Тригонометрия
<<  Применение основных тригонометрических тождеств для преобразования выражений Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»  >>
Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга
Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга
Линия синуса угла ( рис
Линия синуса угла ( рис
 Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга
 Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга
Тригонометрические функции острого угла
Тригонометрические функции острого угла
Прямоугольный треугольник ABC ( рис
Прямоугольный треугольник ABC ( рис
Для некоторых углов можно записать точные значения их
Для некоторых углов можно записать точные значения их
Углы 0° и 90°, строго говоря,
Углы 0° и 90°, строго говоря,
П р и м е р 1.Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544
П р и м е р 1.Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544
Р е ш е н и е
Р е ш е н и е
П р и м е р
П р и м е р
Радианная мера
Радианная мера
Радианная мера
Радианная мера
2 = C / r
2 = C / r
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
п-33
п-33
п-33
п-33
Тригонометрические выражения и их преобразования
Тригонометрические выражения и их преобразования
Теорема косинусов:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Теорема синусов:
Теорема тангенсов:
Теорема тангенсов:
 Формулы площади, формула Герона:
 Формулы площади, формула Герона:
Радиусы описанного и вписанного кругов:
Радиусы описанного и вписанного кругов:
Решение косоугольных треугольников
Решение косоугольных треугольников
Второй угол находим по теореме синусов:
Второй угол находим по теореме синусов:
П р и м е р 
П р и м е р 
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол A :
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол A :
Заданы любые два угла и сторона
Заданы любые два угла и сторона
После нахождения угла A, найдём третий угол:
После нахождения угла A, найдём третий угол:
Тригонометрические выражения и их преобразования
Тригонометрические выражения и их преобразования
Картинки из презентации «Тригонометрические выражения и их преобразования» к уроку геометрии на тему «Тригонометрия»

Автор: 1. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «Тригонометрические выражения и их преобразования.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 226 КБ.

