Тригонометрия
<<  История тригонометрии История тригонометрии  >>
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
История тригонометрии
Источники
Источники
Пифагорейская школа
Пифагорейская школа
Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет
Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет
Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет
Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой
Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну
Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну
IV век до н. э. — Платон, Евдокс
IV век до н. э. — Платон, Евдокс
III век до н. э. — Евклид, Архимед, Аполлоний
III век до н. э. — Евклид, Архимед, Аполлоний
Плоская тригонометрия
Плоская тригонометрия
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
В течение всего периода развития античной науки главным полем для
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
Синус угла
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
(теорема Птолемея)
Сферическая тригонометрия
Сферическая тригонометрия
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой
Средневековье
Средневековье
Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в
Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в
Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в
Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для
Исламские страны
Исламские страны
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление
Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью
Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью
Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы,
Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы,
Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы,
Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы,
Европа Региомонтан После того как арабские трактаты были в XII-XIII
Европа Региомонтан После того как арабские трактаты были в XII-XIII
Новое время
Новое время
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
Измерение высоты
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
XVIII век
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью
Реформы Леонарда Эйлера
Реформы Леонарда Эйлера
Реформы Леонарда Эйлера
Реформы Леонарда Эйлера
Реформы Леонарда Эйлера
Реформы Леонарда Эйлера
В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор
В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор
В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор
В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор
Тригонометрия в России
Тригонометрия в России
XIX—XXI века
XIX—XXI века
XIX—XXI века
XIX—XXI века
XIX—XXI века
XIX—XXI века
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание
Картинки из презентации «История тригонометрии» к уроку геометрии на тему «Тригонометрия»

Автор: Admin. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «История тригонометрии.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 2004 КБ.

История тригонометрии

содержание презентации «История тригонометрии.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1История тригонометрии. Презентацию 21степени развития у античных греков
выполнила ученица 9А класса Павлова Алина. геометрии небесной сферы. Некоторые
2История тригонометрии. как науки о исследователи приводят доводы, что
соотношениях между углами и сторонами эклиптическая или экваториальная система
треугольника и других геометрических координат использовалась для записи
фигур, охватывает более двух тысячелетий. результатов астрономических наблюдений по
Большинство таких соотношений нельзя меньшей мере уже во времена Гиппарха.
выразить с помощью обычных алгебраических Возможно, тогда были известны и некоторые
операций, и поэтому понадобилось ввести теоремы сферической тригонометрии, которые
особые тригонометрические функции, могли использоваться для составления
первоначально оформлявшиеся в виде звёздных каталогов и в геодезии. Первые
числовых таблиц. Историки полагают, что известные нам труды по «Сферике» (то есть
тригонометрию создали древние астрономы, сферической геометрии, с ясным
немного позднее её стали использовать в астрономическим уклоном) написали: (IV век
геодезии и архитектуре. Со временем до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид
область применения тригонометрии постоянно («Феномены»). (II век до н. э.) Феодосий и
расширялась, в наши дни она включает Гипсикл. Некоторые разобранные в этих
практически все естественные науки, сочинениях задачи носят тригонометрический
технику и ряд других областей характер, однако из-за слабой
деятельности. Особенно полезными разработанности теории авторы ещё
тригонометрические функции оказались при применяют обходные пути. Например, задачу
изучении колебательных процессов; на них «найти время полного восхода (захода)
основан также гармонический анализ функций зодиакального созвездия» Гипсикл решает
и другие инструменты анализа. Томас Пейн в приближённо с помощью многоугольных чисел.
своей книге «Век Разума» (1794) назвал 22Решающим этапом в развитии теории
тригонометрию «душой науки». стала монография «Сферика» в трёх книгах,
3Ранний период. Зачатки тригонометрии которую написал Менелай Александрийский
можно найти в математических рукописях (около 100 года н. э.). В первой книге он
древнего Египта, Вавилона и древнего изложил теоремы о сферических
Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II треугольниках, аналогичные теоремам
тысячелетие до н. э.) предлагает найти Евклида о плоских треугольниках (см. I
наклон пирамиды, высота которой равна 250 книгу «Начал»). Историки считают, что
локтей, а длина стороны основания — 360 подход Менелая во многом опирается на
локтей. От вавилонской математики ведёт труды Феодосия, которые у Менелая
начало привычное нам измерение углов существенно расширены и приведены в
градусами, минутами и секундами (введение систему. По сообщению Паппа, Менелай
этих единиц в древнегреческую математику первым ввёл понятие сферического
обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. треугольника как фигуры, образованной
э.). Среди известных вавилонянам теорем отрезками больших кругов. Менелай доказал
была, например, такая: вписанный угол, теорему, для которой у Евклида нет
опирающийся на диаметр круга — прямой. плоского аналога: два сферических
Главным достижением этого периода стало треугольника конгруэнтны (совместимы),
соотношение, позже получившее имя теоремы если соответствующие углы равны. Другая
Пифагора; Ван дер Варден считает, что его теорема утверждает, что сумма углов
вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 сферического треугольника всегда больше
годами до н. э. Вполне возможно, что 180°. Вторая книга «Сферики» излагает
китайцы открыли его независимо; неясно, применение сферической геометрии к
знали ли общую формулировку теоремы астрономии. Третья книга содержит важную
древние египтяне, но прямоугольный для практической астрономии теорему
«египетский треугольник» со сторонами 3, 4 Менелая, известную как «правило шести
и 5 был там хорошо известен и широко величин». Две другие открытые Менелаем
использовался. фундаментальные теоремы впоследствии
4Древняя Греция. Понятие получили названия «правило четырёх
древнегреческая математика охватывает величин» и «правило тангенсов». Несколько
достижения грекоязычных математиков, десятилетий спустя Клавдий Птолемей в
живших в период между VI веком до н. э. и своих трудах «География», «Аналемма» и
V веком н. э. Математика как наука «Планисферий» даёт подробное изложение
родилась в Греции. В странах-современниках тригонометрических приложений к
Эллады математика использовалась либо для картографии, астрономии и механике. Среди
обыденных нужд (подсчёты, измерения), прочего, описана стереографическая
либо, наоборот, для магических ритуалов, проекция, исследованы несколько
имевших целью выяснить волю богов практических задач, например: определить
(астрология, нумерология и т. п.). Греки высоту и азимут небесного светила по его
подошли к делу с другой стороны: они склонению и часовому углу. С точки зрения
выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, тригонометрии, это значит, что надо найти
как сформулировал эту же мысль Галилей два сторону сферического треугольника по
тысячелетия спустя: «книга природы другим двум сторонам и противолежащему
написана на языке математики». Греки углу.
