такое
систему связями. С точностью до бесконечно же уравнение для одного тела, например, 1:
малых приращения радиуса-вектора лежат в Замечания: 1. В частном случае равенства
касательной плоскости к поверхности связи масс (M1 = M2) и абсолютно упругого удара
и представляют собой возможные (k =1) скорость тела 1 после удара будет
перемещения. В случае нестационарной равна скорости тела 2 до удара и наоборот.
голономной связи f(x,y,z,t) = 0 возможные Т.е. если тело 2, например, как при игре в
перемещения рассматриваются для положения биллиард, покоилось, то после удара телом
и формы поверхности связи, соответствующих 1 тело 2 получит скорость тела 1, а тело 1
данному моменту времени. Возможные остановится. 2. Проверить полученные
перемещения не зависят от приложенных к соотношения можно подставив их в закон
системе сил. ? Действительные перемещения сохранения количества движения: 3.
– бесконечно малые (элементарные) Отношения модулей относительных скоростей
перемещения, действительно (фактически) до и после удара определяют коэффициент
происходящие за время dt, допускаемые восстановления (или наоборот). Для этого
наложенными на систему связями. подставим вычтем выражение для скорости u1
Действительные перемещения зависят от сил, (в синей рамке) из аналогичного ему
приложенных к системе, от вида связей выражение для скорости u2: Заметим, что
(стационарных, нестационарных, голономных, разность скоростей представляет собой
неголономных) и начальных условий. Таким относительную скорость (скорость
образом, возможные перемещения являются сближения) и поскольку v2 < v1, то
более общим понятием, чем действительные ударный импульс, приложенный к телу 1,
перемещения. Поскольку вектор положения будет направлен в сторону, противоположную
точки системы можно выразить через движению этих тел. Аналогично можно
обобщенные координаты , то возможные определить импульс, приложенный к телу 2,
перемещения выражаются через приращения но быстрее и проще воспользоваться законом
обобщенных координат как полный действия и противодействия: Определим
дифференциал: Или. ? Вычисление возможных модуль ударного импульса, приложенного к
перемещений: Геометрический способ - в каждому телу за весь период упругого удара
силу малости возможных перемещений при (за две фазы): Используем выражение,
повороте твердого тела любая его точка полученное для импульса первой фазы: Во
может рассматриваться движущейся не по второй фазе удара ударная сила
дуге, а по перпендикуляру к радиусу взаимодействия уменьшается от
вращения в сторону угла поворота: Для максимального значения до нуля (упругие
малых углов cos? ? 1, sin? ? ?, тогда: деформации восстанавливают полностью и
Бya. Например, для наклонного стержня: частично форму тел и потенциальная энергия
Бxa. Аналитический способ – вычисляется деформации переходит в кинетическую до
вариация от координат: В отличие от отделения тел друг от друга). Проекция на
геометрического способа знаки возможного горизонтальную ось теоремы об изменении
приращения координат получаются количества движения для одного из тел,
автоматически. При использовании например, 1, дает : С использованием
геометрического способа в дальнейших коэффициента восстановления можно
вычислениях, например, работы, необходимо записать: Поделим это уравнение на
учитывать направление полученного уравнение в красной рамке: Подставим
приращения (перемещения). ? Возможная выражение для скорости u: Заметим, что
работа силы – элементарная работа силы на разность скоростей (v2 - v1) опять
том или ином возможном перемещении: В представляет собой относительную скорость
координатном виде: В естественном виде: (скорость сближения) и поскольку v2 <
16. v1, то скорость тела 1 уменьшается и это
19Лекция 13 (продолжение – 13.3). l. ? уменьшение пропорционально массе тела 2 и
Идеальные связи – связи, при которых сумма относительной скорости. Аналогично можно
элементарных работ сил реакций связи на определить скорость тела 2: Здесь скорость
любом возможном перемещении равна нулю: тела 2 увеличивается и это увеличение
Примеры идеальных связей: абсолютно пропорционально массе тела 1. 35. Добавили
гладкая поверхность (при скольжении), два одинаковых слагаемых с
абсолютно твердая поверхность (при качении противоположными знаками для получения еще
без скольжения). Любую неидеальную связь одной разности скоростей.
можно рассматривать как идеальную, если 38Автор благодарит вас, уважаемые
соответствующие реакции связи (совершающие студенты, за то, что вы воспользовались
работу на возможных перемещения) этим материалом для подготовки к экзаменам
причислить к задаваемым (активным) силам. по рассмотренным разделам теоретической
? Принцип возможных перемещений – Для механики. Если представленный материал
равновесия материальной системы, поможет молодым преподавателям
подчиненной голономным, стационарным, теоретической механики подготовиться к
двухсторонним и идеальным связям, чтению лекций или послужит основой для
необходимо и достаточно, чтобы сумма разработки собственного курса лекций, то
элементарных работ всех активных сил на автор будет только рад. Успеха всем! Об
любом возможном перемещении из авторе. Список трудов. 36.
предполагаемого положения равновесия
Курс лекций по теоретической механике.ppt
http://900igr.net/kartinka/fizika/kurs-lektsij-po-teoreticheskoj-mekhanike-127401.html
cсылка на страницу

Курс лекций по теоретической механике

другие презентации на тему «Курс лекций по теоретической механике»

«Теоретические основы экологии» - Факторы человеческой деятельности. Экологические индикаторы. Экология. Факторы неживой природы. Температура воздуха. Гетеротрофы. Питательные элементы. Понятие экосистемы. Антропогенные экосистемы. Биосфера как экосистема. Участие химических элементов в составе организмов. Закон толерантности. Факторы живой природы.

«Механика движения» - Курс общей физики. Если в (5) взять интеграл не по модулю, а по вектору скорости, то мы получим перемещение тела: (6). Т.1. Механика и молекулярная физика Т.И. Трофимова. Курс физики Механика, колебания и волны в упругих средах. Лекции по физике. Список учебной литературы. Направление скорости всегда будет совпадать с e?: (9).

«Законы механики» - Измерения в физике. Физика и реальность. Эксперименты и опыты, иллюстрирующие основные законы механики. 2. Вес. Качественное измерение – сравнение явлений. Huracan Condor. При накручивании нити на стержень маятник способен совершать колебания. Установка «Физический маятник». Механическое колебательное движение.

«Профессия механик» - Бережливость. Инженер – триботехник более узкая специальность. Рассмотреть практические навыки по будущей специальности. Уверенность в себе. 7. Определить основные практические шаги к успеху. Окончание ВУЗа. Любая работа, которая дает ОЩУТИМЫЙ (РЕАЛЬНЫЙ) РЕЗУЛЬТАТ. Изменение давления с разных сторон паруса из-за разности скоростей ветра.

«Космическая механика» - Солнце. Основные законы. Образом осциллятора является молекула. Длительность полетов – сотни и тысячи лет. Общая задача двух гравитирующих тел. Аксиоматика. Орбита. Хабблиан равен тангенсу угла наклона. Весомость есть вектор, приложенный к самому телу. Для Ньютона сила ассоциировалась с мышцей и тетивой.

«Развитие механики» - Л.И.Мандельштам (1879-1944). Механика в России и СССР. Итоги развития механики в XVIII веке. Третий закон Ньютона. Эволюция механики в России. Развитие методов механики в XVIII в. Возникновение механики. Открытия Остроградского в области механики. Открытия Кирхгофа (1824-1887). Уравнение Лагранжа используется в гидродинамике и общей механике.

Механика

7 презентаций о механике
Урок

Физика

134 темы
Картинки
900igr.net > Презентации по физике > Механика > Курс лекций по теоретической механике