Тригонометрические выражения и их преобразования

содержание презентации «Тригонометрические выражения и их преобразования.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Тригонометрические выражения и их 16виде: a = c sin A , b = c cos A , a = b
преобразования. 9 -класс. МБОУ-ООШ № 25 tan A , b = c sin B , a = c cos B , b = a
Подготовила: учитель математики Оганесян tan B . Остаётся выбрать те формулы,
Валентина Ашотовна. которые содержат заданную или уже
2Определение синуса, косинуса, тангенса найденную сторону.
и котангенса. Чтобы построить всю 17П р и м е р . Дано: гипотенуза c =
тригонометрию, законы которой были бы 13.65 м и острый угол A = 54°17’. Найти
справедливы для любых углов (не только для другой острый угол B и катеты a и b .
острых, но и для тупых, положительных и 18Радианное и градусное измерение углов.
отрицательных углов ), необходимо Градусная мера. Здесь единицей измерения
рассмотреть так называемый единичный круг, является градус ( обозначение ° ) – это
то есть круг, радиус которого равен 1 ( поворот луча на 1 / 360 часть одного
рис.3 ). полного оборота. Таким образом, полный
3Проведём два диаметра: горизонтальный оборот луча равен 360°. Один градус
AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ );
углы от точки A ( начальная точка ). одна минута – соответственно из 60 секунд
Отрицательные углы отсчитываются по (обозначаются “ ).
часовой стрелке, положительные – против. 19Радианная мера . Как мы знаем из
Подвижный радиус OC образует угол с планиметрии длина дуги l , радиус r и
неподвижным радиусом OA.Он может быть соответствующий центральный угол а связаны
расположен в 1-ой четверти ( COA ), во соотношением: а = l / r . Эта формула
2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти лежит в основе определения радианной меры
(EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая измерения углов. Так, если l = r , то а =
OA и OB положительными направлениями, а 1, и мы говорим, что угол равен 1
OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим радиану, что обозначается: а = 1 рад.
тригонометрические функции следующим Таким образом, мы имеем следующее
образом. определение радианной меры измерения:
4Знаки синуса и косинуса в различных 202 = C / r . Так, полный оборот, равный
четвертях единичного круга. 360° в градусном измерении, соответствует
5Линия синуса угла ( рис.4 ) - это 2 в радианном измерении. Откуда мы
вертикальный диаметр единичного круга, получаем значение одного радиана, и
линия косинуса угла - горизонтальный обратно: Следуя этой формуле, длину
диаметр единичного круга. Синус угла ( окружности C и её радиус r можно выразить
рис.4 ) – это отрезок OB на линиисинуса, следующим образом:
то есть проекция подвижного радиуса OK на 21Полезно помнить следующую
линию синуса; косинус угла - отрезок сравнительную таблицу значений наиболее
OAлинии косинуса, то есть проекция часто встречающихся углов в градусах и
подвижного радиуса OK на линию косинуса. радианах:
Знаки синуса и косинуса в различных 22Соотношения между тригонометрическими
четвертях единичного круга показаны на функциями одного и того же угла. Эти
рис.5 и рис.6. формулы являются основными
6Знаки синуса и косинуса в различных тригонометрическими тождествами.
четвертях единичного круга. Линия тангенса 23п-33. Формулы приведения.
( рис.7 ) – это касательная к единичному 24п-33. Формулы приведения.
кругу, проведенная через точку A 25п-33. Формулы приведения. Эти формулы
горизонтального диаметра. Линия котангенса позволяют: 1) найти численные значения
( рис.8 ) – это касательная к единичному тригонометрических функций углов, бо’льших
кругу, проведенная через точку В 90°; 2) выполнить преобразования,
вертикального диаметра. Тангенс – это приводящие к более простым выражениям; 3)
отрезок линии тангенса между точкой избавиться от отрицательных углов и углов,
касания A и точкой пересечения ( D, E, и бо’льших 360°.
т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии 26
радиуса. Котангенс – это отрезок линии 27п 34. Формулы сложения и вычитания.
котангенса между точкой касания В и точкой 28п 34. Формулы сложения и вычитания.
пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии 29Основные соотношения между элементами
котангенса и линии радиуса. треугольника. Теорема косинусов. Теорема
7Знаки тангенса и котангенса в синусов. Теорема тангенсов. Формулы
различных четвертях единичного круга площади, формула Герона. Радиусы
показаны на рис.9. описанного и вписанного кругов
8Тригонометрические функции острого Обозначения: a, b, c – стороны; A, B, C –
угла. Тригонометрические функции острого углы; p = ( a + b + c ) / 2 -
угла есть отношения различных пар сторон полупериметр; h –высота; S – площадь; R –
прямоугольного треугольника ( рис.2 ): радиус описанного круга; r – радиус
9Тригонометрические функции острого вписанного круга.
угла: синус, косинус, тангенс, котангенс, 30Теорема косинусов:
секанс, косеканс. 1) Синус - отношение 31Теорема синусов:
противолежащего катета к гипотенузе: sin A 32Теорема тангенсов:
= a / c . 2) Косинус - отношение 33Формулы площади, формула Герона:
прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b 34Радиусы описанного и вписанного
/ c . 3) Тангенс - отношение кругов:
противолежащего катета к прилежащему: tan 35Решение косоугольных треугольников.
A = a / b . 4) Котангенс - отношение Заданы три стороны a, b, c . Найти углы A,
прилежащего катета к противолежащему: cot B, C. По теореме косинусов находим один из
A = b / a . 5) Секанс - отношение углов:
гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c 36Второй угол находим по теореме
/ b . 6) Косеканс - отношение гипотенузы к синусов: Третий угол находится по формуле:
противолежащему катету: cosec A = c / a . C = 180° – ( A + B ).
10Прямоугольный треугольник ABC ( рис.2 37П р и м е р . Заданы три стороны
) имеет катеты: a = 4, b = 3. Найти треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти
синус, косинус и тангенс угла A. Р е ш е н его углы.
и е . Во-первых, найдём гипотенузу, 38c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а
используя теорему Пифагора: затем по теореме синусов – угол A : здесь
c 2 = a 2 + b 2 , Согласно необходимо подчеркнуть, что A – острый
вышеприведенным формулам имеем: угол, если b / a > cos C, и тупой угол,
sin A = a / c = 4 / 5; cos A = b / c = 3 если b / a < cos C. Третий угол B =
/ 5; tan A = a / b = 4 / 3. . 180° - ( A + C ). Дано: две стороны a и b
11Для некоторых углов можно записать и угол C между ними. Найти сторону c и
точные значения их тригонометрических углы A и B. По теореме косинусов находим
функций. Наиболее важные случаи приведены сторону c :
в таблице: 39Заданы любые два угла и сторона. Найти
12Углы 0° и 90°, строго говоря, не третий угол и две другие стороны.
являются острыми в прямоугольном Очевидно, что третий угол вычисляется по
треугольнике, однако при расширении формуле: A+ B+ C = 180°, и тогда используя
понятия тригонометрических функций эти теорему синусов, мы найдём две другие
углы также рассматриваются. Символ в стороны. Даны две стороны a и b и угол B,
таблице означает, что абсолютное значение противоположный одной из них. Найти
функции неограниченно возрастает, если сторону c и углы A и C. Сначала по теореме
угол приближается к указанному значению. синусов найдём угол A: .
13По двум сторонам. Если заданы две 40Здесь возможны следующие случаи: 1) a
стороны прямоугольного треугольника, то > b ; a · sin B > b – здесь решения
третья сторона вычисляется по теореме нет; 2) a > b ; a · sin B = b – здесь
Пифагора. Острые углы могут быть одно решение, A – прямой угол; 3) a > b
определены по одной из трёх первых формул ; a · sin B < b < a – здесь два
для тригонометрических функций в решения: A может быть либо острым, либо
зависимости от того, какие стороны тупым углом; 4) a b – здесь одно решение,
известны. Например, если заданы катеты a и A – острый угол.
b , то угол A определяется по формуле: tan 41После нахождения угла A, найдём третий
A = a / b . Решение прямоугольных угол: C = 180° - ( A+ B ). Если A может
треугольников По двум сторонам. По стороне иметь два значения, то и C может иметь два
и острому углу. значения. Теперь по теореме синусов можно
14П р и м е р 1.Катет a = 0.324, найти третью сторону:
гипотенуза c = 0.544. Найти второй катет b 42Если угол C имеет два значения, то и
и углы A и B. Р е ш е н и е .Катет b сторона c имеет два значения,
равен: следовательно, заданным условиям
15Р е ш е н и е .Гипотенуза c равна: П р удовлетворяют два различных треугольника.
и м е р 2. Даны два катета: a = 7.2 см, b Дано: a = 5, b = 3, B = 30°. Найти сторону
= 6.4 см. Найти гипотенузу и углы A и B. c и углы A и C.
16По стороне и острому углу. . Если 43Р е ш е н и е. Здесь: a > b и a sin
задан один острый угол A, то другой острый B < b. ( Проверьте, пожалуйста! ).
угол B находится из равенства: B = 90° - Тогда согласно случаю 3 здесь возможны два
A. Стороны находятся по формулам решения:
тригонометрических функций, переписанных в 44
Тригонометрические выражения и их преобразования.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/trigonometricheskie-vyrazhenija-i-ikh-preobrazovanija-163759.html
cсылка на страницу

Тригонометрические выражения и их преобразования

другие презентации на тему «Тригонометрические выражения и их преобразования»

«Тригонометрические уравнения и их решения» - Простейшие тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции. Основное тригонометрическое тождество. Решите уравнения. Образец решения. Решение квадратного уравнения. Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной.

«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить. Вычтя из равенства (4) равенство (3), получим: Формулы сложения. Формулы тройных углов.

«Графики тригонометрических функций» - y = sin3x. Тригонометрические функции. y= cos(2x+p/3) y= cos(2(x+p/6)). Y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс. Y=sin0.5x. sin(x+p/2)=cos x. Постройте график функции: y=sin (x + p/2). y= sin x +p. Графиком функции у = cos x является косинусоида. Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций:

«Обратные тригонометрические функции» - Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Свойства функции y = arccos x . Упражнения для самостоятельного решения. Из истории тригонометрических функций. Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<?. Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого:

«Тригонометрические неравенства» - Значит t должно удовлетворять условию -?/2<t??/4. Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше 1/2 левее прямой x=1/2. Решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2?] длиной 2?, таковы: ?/3<t<5?/3. Тригонометрическое неравенство cos(t)<a. Необходимо найти точки t1 и t2.

«Решение тригонометрических неравенств» - А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2, А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx<1/2, Прямая y=1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. Все значения y на промежутке MN.

Тригонометрия

21 презентация о тригонометрии
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки
900igr.net > Презентации по геометрии > Тригонометрия > Тригонометрические выражения и их преобразования