проверили справедливость этого тезиса в 23Сферической геометрии Птолемей
тех областях, где сумели: астрономия, посвятил также XIII главу в первой книге
оптика, музыка, геометрия, позже — «Альмагеста»; в отличие от Менелая,
механика. Всюду были отмечены впечатляющие Птолемей не привёл доказательств многих
успехи: математическая модель обладала утверждений, но зато уделил много внимания
неоспоримой предсказательной силой. алгоритмам, пригодным для практических
Одновременно греки создали методологию вычислений в астрономии. Опорной
математики и завершили превращение её из конструкцией, вместо плоских хорд, в
свода полуэвристических алгоритмов в «Альмагесте» служит «четырёхсторонник
целостную систему знаний. Основой этой Менелая». Для «решения» прямоугольного
системы впервые стал дедуктивный метод, сферического треугольника, то есть для
показывающий, как из известных истин вычисления его характеристик, Птолемей
выводить новые, причём логика вывода привёл в словесной записи 4 теоремы; в
гарантирует истинность новых результатов. современных обозначениях они имеют вид
Дедуктивный метод также позволяет выявить (угол прямой): (Частный случай сферической
неочевидные связи между понятиями, теоремы синусов). (Частный случай
научными фактами и областями математики. сферической теоремы косинусов). Поясним,
5Источники. Большая часть античных что в сферической геометрии принято
сочинений по математике не дошла до наших измерять стороны треугольника не линейными
дней и известна только по упоминаниям единицами, а величиной опирающихся на них
позднейших авторов и комментаторов, в центральных углов. В современной
первую очередь Паппа Александрийского (III сферической тригонометрии приводятся ещё
век), Прокла (V век), Симпликия (VI век) и два соотношения: (Тоже вытекает из
др. Среди сохранившихся трудов в первую сферической теоремы косинусов). У Птолемея
очередь следует назвать «Начала» Евклида и они отсутствуют, поскольку их нельзя
отдельные книги Аристотеля, Архимеда, вывести из теоремы Менелая.
Аполлония и Диофанта. 24Средневековье. Индия В IV веке, после
6Начальный период. Вплоть до VI века до гибели античной науки, центр развития
н. э. греческая математика ничем не математики переместился в Индию. Сочинения
выделялась. Были, как обычно, освоены счёт индийских математиков (сиддханты)
и измерение. Греческая нумерация (запись показывают, что их авторы были хорошо
чисел), как позже римская, была знакомы с трудами греческих астрономов и
аддитивной, то есть числовые значения цифр геометров. Чистой геометрией индийцы
складывались. Первый её вариант интересовались мало, но их вклад в
(аттическая, или геродианова) содержали прикладную астрономию и расчётные аспекты
буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и тригонометрии очень значителен. В первую
1000. Соответственно была устроена и очередь индийцы изменили некоторые
счётная доска (абак) с камешками. Кстати, концепции тригонометрии, приблизив их к
термин калькуляция (вычисление) происходит современным. Они провели замену античных
от calculus — камешек. Особый дырявый хорд на синусы (название «синус» восходит
камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с к слову «тетива» на санскрите) в
V века до н. э.) вместо аттической прямоугольном треугольнике. Тем самым в
нумерации была принята алфавитная — первые Индии было положено начало тригонометрии
9 букв греческого алфавита обозначали как общему учению о соотношениях в
цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — треугольнике, хотя, в отличие от греческих
десятки, остальные — сотни. Чтобы не хорд, индийский подход ограничивался
спутать числа и буквы, над числами только функциями острого угла.
рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, 25Как и у греков, тригонометрия индийцев
записывали позиционно, помечая развивалась главным образом в связи с её
дополнительные разряды специальным штрихом астрономическими приложениями, в основном
(внизу слева). Специальные пометки для использовании в теории движения планет
позволяли изображать и числа, большие и для изучения небесной сферы. Это
10000. В VI веке до н. э. начинается свидетельствует о хорошем знании
«греческое чудо»: появляются сразу две сферической тригонометрии «Альмагеста» и
научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, «Аналеммы», однако ни одной их собственной
Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О работы, развивающей теорию этого раздела
достижениях ранних греческих математиков тригонометрии, не обнаружено. Тем не менее
мы знаем в основном по упоминаниям в разработке прикладных алгоритмов решения
позднейших авторов, преимущественно астрономических задач индийцы достигли
комментаторов Евклида, Платона и больших успехов. Например, в
Аристотеля. Фалес, богатый купец, хорошо «Панча-сиддхантике» Варахамихиры (VII в.)
