Углы в пространстве
<<  Двугранный угол Стереометрическая конфигурация (С?): угол между прямой и плоскостью  >>
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Идея решения
Идея решения
Идея решения
Идея решения
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные
Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-
Пример 2
Пример 2
Пример 2
Пример 2
Пример 2
Пример 2
Рассмотрим пирамиду АBCO
Рассмотрим пирамиду АBCO
Рассмотрим пирамиду АBCO
Рассмотрим пирамиду АBCO
Картинки из презентации «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах» к уроку геометрии на тему «Углы в пространстве»

Автор: Марина. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 323 КБ.

Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах

содержание презентации «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Решение проблемы А. К. Циха о сумме 12Перепишем еще более удобно: Искомая
внутренних телесных углов при вершинах сумма: A1A2A3A4+. A2A1A4A3+. A3A1A2A4+.
выпуклого многогранника в трёхмерном A4A1A3A2=. (1234)+. (2143)+. (3124)+.
пространстве с применением в вариационных (4132)=.
задачах. Автор: Смирнов Михаил 11 класс 13Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4
Научный руководитель: Секацкая Е. Г., , а затем вычислим единичные векторы
учитель математики и информатики шк.№21 внешних перпендикуляров к ее граням: Ai=.
Научный консультант: Степаненко В. А., 14Пример 2: (усложненный пример 1)
доцент кафедры высшей математики СФУ. Рассмотрим октаэдр с центром в начале
2Вычислить сумму внутренних (телесных) координат, тогда.
углов при вершинах произвольной (1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1)
треугольной пирамиды («малая проблема координаты внешних перпендикуляров его
Циха»), а далее – и произвольного граней. Тогда. Нормируем эти векторы:
выпуклого многогранника в трехмерном Вычислим сумму арккосинусов
пространстве («большая проблема Циха»). В соответствующих попарных скалярных
данной работе мы предлагаем вам решение произведений: -величина одного телесного
этих проблем. Цель научной работы: угла. Таким образом, искомая сумма всех
вычислить сумму телесных углов при телесных углов равна. =. Ai.
вершинах выпуклого многогранника в 15А последнее эквивалентно. Заметим, что
трёхмерном пространстве. Применить октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из
полученные формулы при решении некой примера 1, тогда должно выполняться
экстремальной задачи. Определение : Мерой тождество: Которое сводится к более
многогранного угла называется площадь, простому. .
ограниченная сферическим многоугольником, 16Решение «Большой проблемы Циха» Сумма
полученным пересечением граней телесных углов n – гранника. С учетом
многогранного угла сферой с радиусом, соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г-
равным единице и с центром – в вершине количество граней, В-вершин, Р-ребер
многогранного угла. Определение : Телесный многогранника, для задания выпуклого
угол- часть пространства, ограниченная n-гранника мало задать число граней, нужно
некоторой конической поверхностью, в указать еще и число вершин. Например, у
частности трехгранный и многогранный углы куба и фигуры, составленной из двух
ограничены соответственно тремя и многими треугольных пирамид число граней одинаково
плоскими гранями, сходящимися в вершине (6), а числа вершин различны ( 8 и 5,
телесного угла. Определение : Стерадиан – соответственно). Пусть в трехмерном
единица измерения телесного угла.Стерадиан пространстве задан выпуклый n-гранник с
- телесный угол, вырезающий на сфере, m-вершинами, тогда сумма всех его телесных
описанной вокруг вершины угла, углов при m вершинах представляется
поверхность, площадь которой равна следующей формулой: Где n- число граней ,
квадрату радиуса сферы. Полная сфера а индекс j пробегает количество всех
образует телесный угол, равный 4. ребер.
3Идея решения. Отличие от подхода Циха. 17Цихом поставлена еще задача на
Цих советовал решать задачу геометрически, экстремум: среди всех выпуклых n-
рассматривая разнотипные фигуры на сфере гранников (m- вершинников) найти те, сумма
(три остроугольных и три- трапециоподобных телесных углов которых минимальна и
фигуры), не рассматривая диаметрально максимальна. Пример 1: Дана прямоугольная
противоположную ситуацию. Мы же пирамида с вершинами на осях координат.
рассматриваем три однотипные тупоугольные Три вершины фиксированы: (1;0;0), (0;1;0)
фигуры- внешние углы к сферическому и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ
треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием и имеет координаты (0;0;h). A1 равен. A2
диаметрально противоположную ситуацию(на и. A3 равны, поэтому достаточно найти
другом полюсе). только угол. A2и угол. A4. Вычислим их.
4Лемма 1: SABCDA=. Лемма о площади A2=. A4=. Находим искомую сумму углов (
“ломтика”. Следствие. 2? - 4? Угол ?COD как функцию параметра h): Выпишем внешние
есть величина двугранного угла «ломтика» единичные нормали для всех трех
сферы ACBDA, и он равен углу между координатных граней :
касательными прямыми к “меридианам” ABC и (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной
ADB в их общей точке A. Он соответствует грани: Заметим, кроме того, что угол. (
сферическому углу?CAD, обозначает ?sCAD Очевидно), углы.
или ?sA. Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- 18Его корни есть h=1 и h=-1, второй
внешнего сферического угла треугольника на корень не имеет геометрического смысла
сфере. Доказательство: Пусть ?COD=? рад, (0<h<+?). При h (0;1) функция
тогда из простой пропорции. Получаем монотонно убывает, а при h (1;+?) функция
SABCDA=. Что и требовалось доказать. монотонно возрастает, имея в точке h=1
Следствие: В случае единичной сферы (R=1) минимум, равный. При h , когда пирамида
: SABCDA =2 ? ? - ? вытягивается в вертикальную бесконечную
5Лемма 2: Величина трехгранного треугольную призму, сумма углов также
телесного угла. OABC вычисляется по равна. Используем формулу тогда
формуле. OABC= S. = 2?-(?+?+?). - Внешние производная всей суммы равна: Так как
сферические углы к внешнему сферическому знаменатель строго положителен, знак
треугольнику ABC. Напомним, что площадь. производной определяет только числитель.
Измеряет в стерадианах величину искомого Решим уравнение: И, наконец, рассмотрим
трехгранного угла. Доказательство: два предельных случая, когда h и h . При h
Обозначим “ломтики”. Как отмечалось выше, , когда пирамида сплющивается к своему
вся сфера состоит из трех ломтиков. И двух основанию- треугольнику сумма углов равна:
равных сферических треугольников. Поэтому. Заметим, что при h =1 ответ, как и
(2?+2?+2?)+2S. =4?. Поделим на2 . ?+?+?+S. ожидалось, совпадает с полученным(*). . .
=2?, где S. -Мера трехгранного угла, .
тогда. OABC=S. =2?-(?+?+?)=2?-?-?-? Что и 19Пример 2. Рассмотрим правильную
требовалось доказать. пирамиду с вершинами в точках A, B, C, D.
6Лемма о вычислении четырехгранного Тогда A= B= C. Достаточно вычислить A и
телесного угла. Лемма 3: Доказательство: затем утроить его. D вычисляется
(2?1+2?2+2?3+2?4)+2S4-ка= 4?. Поделим обе самостоятельно. Выпишем внешние единичные
части равенства на 2. нормали. -Основание. Не имеет
?1+?2+?3+?4+S4-ка=2?, где S4-ка-мера геометрического смысла. Корень. При.
четырехгранного угла, то. OABCD = S4-ка Функция убывает. И возрастает при. Знак
=2?-(?1+?2+?3+?4)=2?-?1-?2-?3-?4, где ?n – определяется величиной. , , И. Тогда:
внешние углы. Итак, OABCD = s4-ка Решим уравнение:
=2?-(?1+?2+?3+?4). OABCD = s4-ка 20Рассмотрим пирамиду АBCO.
=2?-(?1+?2+?3+?4). (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0), Будем
7Гипотеза – индуктивное предположение варьировать три вершины. Вычислим углы:
для n- гранного угла. Лемма 4: Данная сумма углов инвариантна
OA1A2...An=. =2?-(?+?+?). OABC= S. OABCD = относительно круговой подстановке
s4-ка =2?-(?1+?2+?3+?4). OABCD= переменных a, b, c: Найдем производные :
Sn=2?-(?1+?2+…+?n), Обозначим тогда:
8Решение «Малой проблемы Циха». 21Данная система инвариантна
Выражение телесных углов через внешние относительно круговой подстановки
перпендикуляры граней. n-гранный переменных. Следовательно, она имеет
(телесный) угол измеряется с помощью решение с одинаковыми координатами, т.е.
двугранных, образованных его гранями, а A=B=C=t, тогда для переменной t получается
измерение двугранных углов мы сводим к одно тождество, справедливое при всех
углам между внешними перпендикулярами к значениях t: Общее решение нашей задачи
его граням. Посмотрим вдоль (навстречу) будет (t >0) и, окончательно, получаем
оси OA , мы увидим ситуацию, изображенную a=b=c=. Вывод: сумма внутренних углов
на рисунке. Очевидно, что двугранный. пирамиды с тремя вершинами на осях
Равен углу между векторами. - Внешними координат и четвертой- в начале координат,
перпендикулярами к соответственным граням минимальна только тогда, когда вершины,
, И. Как углы с соответственно лежащие на осях, равноудалены от начала
перпендикулярными сторонами ( и оба координат. Тогда: . .
одновременно тупые или острые). 22Сравнительный анализ. Аналогично и для
9A=A1,B=A3,C=A2, По лучу OA1 n-угольника: Внешние углы сферического
пересекается. ,(Т.Е. Рассмотрим в точке A1 треугольника. , Где. , Где. Внутренние
их внешние перпендикуляры. Аналогично, в углы сферического треугольника.
точке A2(=С): Косинус угла между ними 23Заключение. В ходе работы мы
определяется по формуле. И в точке A3(=B) рассматриваем вспомогательные задачи,
: А сам внешний угол при вершине A1: ). . формулируем и доказываем ряд лемм о
. вычислении телесных углов; получаем новые
10Аналогично, когда угол n-гранный, формулы, выражающие телесные углы через
получаем: OA1A2A3=. OA1A2A3=. OA1A2A3=. внешние перпендикуляры граней; вычисляем
OA1A2...An=. Тогда. Воспользуемся сумму телесных углов при вершинах
симметрией скалярного умножения. И треугольной пирамиды, а также получаем
перепишем более удобно полученную формулу: формулу для вычисления суммы всех телесных
Последнюю запись формализуем: . , Где. углов выпуклого n-гранника с m-вершинами.
Обозначим для удобства векторы. Вводим ряд новых обозначений. Показываем
11Сумма телесных углов при вершинах применение нашего подхода к решению
треугольной пирамиды. A1A2A3A4. A2A1A4A3. вариационных задач.
A3A1A2A4. A4A1A3A2=.
Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/reshenie-problemy-a.-k.-tsikha-o-summe-vnutrennikh-telesnykh-uglov-pri-vershinakh-vypuklogo-mnogogrannika-v-trjokhmernom-prostranstve-s-primeneniem-v-variatsionnykh-zadachakh-173977.html
cсылка на страницу

Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах

другие презентации на тему «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах»

«Сумма углов треугольника» - 2) Определите, какие стороны у четырехугольников параллельны. « В споре рождается истина ». Тема: «Сумма углов треугольника». Открытие свойств углов треугольника. Гипотеза о сумме углов треугольника. Пинский. Историческая справка. 3) Найдите Все углы, если аllс. Только в 18 веке стали использовать символ ||.

«Построение многогранников» - Дюрер. У додекаэдра: 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Построение икосаэдра, вписанного в куб. Построение додекаэдра, описанного около куба. Октаэдр. Построение правильного тетраэдра вписанного в куб. Настоящее имя Платона было Аристокл. Закон взаимности. Определение правильного многоугольника. Меланхолия.

«Квадрат суммы и квадрат разности» - Урок для учителей на курсах повышения квалификации. Учиться можно только весело. Закрепление: VII. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений. Рассмотрим две разности 16 – 36 и 25 – 45 Добавим , получим 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 • 4 • + ( )? = 5? - 2 • 5 • + ( )?, (4 – )? = (5 – )?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Найди ошибку.

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1. Решение. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC.

«Сумма бесконечной геометрической прогрессии» - Так как знаменатель прогрессии. 4. Найдите член геометрической прогрессии , если: Прогрессии, то формула доказана. Мы назвали суммой геометрической. Практические задания. 1. Найдите сумму геометрической прогрессии: Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию:

Углы в пространстве

9 презентаций об углах в пространстве
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по геометрии > Углы в пространстве > Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах