Решение задач на построение сечений в многогранниках |
Золотое сечение | ||
<< Задачи на построение сечений | Тетраэдр и его сечения плоскостью >> |
![]() Применение методов построения сечений многогранников при решении |
![]() Применение методов построения сечений многогранников при решении |
Автор: ион. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Решение задач на построение сечений в многогранниках.pptx» со всеми картинками в zip-архиве размером 220 КБ.
Сл | Текст | Сл | Текст |
1 | Решение задач на построение сечений в | 17 | ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через |
многогранниках. Разработка учителя | точки К, L, М, которые лежат на попарно | ||
математики репкиной Е.А. | скрещивающихся рёбрах куба. L. К. М. | ||
2 | Методы построения сечений. | Построим проекции точек K, L, M на | |
Использование свойств параллельных прямых | плоскость основания ABCD. Проекциями будут | ||
и плоскостей Метод следов Метод | соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и | ||
внутреннего проектирования. | М. Будем искать точку Е пресечения секущей | ||
3 | Комментарий. В задачах на построение в | плоскости с ребром СС1: проекцией точки Е | |
стереометрии удобно использовать схему | на плоскость основания является точка С. | ||
решения задач на построение, известную из | Соединим четыре точки-проекции отрезками | ||
курса планиметрии: 1) анализ; 2) | АС и L1М, обозначим точку пересечения Х1. | ||
построение; 3) доказательство; 4) | Х1. | ||
исследование. На этапе анализа | 18 | Метод внутреннего проектирования. | |
предполагаем, что задача уже решена, | Решение. Задача 3. Постройте сечение куба | ||
выполняем соответствующий рисунок и, | ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через | ||
опираясь на известные свойства прямых и | точки К, L, М, которые лежат на попарно | ||
плоскостей, пробуем составить план | скрещивающихся рёбрах куба. L. К. М. * | ||
построения. На этапе построения по | Точка Х1 – проекция некоторой точки Х | ||
составленному плану описываем построение, | секущей плоскости, в которой пересекается | ||
детализируя его до элементарных построений | прямая LM с пока ещё не определённой | ||
в изображённых плоскостях. На этапе | прямой КЕ. Проведём через Х1 прямую ХХ1 || | ||
доказательства обосновываем, что в | LL1, в пересечении ХХ1 и ML получим точку | ||
результате построения действительно | Х. Х. Х1. | ||
получили фигуру с заданными свойствами. На | 19 | Метод внутреннего проектирования. | |
этапе исследования рассматриваем каждый | Решение. Задача 3. Постройте сечение куба | ||
шаг построения и отвечаем на два вопроса: | ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через | ||
1) Всегда ли можно выполнить этот шаг? 2) | точки К, L, М, которые лежат на попарно | ||
Сколько фигур получим в результате? | скрещивающихся рёбрах куба. L. F. Е. К. М. | ||
4 | Использование свойств параллельных | Теперь проводим прямую КХ до пересечения с | |
прямых и плоскостей. М. Задача 1. В | ребром СС1 и получаем точку Е. Дальнейшие | ||
пирамиде DABC через данную точку М на | построения опираются на параллельность | ||
ребре AD проведите плоскость, параллельную | противоположных граней куба, которые | ||
плоскости грани DBC. Анализ. Допустим, что | секущая плоскость пересекает по | ||
задача решена и соответствующее сечение | параллельным прямым: Х. Соединяем М и Е. | ||
МКТ построено. Т.к. (МКТ) || (DBC), то | Х1. Строим КF ||МЕ. Соединяем Е и L. | ||
грани ADC, ADB и АВС пересекают | 20 | Метод внутреннего проектирования. | |
параллельные плоскости по параллельным | Решение. Задача 3. Постройте сечение куба | ||
прямым. Значит, МК || DB, МТ || DC и ТК || | ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через | ||
ВС. Это даёт возможность выполнить | точки К, L, М, которые лежат на попарно | ||
построение. | скрещивающихся рёбрах куба. L. F. Е. К. М. | ||
5 | Использование свойств параллельных | H. Теперь проводим прямую КХ до | |
прямых и плоскостей. D. М. К. В. А. Т. С. | пересечения с ребром СС1 и получаем точку | ||
Задача 1. В пирамиде DABC через данную | Е. Дальнейшие построения опираются на | ||
точку М на ребре AD проведите плоскость, | параллельность противоположных граней | ||
параллельную плоскости грани DBC. | куба, которые секущая плоскость пересекает | ||
Построение. Проведём через точку М в | по параллельным прямым: Х. Строим MH || | ||
плоскости ADC прямую МТ || DC (Т? АС), а в | FL. Х1. Соединяем К и Н, L и Е и получаем | ||
плоскости ADB – прямую МК || DB (К? АВ). и | шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение. | ||
соединим точки Т и К. Тогда МКТ - искомое | 21 | Применение методов построения сечений | |
сечение. | многогранников при решении заданий С2. | ||
6 | Использование свойств параллельных | Решение. Задача 4 (ЕГЭ, 2012). Точка Е – | |
прямых и плоскостей. М. Задача 1. В | середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. | ||
пирамиде DABC через данную точку М на | Найдите площадь сечения куба плоскостью | ||
ребре AD проведите плоскость, параллельную | C1DЕ, если рёбра куба равны 2. К. Е. Т.к. | ||
плоскости грани DBC. Доказательство. По | точки Е, D и D, С1 попарно принадлежат | ||
построению МТ || DC и MK || DB, тогда | одной грани, можем соединить их отрезками. | ||
(MKT) || (DBC) по признаку параллельности | Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость | ||
плоскостей. Исследование. Задача всегда | пересекает грань АВВ1А1 по прямой ЕК, | ||
имеет единственное решение, так как каждый | параллельной DC1. Соединяем К и С и | ||
шаг можно выполнить однозначно. | получаем четырёхугольник ЕКC1D – искомое | ||
7 | Использование свойств параллельных | сечение. Дальнейшее решение строится на | |
прямых и плоскостей. Ориентир. Если данный | рассмотрении вида четырёхугольника ЕКC1D. | ||
многогранник содержит параллельные грани, | Ответ: 4,5. | ||
которые пересекает плоскость сечения, то | 22 | Применение методов построения сечений | |
линии пересечения секущей плоскости с | многогранников при решении заданий С2. | ||
этими гранями параллельны. /Свойство | Решение. Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, | ||
параллельного проектирования/. Задача 2. | Корянов, Прокофьев). Каждое ребро | ||
Постройте сечение прямоугольного | правильной треугольной призмы равно а. | ||
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, | Через сторону основания и середину оси | ||
которая проходит через точки К, М, N, где | (ось – отрезок, соединяющий центры | ||
М?АА1, N?ВВ1, К лежит в грани DCC1D1. К. | оснований) проведена плоскость. Найдите | ||
N. М. | площадь сечения призмы этой плоскостью. | ||
8 | Использование свойств параллельных | А1. С1. В1. А. С. В. Применим метод | |
прямых и плоскостей. Решение. Задача 2. | внутреннего проектирования: Проекцией | ||
Постройте сечение прямоугольного | точки S на плоскость основания является | ||
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, | точка О. Точки Е и Т сечения будут лежать | ||
которая проходит через точки К, М, N, где | на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1. | ||
М?АА1, N?ВВ1, К лежит в грани DCC1D1. К. | Точки Е и Т сечения будут результатом | ||
N. М. Точки М и N принадлежат секущей | пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать | ||
плоскости и лежат в одной грани АВВ1А1, | на соответственных гранях призмы. S. O. Т. | ||
поэтому их можно соединить отрезком MN. | Е. | ||
Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость | 23 | Применение методов построения сечений | |
пересекает грань DCC1D1 по прямой ТЕ, | многогранников при решении заданий С2. | ||
проходящей через точку К параллельно MN. | Решение. Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, | ||
Соединив точки М, Т, Е и N получим искомое | Корянов, Прокофьев). Каждое ребро | ||
сечение – четырёхугольник МТЕN. | правильной треугольной призмы равно а. | ||
9 | Метод следов. Содержание метода | Через сторону основания и середину оси | |
Сначала строят прямую пересечения секущей | (ось – отрезок, соединяющий центры | ||
плоскости с плоскостью какой-либо грани | оснований) проведена плоскость. Найдите | ||
(след секущей плоскости на этой грани), а | площадь сечения призмы этой плоскостью. | ||
потом находят точки пересечения секущей | А1. С1. В1. А. С. В. Через точки В и Е, С | ||
плоскости с соответствующими рёбрами | и Т проведём линии сечения на гранях | ||
многогранника (или с их продолжениями). | призмы до пересечения с рёбрами верхнего | ||
Иногда для этого необходимо рассматривать | основания и получим четырёхугольник ВКDС – | ||
определённые вспомогательные плоскости, | искомое сечение. Дальнейшее решение | ||
для которых также строят след секущей | строится на рассмотрении вида | ||
плоскости (или след этой вспомогательной | четырёхугольника ВКDС. . S. O. Т. Е. | ||
плоскости на плоскости какой-либо грани). | 24 | Применение методов построения сечений | |
10 | Метод следов. ? Содержание метода Для | многогранников при решении заданий С2. | |
получения следа (т.е. прямой b) плоскости | Решение. Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, | ||
? на плоскости ? достаточно найти точки | Корянов, Прокофьев). В правильной | ||
пересечения двух прямых плоскости ? с | шестиугольной пирамиде SABCDEF с | ||
плоскостью ? (т.к. две точки, например А и | основанием ABCDEF сторона основания равна | ||
С, однозначно определяют прямую b). ? | 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – | ||
Необходимо помнить, что точка пересечения | середина ребра SB . Найдите расстояние от | ||
какой-либо прямой а плоскости ? с | точки А до плоскости КDF. Для начала нужно | ||
плоскостью ? всегда лежит на следе | построить секущую плоскость КDF. Применим | ||
плоскости ? на плоскости ? (т.е. на прямой | метод внутреннего проектирования: | ||
b). | 25 | Применение методов построения сечений | |
11 | Метод следов. Содержание метода Для | многогранников при решении заданий С2. | |
получения следа (т.е. прямой b) плоскости | Решение. Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, | ||
? на плоскости ? достаточно найти точки | Корянов, Прокофьев). В правильной | ||
пересечения двух прямых плоскости ? с | шестиугольной пирамиде SABCDEF с | ||
плоскостью ? (т.к. две точки, например А и | основанием ABCDEF сторона основания равна | ||
С, однозначно определяют прямую b). ? ? | 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – | ||
Если рассматривать параллельное (или | середина ребра SB . Найдите расстояние от | ||
центральное) проектирование, то, для того, | точки А до плоскости КDF. Проекцией точки | ||
чтобы найти точку пересечения прямой с | К на плоскость основания является точка Р. | ||
плоскостью проекции, достаточно найти | Проекция вспомогательной точки Х, | ||
точку пересечения прямой с её проекцией на | принадлежащей секущей плоскости, будет | ||
эту плоскость. | результатом пересечения ОС и PD. Проведём | ||
12 | Метод следов. Решение. Задача 3. | KD и линию, параллельную SO до пересечения | |
Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 | с KD – получим вспомогательную точку Х. М. | ||
плоскостью, проходящей через точки К, L, | О. Р. FX ? SC = М – искомая точка секущей | ||
М, которые лежат на попарно скрещивающихся | плоскости. Х. | ||
рёбрах куба. L. L1. К. М. Построим | 26 | Применение методов построения сечений | |
проекции точек K, L, M на плоскость | многогранников при решении заданий С2. | ||
основания ABCD. Проекциями будут | Решение. Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, | ||
соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и | Корянов, Прокофьев). В правильной | ||
М. | шестиугольной пирамиде SABCDEF с | ||
13 | Метод следов. Решение. Задача 3. | основанием ABCDEF сторона основания равна | |
Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 | 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – | ||
плоскостью, проходящей через точки К, L, | середина ребра SB . Найдите расстояние от | ||
М, которые лежат на попарно скрещивающихся | точки А до плоскости КDF. Проекция | ||
рёбрах куба. L. L1. К. М. Р. Построим | вспомогательной точки Y, принадлежащей | ||
проекции точек K, L, M на плоскость | секущей плоскости, будет результатом | ||
основания ABCD. Проекциями будут | пересечения ОA и PF. L. Проведём KF и | ||
соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и | линию, параллельную SO до пересечения с KF | ||
М. Построим точку Р пересечения LK и L1А. | – получим вспомогательную точку Y. DY ? SA | ||
14 | Метод следов. Решение. Задача 3. | = L – искомая точка секущей плоскости. О. | |
Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 | Р. Y. | ||
плоскостью, проходящей через точки К, L, | 27 | Применение методов построения сечений | |
М, которые лежат на попарно скрещивающихся | многогранников при решении заданий С2. | ||
рёбрах куба. L. L1. К. М. Р. Построим | Решение. Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, | ||
проекции точек K, L, M на плоскость | Корянов, Прокофьев). В правильной | ||
основания ABCD. Проекциями будут | шестиугольной пирамиде SABCDEF с | ||
соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и | основанием ABCDEF сторона основания равна | ||
М. Построим точку Р пересечения LK и L1А. | 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – | ||
Прямая МР – след секущей плоскости на | середина ребра SB . Найдите расстояние от | ||
плоскости основания, а точка Н – точка | точки А до плоскости КDF. Соединив | ||
пересечения МР и АD и ещё одна точка | полученные точки L и M с К, D и F, получим | ||
сечения куба. | искомую плоскость КDF, (MКLDF – | ||
15 | Метод следов. Решение. Задача 3. | пятиугольник, изображающий искомую | |
Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 | плоскость). L. Дальнейшее решение строится | ||
плоскостью, проходящей через точки К, L, | на нахождении расстояния от точки А до | ||
М, которые лежат на попарно скрещивающихся | плоскости пятиугольника MКLDF. М. . О. Р. | ||
рёбрах куба. L. L1. К. М. Р. Далее, | 28 | Применение методов построения сечений | |
используя параллельность противоположных | многогранников при решении заданий С2. | ||
граней куба, строим LF || МН. Соединяем F | Решение. Задача 6 (Пример 52, Пособие | ||
и К. Строим МЕ || FК. Соединяем полученные | С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной | ||
точки сечения и получаем шестиугольник | шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, | ||
КНМЕLF – искомое сечение. | все рёбра которой равны 1, найти угол | ||
16 | Метод внутреннего проектирования. | между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1. А1. | |
Содержание метода Имея три точки, которые | А1. А1. Для начала нужно построить секущую | ||
определяют плоскость сечения, находят их | плоскость АСЕ1. А1. Применим метод | ||
проекции на какую-либо плоскость (наиболее | внутреннего проектирования: Проекцией | ||
часто на плоскость основания | точки Е1 на плоскость основания является | ||
многогранника). Также находят проекцию | точка Е. С. D. Точки Е и Т сечения будут | ||
какой-либо ещё не построенной точки | лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных | ||
сечения. (Эту неизвестную точку сечения, | АА1. В. Точки Е и Т сечения будут | ||
как правило, выбирают на боковом ребре | результатом пересечения BS с LL1 и CS с | ||
многогранника таким образом, чтобы | ММ1 и лежать на соответственных гранях | ||
какие-то два отрезка, соединяющие четыре | призмы. Е. А. F. | ||
точки проекции, пересекались во внутренней | 29 | Источники информации. Нелин Е.П. | |
точке этих отрезков). С помощью трёх | Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА. | ||
данных точек и четырёх проекций находят | Геометрия. 7-11 классы. – 2-е изд., испр. | ||
четвёртую точку, принадлежащую плоскости | – М.:ИЛЕКСА, 2012 www.alexlarin.net – сайт | ||
сечения. Если необходимо, таким же образом | по оказанию информационной поддержки | ||
получают пятую, шестую и т.д. точки, | студентам и абитуриентам при подготовке к | ||
которые лежат на плоскости сечения и | ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении | ||
рёбрах многогранника, т.е. получают | различных разделов высшей математики | ||
сечение. | (Пособие для решения заданий С2, авт. | ||
17 | Метод внутреннего проектирования. | Корянов А.Г., Прокофьев А.А.). | |
Решение. Задача 3. Постройте сечение куба | |||
Решение задач на построение сечений в многогранниках.pptx |
«Пропорции золотого сечения» - Рисунок кристалла пирита. Платон. Сфинкс, охраняющий гробницу Тутанхамона. Куба. Йемен. Коморские острова. Доминика. Венесуэла. Иоганн Вольфганг Гёте (1749 г. – 1832 г.). Пирамида Хеопса. Заболоцкий. Гвинея - Бисау. Додекаэдр олицетворяет вселенную. Мозамбик. Ирак. «Есть в математике нечто вызывающее восторг» Хаусдорф.
«Правильные многогранники» - Правильный тетраэдр. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. 9 Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Сумма плоских углов додекаэдра при каждой вершине равна 324?. Каждая вершина правильного тетраэдра является вершиной трёх треугольников.
«Построение сечений» - Нанесение размеров. Правила выполнения. Сечения. Сечения на чертежах разделяют на вынесенные и наложенные. Сечения выполняют в том же масштабе, что и изображение, к которому оно относится. Обозначение сечений. Правила выполнения сечений. Сечение – это изображение фигуры, получившейся при мысленном рассечении предмета плоскостью.
«Построение многогранников» - Построение правильного тетраэдра вписанного в куб. Додекаэдр символизировал всё мироздание, почитался главнейшим. У куба: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Построение правильного тетраэдра. Платон - греческий философ. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Происходил Платон из знатного рода и получил прекрасное образование.
«Пропорции золотого сечения» - Пифагор. Развитие жизни по спирали. Платон. Спиралевидные ураганы и галактики. Сохранить землю- значит сохранить золотые пропорции. «Золотое сечение» в природе, искусстве и архитектуре. Температура наружного воздуха. «Золотое сечение» в живописи. Церковь «Рождественско – преображенская». Отношение сторон прямоуголь-ника выбрано по золотому сечению.