изучил вавилонскую математику и астрономию даётся оригинальное решение
— вероятно, во время торговых поездок. астрономической задачи, описанной у
Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, Птолемея: найти высоту Солнца над
дали первые доказательства нескольких горизонтом, если известны широта
простых геометрических теорем — например, местности, склонение Солнца и его часовой
о том, что вертикальные углы равны. Однако угол. Автор для решения применяет аналог
главная роль в деле создания античной теоремы косинусов, он же впервые привёл
математики принадлежит пифагорейцам. формулу для синуса половинного угла. Синус
7Пифагорейская школа. Пифагор, индийцы определяли несколько иначе, чем в
основатель школы — личность легендарная, и современной математике (см. рис. справа):
достоверность дошедших до нас сведений о под синусом понималась длина отрезка AD,
нём проверить невозможно. Видимо, он, как опирающегося на дугу AC окружности радиуса
и Фалес, много путешествовал и тоже учился R=3438 единиц (как у Гиппарха). Таким
у египетских и вавилонских мудрецов. образом, «индийский синус» угла в 3438 раз
Вернувшись около 530 г. до н. э. в Великую больше современного синуса и имел
Грецию (район южной Италии), он в городе размерность длины. Из этого правила были
Кротон основал нечто вроде тайного исключения; например, Брахмагупта по
духовного ордена. Именно он выдвинул тезис неясным причинам принял радиус равным 3270
«Числа правят миром», и с исключительной единиц. Индийцы первыми ввели в
энергией занимался его обоснованием. В использование косинус. Использовался ещё
начале V в. до н. э., после неудачного так называемый обращённый синус, или
политического выступления, пифагорейцы синус-верзус, равный длине отрезка DC на
были изгнаны из Южной Италии, и союз рисунке справа.
прекратил свое существование, однако 26Кроме того, индийцы знали формулы для
популярность учения от рассеяния только кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте»
возросла. Пифагорейские школы появились в и в трудах Брахмагупты при решении задач
Афинах, на островах и в греческих фактически используется сферический
колониях, а их математические знания, вариант теоремы синусов, однако общая
строго оберегаемые от посторонних, формулировка этой теоремы в Индии так и не
сделались общим достоянием. появилась. Историки нашли в индийских
8Положение попытался спасти талантливый трудах неявное использование тангенсов, но
пифагореец Теэтет. Он (и позже Евдокс) важность этого понятия была осознана
предложили новое понимание числа, которое только позже, математиками исламских
теперь формулировались на геометрическом стран. В трудах другого выдающегося
языке, и проблем соизмеримости не ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся
возникало. Теэтет разработал также полную формулы для синуса и косинуса суммы и
теорию делимости и классификацию разности углов: А также формула для малого
иррациональностей. Повидимому, ему также приращения синуса: Для астрономических
были известны понятие простого числа и расчётов был составлен ряд
основная теорема арифметики. Первой тригонометрических таблиц. Первые
трещиной в пифагорейской модели мира стало (четырёхзначные) таблицы синусов приведены
ими же полученное доказательство в древней «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты
иррациональности , сформулированное («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты
геометрически как несоизмеримость содержат 24 значения синусов и
диагонали квадрата с его стороной (V век синус-верзусов с интервалом 3°45'
до н. э.). Невозможность выразить длину (половина шага таблиц у Гиппарха). Важный
отрезка числом ставила под сомнение вклад в развитие тригонометрии внес
главный принцип пифагорейства. Даже Брахмагупта (VII в.), открывший несколько
Аристотель, не разделявший их взгляды, тригонометрических соотношений, в том
выражал своё изумление по поводу того, что числе и те, которые в современной записи
есть вещи, которые «нельзя измерить самою приняли вид: (при ), соответствующая
малою мерою». современному выражению для дифференциала
9Впоследствии, уже в Новое время, синуса. Опираясь на формулу синуса суммы,
выяснилось, что построение числовой Бхаскара опубликовал более точные и
алгебры на основе геометрии было подробные, чем у Ариабхаты,
стратегической ошибкой пифагорейцев. тригонометрические таблицы с шагом 1°.
Например, с точки зрения геометрии 27Исламские страны. — Точное определение
выражения и даже не имели геометрического времени суток. — Вычисление будущего
истолкования, и поэтому не имели смысла; расположения небесных светил, моментов их
то же относится к отрицательным числам. восхода и заката, затмений Солнца и Луны.
Позднее Декарт поступил наоборот, построив — Нахождение географических координат
геометрию на основе алгебры, и добился текущего места. — Вычисление расстояния
громадного прогресса. между городами с известными
10V век до н. э. — Зенон, Демокрит. географическими координатами. —
Квадратурой круга безуспешно занимался Определение направления на Мекку (кибла)
выдающийся геометр-пифагореец, автор из заданного места. В VIII веке учёные
доевклидовых «Начал», первого свода стран Ближнего и Среднего Востока
геометрических знаний, Гиппократ Хиосский. познакомились с трудами древнегреческих и
Первые две задачи сводятся к кубическим индийских математиков и астрономов.
уравнениям. Архимед позже дал общее Переводом их на арабский язык занимались
решение кубических уравнений с помощью такие крупные учёные VIII века, как
конических сечений. Однако многие Ибрахим Ал-Фазари и Якуб ибн Тарик. Далее
комментаторы продолжали считать подобные они и их последователи стали активно
методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V комментировать и развивать эти теории.
век до н. э.) показал, что для трисекции Опорной конструкцией у исламских учёных,
угла полезна квадратриса (первая как и у индийцев, был синус в
трансцендентная кривая в истории треугольнике, или, что то же самое,
математики); она же, кстати, решает и полухорда в круге. Их астрономические
задачу квадратуры круга (Динострат, IV век трактаты, аналогичные индийским
до н. э.). Помимо перечисленных, греки сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный
активно исследовали задачу деления круга: зидж представлял собой сборник
какие правильные многоугольники можно астрономических и тригонометрических
построить циркулем и линейкой. Без труда таблиц, снабжённый руководством по их
удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, использованию и (не всегда) изложением
15 частей, а также удвоить перечисленные общей теории. Сравнение зиджей периода
значения. Но семиугольник никому не VIII—XIII веков показывает быструю
поддавался. Как оказалось, здесь также эволюцию тригонометрических знаний.
получается кубическое уравнение. Полную Предметом особого внимания ученых стран
теорию опубликовал только Гаусс в XIX ислама была сферическая тригонометрия,
веке. В V веке до н. э. появились новые методы которой использовались для решения
вызовы оптимизму пифагорейцев. Первый из задач астрономии и геодезии. Среди
них — три классические задачи древности: основных решаемых проблем были следующие.
удвоение куба, трисекция угла и квадратура 28Одной из важнейших задач науки того
круга. Греки строго придерживались времени являлось составление
требования: все геометрические построения тригонометрических таблиц с как можно
должны выполняться с помощью циркуля и меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми
линейки, то есть с помощью совершенных составил таблицы синусов с шагом 1°, его
линий — прямых и окружностей. Однако для современник ал-Марвази добавил к ним
перечисленных задач найти решение первые таблицы тангенсов, котангенсов и
каноническими методами не удавалось. косекансов (с тем же шагом). В начале X
Алгебраически это означало, что не всякое века ал-Баттани опубликовал таблицы с
число можно получить с помощью 4 шагом 30', в конце того же столетия Ибн
арифметических операций и извлечения Юнис составил таблицы с шагом 1'. При
квадратного корня. составлении таблиц ключевым было
11Второй удар по пифагореизму нанёс вычисление значения . Искусные методы для
Зенон Элейский, предложив ещё одну тему вычисления этой величины изобрели Ибн
для многовековых размышлений математиков. Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего
Он высказал более 40 парадоксов (апорий), успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной
из которых наиболее знамениты четыре. из своих работ он подсчитал, что (все
Вопреки многократным попыткам их знаки верны). В составленных при его
опровергнуть и даже осмеять, они, тем не участии «Астрономических таблицах»
менее, до сих пор служат предметом Самаркандской обсерватории Улугбека
серьёзного анализа. Здесь затронуты самые таблицы синусов вычислены с шестью
деликатные вопросы оснований математики — шестидесятеричными знаками, с шагом 1'.
конечность и бесконечность, непрерывность Формулы преобразования позволяли заменить
и дискретность. Математика тогда считалась трудоёмкое умножение на более простое
средством познания реальности, и суть сложение или вычитание. Впоследствии в
споров можно было выразить как Европе эти же формулы использовали для
неадекватность непрерывной, бесконечно противоположной цели — замены сложения и
делимой математической модели физически вычитания на умножение, чтобы затем для
дискретной материи[8]. В конце V века до вычисления результата применить
н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель — логарифмические таблицы. Ибн Юнис (X век)
Демокрит. Он знаменит не только созданием открыл преобразование произведения
концепции атомов. Архимед писал, что тригонометрических функций в сумму,
Демокрит нашёл объём пирамиды и конуса, но например:
доказательств своих формул не дал. 29Самаркандской обсерватории Улугбека
Вероятно, Архимед имел в виду таблицы синусов вычислены с шестью
доказательство методом исчерпывания, шестидесятеричными знаками, с шагом 1'.
которого тогда ещё не существовало. Султан Улугбек лично участвовал в этой
12IV век до н. э. — Платон, Евдокс. Уже работе: он написал специальный трактат о
к началу IV века до н. э. греческая вычислении синуса угла в 1°. Первым
математика далеко опередила всех своих специализированным трактатом по
учителей, и её бурное развитие тригонометрии было сочинение
продолжалось. В 389 году до н. э. Платон среднеазиатского учёного ал-Бируни (X—XI
основывает в Афинах свою школу — век) «Книга ключей науки астрономии»
знаменитую Академию. Математиков, (995—996 годы). Целый курс тригонометрии
присоединившихся к Академии, можно содержал главный труд ал-Бируни — «Канон
разделить на две группы: на тех, кто Мас‘уда» (книга III). В дополнение к
получил своё математическое образование таблицам синусов (с шагом 15') Ал-Бируни
вне Академии, и на учеников Академии. К дал таблицы тангенсов (с шагом 1°).
числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Идеологически труды Бируни близки к
Архит Тарентский и позднее Евдокс птолемеевским — на языке хорд он
Книдский; к числу вторых — братья Менехм и формулирует теоремы о синусе удвоенного и
Динострат. Сам Платон конкретных половинного угла, синусе суммы и разности
математических исследований не вёл, но углов. Среди приложений книга Ал-Бируни
опубликовал глубокие рассуждения по показывает построение правильного
философии и методологии математики. А вписанного девятиугольника и приближённое
ученик Платона, Аристотель, оставил вычисление длины его стороны; этот
бесценные для нас записки по истории алгоритм он использует для нахождения . В
математики. Евдокс Книдский первый создал другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил
геоцентрическую модель движения светил с результаты собственных измерений длины
27 сферами. Позже эта конструкция была земного меридиана, из которых следует
развита Аполлонием, Гиппархом и Птолемеем, оценка радиуса Земли, близкая к истинной
которые увеличили число сфер до 34 и ввели (в пересчёте к метрической системе, Бируни
эпициклы. Ему же принадлежат два получил 6340 км).
выдающихся открытия: общая теория 30Таким образом, к концу XIII века были
отношений (геометрическая модель открыты базовые теоремы, составляющие
вещественных чисел) и античный анализ — содержание тригонометрии: — Выражение
метод исчерпывания. любой тригонометрической функции через
13III век до н. э. — Евклид, Архимед, любую другую. — Формулы для синусов и
Аполлоний. После завоеваний Александра косинусов кратных и половинных углов, а
Македонского научным центром древнего мира также для суммы и разности углов. —
становится Александрия Египетская. Теоремы синусов и косинусов. — Решение
Птолемей I основал в ней Мусейон (Дом Муз) плоских и сферических треугольников. Из-за
и пригласил туда виднейших учёных. Это отсутствия алгебраической символики все
была первая в грекоязычном мире перечисленные теоремы выражались в
государственная академия, с богатейшей громоздкой словесной форме, но по существу
библиотекой (ядром которой послужила были полностью эквивалентны современному
библиотека Аристотеля), которая к I веку их пониманию. Фундаментальное изложение
до н. э. насчитывала 70000 томов. Учёные тригонометрии как самостоятельной науки
Александрии объединили вычислительную мощь (как плоской, так и сферической) дал
и древние знания вавилонских и египетских персидский математик и астроном Насир
математиков с научными моделями эллинов. ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о
Значительно продвинулись плоская и полном четырёхстороннике» содержит
сферическая тригонометрия, статика и практические способы решения типичных
гидростатика, оптика, музыка и др. задач, в том числе труднейших, решенных
Эратосфен уточнил длину меридиана и самим ат-Туси — например, построение
изобрёл своё знаменитое «решето». В сторон сферического треугольника по
истории математики известны три великих заданным трём углам. Приведена теорема
геометра древности, и прежде всего — тангенсов для сферических треугольников,
Евклид с его «Началами». Тринадцать книг описано важное понятие полярного
Начал — основа античной математики, итог треугольника (впервые использованное в XI
её 300-летнего развития и база для веке Ибн Ираком и ал-Джайяни). Сочинение
дальнейших исследований. Влияние и ат-Туси стало широко известно в Европе и
авторитет этой книги были огромны в существенно повлияло на развитие
течение двух тысяч лет. Фундамент тригонометрии.
математики, описанный Евклидом, расширил 31Европа Региомонтан После того как
другой великий учёный — Архимед, один из арабские трактаты были в XII-XIII веках
немногих математиков античности, которые переведены на латынь, многие идеи
одинаково охотно занимались и индийских и персидских математиков стали
теоретической, и прикладной наукой. Он, в достоянием европейской науки. По всей
частности, развив метод исчерпывания, видимости, первое знакомство европейцев с
сумел вычислить площади и объёмы тригонометрией состоялось благодаря зиджу
многочисленных фигур и тел, ранее не ал-Хорезми, два перевода которого были
поддававшихся усилиям математиков. выполнены в XII веке. Первоначально
Последним из тройки великих был Аполлоний сведения о тригонометрии (правила её
Пергский, автор глубокого исследования использования, таблицы некоторых
конических сечений. тригонометрических функций) приводились в
14Упадок античной науки. После Аполлония сочинениях по астрономии, однако в
(со II века до н. э.) в античной науке сочинении Фибоначчи «Практика геометрии»,
начался спад. Новых глубоких идей не написанном около 1220 года, тригонометрия
появляется. В 146 году до н. э. Рим излагается как часть геометрии. Первым
захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. — европейским сочинением, целиком
Александрию. Среди немногочисленных посвященным тригонометрии, часто называют
достижений: открытие конхоиды (Никомед); «Четыре трактата о прямых и обращенных
известная формула Герона для площади хордах» английского астронома Ричарда
треугольника (I век н. э.); содержательное Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга
исследование сферической геометрии содержит доказательство ряда
Менелаем Александрийским; завершение тригонометрических тождеств и оригинальный
геоцентрической модели мира Птолемея (II метод вычисления синусов.
век н. э.), для чего потребовалась 32Новое время. XVI—XVII века. Фердинанд
глубокая разработка плоской и сферической Боль, Портрет математика (1658). Диаграмма
тригонометрии. Необходимо отметить на стене показывает тригонометрические
деятельность Паппа Александрийского (III функции, определённые через окружность
век). Только благодаря ему до нас дошли единичного радиуса.
сведения об античных учёных и их трудах. 33Развитие тригонометрии в Новое время
На фоне общего застоя и упадка резко стало чрезвычайно важным не только для
выделяется гигантская фигура Диофанта — астрономии и астрологии, но и для других
последнего из великих античных приложений, в первую очередь артиллерии,
математиков, «отца алгебры». После III оптики и навигации при дальних морских
века н. э. александрийская школа путешествиях. Поэтому после XVI века этой
просуществовала около 100 лет — приход темой занимались многие выдающиеся учёные,
христианства и частые смуты в империи в том числе Николай Коперник, Иоганн
резко снизили интерес к науке. Отдельные Кеплер, Франсуа Виет. Коперник посвятил
учёные труды ещё появляются в Афинах, но в тригонометрии две главы в своём трактате
529 году Юстиниан закрыл Афинскую академию «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре
как рассадник язычества. Часть учёных (1551) появились 15-значные
переехала в Персию или Сирию и продолжала тригонометрические таблицы Ретика, ученика
труды там. От них уцелевшие сокровища Коперника, с шагом 10". Кеплер
античного знания получили учёные стран опубликовал труд «Оптическая часть
ислама (см. Математика исламского астрономии» (1604). Региомонтан в своей
средневековья). книге назвал косинус «синусом дополнения»
15Заключение. Греческая математика (лат. sinus complementi), поскольку ; его
поражает прежде всего красотой и последователи в XVII веке сократили это
богатством содержания. Многие учёные обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер), а
Нового времени отмечали, что мотивы своих позднее — до cos (Уильям Отред). Названия
открытий почерпнули у древних. Зачатки тангенса и секанса предложил в 1583 году
анализа заметны у Архимеда, корни алгебры датский математик Томас Финке (Thomas
— у Диофанта, аналитическая геометрия — у Fincke), а упомянутый выше Эдмунд Гунтер
Аполлония и т. д. Но главное даже не в ввёл названия котангенса и косеканса.
этом. Два достижения греческой математики Термин «тригонометрические функции»
далеко пережили своих творцов. Первое — впервые употребил в своей «Аналитической
греки построили математику как целостную тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель.
науку с собственной методологией, Томас Финке предложил оригинальное решение
основанной на чётко сформулированных геодезической задачи: найти углы
законах логики. Второе — они треугольника, если известна их сумма и
провозгласили, что законы природы отношение противолежащих сторон . Для
постижимы для человеческого разума, и решения Финке использовал формулу
математические модели — ключ к их Региомонтана (см. рисунок):
познанию. В этих двух отношениях античная 34Измерение высоты. Надо оговориться,
математика вполне современна. что сам Виет ещё дал эти формулы частично
16Плоская тригонометрия. Несколько в словесном описании, но при этом ясно
теорем тригонометрического характера указал на связь коэффициентов формул с
содержат «Начала» Евклида (IV век до н. биномиальными коэффициентами и привёл
э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и таблицу их значений для небольших значений
19 устанавливают, что большей стороне . Появление символики позволило записать в
треугольника соответствует больший компактном и общем виде тригонометрические
противолежащий угол — и обратно, большему тождества — например, формулы для кратных
углу соответствует большая сторона. углов: Из других достижений Виета: в
Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство работе «Дополнение к геометрии» Виет
треугольника»: из трёх отрезков можно указал тригонометрический способ решения
составить треугольник тогда и только кубического уравнения для самого трудного
тогда, когда длина каждого меньше суммы в тот период — неприводимого — случая
длин двух других. Теорема 32 доказывает, (стандартная формула требует умения
что сумма углов треугольника равна 180°. работать с корнями из комплексных чисел).
Во второй книге «Начал» теорема 12 Виет дал первое в истории бесконечное
представляет собой словесный аналог произведение: Кроме артиллерии и
теоремы косинусов: В тупоугольных навигации, тригонометрия быстро
треугольниках квадрат на стороне, развивалась и в таких классических
стягивающей тупой угол, больше [суммы] областях её применения, как геодезия.
квадратов на сторонах, содержащих тупой Широкое применение тангенсов объяснялось,
угол, на дважды взятый прямоугольник, в частности, простотой измерения с их
заключённый между одной из сторон при помощью высоты горы или здания (см.
тупом угле, на которую падает рисунок):
перпендикуляр, и отсекаемым этим 35XVIII век. — Начало использования
перпендикуляром снаружи отрезком при тупом (Ньютон и Грегори) полярной системы
угле. Следующая за ней теорема 13 — координат, связанной с декартовой
вариант теоремы косинусов для тригонометрическими соотношениями; в общее
остроугольных треугольников. Аналога употребление эти координаты ввёл Эйлер
теоремы синусов у греков не было, это (1748). Важными открытиями в начале XVIII
важнейшее открытие было сделано гораздо века стали: — Открытие и широкое
позднее. распространение радианной меры углов
17Дальнейшее развитие тригонометрии (Роджер Котс, 1714). Сам термин «радиан»
связано с именем астронома Аристарха появился позднее, его в 1873 году
Самосского (III век до н. э.). В его предложил английский инженер Джеймс
трактате «О величинах и расстояниях Солнца Томсон. — Тригонометрическое представление
и Луны» ставилась задача об определении комплексного числа и формула Муавра. После
расстояний до небесных тел; эта задача открытия математического анализа сначала
требовала вычисления отношения сторон Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон
прямоугольного треугольника при известном получили разложение тригонометрических
значении одного из углов. Аристарх функций (а также обратных к ним) в
рассматривал прямоугольный треугольник, бесконечные ряды. Ньютон посвятил
образованный Солнцем, Луной и Землёй во проблемам геометрии и тригонометрии 10
время квадратуры. Ему требовалось задач в своей книге «Универсальная
вычислить величину гипотенузы (расстояние арифметика». Например, в задаче X
от Земли до Солнца) через катет требуется «решить треугольник», если
(расстояние от Земли до Луны) при известны одна его сторона, противолежащий
известном значении прилежащего угла (87°), угол и сумма двух других сторон.
что эквивалентно вычислению значения .По Предложенный Ньютоном метод решения
оценке Аристарха, эта величина лежит в представляет собой одну из формул
промежутке от 1/20 до 1/18, то есть Мольвейде. Лейбниц строго доказал, что не
расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем может быть, вообще говоря, алгебраически
до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 выражен через , то есть, в современной
раз дальше, чем Луна, ошибка возникла терминологии, тригонометрические функции
из-за неточности в измерении угла. Попутно трансцендентны.
Аристарх доказал неравенство, которое в 36Манера обозначать обратные
современных терминах передаётся формулой: тригонометрические функции с помощью
18В течение всего периода развития приставки arc (от лат. arcus, дуга)
античной науки главным полем для появилась у австрийского математика Карла
приложения результатов плоской Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и
тригонометрии у греков оставалась закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в
астрономия. Помимо задачи о вычислении виду, что, например, обычный синус
расстояний, привлечения тригонометрии позволяет по дуге окружности найти
требовало определение параметров системы стягивающую её хорду, а обратная функция
эпициклов и/или эксцентров, представляющих решает противоположную задачу. Английская
движение светила в пространстве. Согласно и немецкая математические школы до конца
широко распространённому мнению, эта XIX века предлагали иные обозначения: , но
проблема впервые была сформулирована и они не прижились.
решена Гиппархом (середина II века до н. 37Реформы Леонарда Эйлера. Современный
э.) при определении элементов орбит Солнца вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В
и Луны; возможно, аналогичными задачами трактате «Введение в анализ бесконечных»
занимались и астрономы более раннего (1748) Эйлер дал определение
времени. Ему же часто приписывают тригонометрических функций, эквивалентное
авторство первых тригонометрических современному, и соответственно определил
таблиц, не дошедших до нас[14]. Впрочем, обратные функции. Если его предшественники
согласно некоторым реконструкциям, первые понимали синус и прочие понятия
тригонометрические таблицы были составлены геометрически, то есть как линии в круге
ещё в III веке до н. э., возможно, или треугольнике, то после работ Эйлера ,
Аполлонием Пергским. Это же неравенство , и т. д. стали рассматриваться как
содержится в «Исчислении песчинок» безразмерные аналитические функции
Архимеда[11]. В трудах Архимеда (III век действительного и комплексного
до н. э.) имеется важная теорема деления переменного. Для комплексного случая он
хорд, по существу эквивалентная формуле установил связь тригонометрических функций
синуса половинного угла: с показательной функцией (формула Эйлера).
19Синус угла ?/2 равен полухорде Подход Эйлера с этих пор стал
единичной окружности Вместо современной общепризнанным и вошёл в учебники. Эйлер
функции синуса Гиппарх и другие рассматривал как допустимые отрицательные
древнегреческие математики обычно углы и углы, большие 360°, что позволило
рассматривали зависимость длины хорды определить тригонометрические функции на
окружности от заданного центрального угла всей вещественной числовой прямой, а затем
(или, что эквивалентно, от заданной дуги продолжить их на комплексную плоскость.
окружности, выраженной в угловой мере). В Когда встал вопрос о распространении
современной терминологии, длина хорды, тригонометрических функций на тупые углы,
стягивающей дугу ? единичной окружности, знаки этих функций до Эйлера нередко
равна удвоенному синусу центрального угла выбирались ошибочно; многие математики
?/2. Это соответствие справедливо для считали, например, косинус и тангенс
любых углов: 0° < ? < 360°. На языке тупого угла положительными. Эйлер
хорд были сформулированы первые открытые определил эти знаки для углов в разных
греками тригонометрические соотношения. координатных квадрантах, исходя из формул
Например, современной формуле: Где. — приведения.
Хорда для центрального угла. — Диаметр 38В середине XVIII века разгорелся
круга. При этом радиус круга не считался важнейший по своим последствиям «спор о
равным единице, как сейчас. Например, у струне». Эйлер в полемике с Даламбером
Гиппарха радиус круга предположительно предложил более общее определение функции,
считался равным R=3438 единиц — при таком чем принималось ранее; в частности,
определении длина дуги окружности была функция может быть задана
равна угловой мере этой дуги, Выраженной в тригонометрическим рядом. В своих трудах
минутах: , и это облегчало вычисления. У Эйлер использовал несколько представлений
Птолемея R=60 единиц. Согласно современным алгебраических функций в виде ряда из
реконструкциям, величины хорд у Гиппарха кратных аргументов тригонометрических
были протабулированы с интервалом 7°30'. функций, например: Общей теорией
Возможно, в основе вычисления таблицы тригонометрических рядов Эйлер не
Гиппарха лежал метод, разработанный занимался и сходимость полученных рядов не
Архимедом и восходящий ещё к Аристарху. исследовал, но получил несколько важных
Соответствовала у греков теорема: результатов. В частности, он вывел
20(теорема Птолемея). Позднее астроном разложения целых степеней синуса и
II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» косинуса.
дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать 39Тригонометрия в России. В России
книг «Альмагеста» — самая значимая первые сведения о тригонометрии были
тригонометрическая работа всей античности. опубликованы в сборнике «Таблицы
В частности, «Альмагест» содержит обширные логарифмов, синусов и тангенсов к изучению
пятизначные таблицы хорд для острых и мудролюбивых тщателей», опубликованном при
тупых углов, с шагом 30 угловых минут. Для участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В
вычислении хорд Птолемей использовал (в 1714 году появилось содержательное
главе X) теорему Птолемея (известную, руководство «Геометрия практика», первый
впрочем, ещё Архимеду), которая русский учебник по тригонометрии,
утверждает: сумма произведений длин ориентированный на прикладные задачи
противоположных сторон выпуклого артиллерии, навигации и геодезии.
вписанного в круг четырёхугольника равна Завершением периода освоения
произведению длин его диагоналей. Из этой тригонометрических знаний в России можно
теоремы нетрудно вывести две формулы для считать фундаментальный учебник академика
синуса и косинуса суммы углов и ещё две М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и
для синуса и косинуса разности углов, сферическая тригонометрия с
однако общая формулировка этих теорем у алгебраическими доказательствами» (1789).
греков отсутствует. Основным достижением В конце XVIII века в Петербурге возникла
античной тригонометрической теории стало авторитетная тригонометрическая школа (А.
решение в общем виде задачи «решения И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт),
треугольников», то есть нахождения которая внесла большой вклад в плоскую и
неизвестных элементов треугольника, исходя сферическую тригонометрию.
из трёх заданных его элементов (из которых 40XIX—XXI века. Фурье привёл
хотя бы один является стороной). интегральные формулы расчёта
Впоследствии эта задача и её обобщения коэффициентов: В начале XIX века Н. И.
стали основной задачей тригонометрии: Лобачевский добавил к плоской и
заданы несколько (обычно три) известных сферической тригонометрии третий раздел —
элементов треугольника, требуется найти гиперболическую (для геометрии
остальные связанные с ним величины. Лобачевского, первую работу в этой области
Первоначально в число элементов опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году).
треугольника (известных или неизвестных) Лобачевский показал, что формулы
включали стороны и углы при вершинах, сферической тригонометрии переходят в
позже к ним добавились медианы, высоты, формулы гиперболической тригонометрии при
биссектрисы, радиус вписанной или замене длин сторон треугольника a, b, c на
описанной окружности, положение центра мнимые величины: ai, bi, ci — или, что
тяжести и т. д. Прикладные эквивалентно, при замене
тригонометрические задачи отличаются тригонометрических функций на
большим разнообразием — например, могут соответствующие гиперболические. В XIX—XX
быть заданы измеримые на практике веках бурное развитие получили теория
результаты действий над перечисленными тригонометрических рядов и связанные с ней
величинами (к примеру, сумма углов или области математики: гармонический анализ,
отношение длин сторон). теория случайных процессов, кодирование
21Сферическая тригонометрия. Параллельно аудио и видеоинформации и другие. Ещё
с развитием тригонометрии плоскости греки, Даниил Бернулли высказал убеждение, что
под влиянием астрономии, далеко продвинули любую (непрерывную) функцию на заданном
сферическую тригонометрию. В «Началах» промежутке можно представить
Евклида на эту тему имеется только теорема тригонометрическим рядом. Дискуссии
об отношении объёмов шаров разного продолжались до 1807 года, когда Фурье
диаметра, но потребности астрономии и опубликовал теорию представления
картографии вызвали быстрое развитие произвольных кусочно-аналитических функций
сферической тригонометрии и смежных с ней тригонометрическими рядами (окончательный
областей — системы небесных координат, вариант содержится в его «Аналитической
теории картографических проекций, теории тепла», 1822). Для разложения
технологии астрономических приборов (в функции в ряд:
частности, была изобретена астролябия). 41Спасибо за внимание!
Историки не пришли к консенсусу насчёт
История тригонометрии.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/istorija-trigonometrii-103598.html
cсылка на страницу

История тригонометрии

другие презентации на тему «История тригонометрии»

«Тригонометрия 10 класс» - Математический диктант. «Преобразование тригонометрических выражений». Чтобы легче всем жилось, Чтоб решалось, чтоб моглось. Ответы. 1 вариант (2 вариант) Вычислите: Работа с тестами. Историческая справка. Устная работа: Работа у доски. Доказательство тождеств.

«Тригонометрические функции» - Тангенсом угла х называется отношение синуса угла х к косинусу угла х. Определение тангенса. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические функции. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов. Тригонометрические функции — математические функции от угла. Определение синуса.

«Тригонометрия» - Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Площадь треугольника: Секанс — величина, обратная косинусу. Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу). Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла.

«Единичная окружность» - Табличные значения для синуса. Значения углов в радианах. Табличные значения для тангенса. Знаки функций tg. Радианная мера угла. Знаки функции sin. Построение единичной окружности. Табличные значения для котангенса. Определение синуса. Это интересно. Значения углов на единичной окружности. Методический материал.

«Тригонометрические функции тупого угла» - Расположите в порядке возрастания котангенсы углов. Даны два смежных угла. Расположите в порядке возрастания тангенсы углов. Упражнение. Тангенс. Найдите синус. Синус. Найдите sin A. Косинус. Найдите tg A. Тригонометрические функции тупого угла. Котангенс.

«Тригонометрические неравенства» - Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше 1/2 левее прямой x=1/2. Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a. Если t является решением неравенства, то ордината точки T - луч AT (см. рисунок ниже). Решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2?] длиной 2?, таковы: ?/3<t<5?/3.

Тригонометрия

21 презентация о тригонометрии
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки