История геометрии
<<  ”Евклид Евклид и его геометрия  >>
V постулат Евклида
V постулат Евклида
Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат — одна из аксиом,
Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат — одна из аксиом,
Доказательством V постулата занимался и исключительно талантливый
Доказательством V постулата занимался и исключительно талантливый
В начале Лобачевский шел тем же путем, что и его предшественники, т.е
В начале Лобачевский шел тем же путем, что и его предшественники, т.е
Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый
Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый
На наших чертежах линии изогнуты
На наших чертежах линии изогнуты
Лобачевский доказывает (все в том же предположении неверности пятого
Лобачевский доказывает (все в том же предположении неверности пятого
Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет
Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет
Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет
Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет
Построив прямую с1, симметричную с относительно перпендикуляра р,
Построив прямую с1, симметричную с относительно перпендикуляра р,
Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул
Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул
Картинки из презентации «V постулат Евклида» к уроку геометрии на тему «История геометрии»

Автор: *. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока геометрии, скачайте бесплатно презентацию «V постулат Евклида.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 282 КБ.

V постулат Евклида

содержание презентации «V постулат Евклида.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1V постулат Евклида. «Геометрия 8практически сливаются, поскольку угол П(х)
является самым могущественным средством очень близок к 90 градусам. В целом же, в
для изощрения наших умственных силу предположения о неверности пятого
способностей и дает нам возможность постулата, приходится изображать линии
правильно мыслить и рассуждать» Г. изогнутыми. И если в дальнейшем будут
Галилей. Работу выполнили учащиеся 9к появляться все более и более странные
класса Терентьев Владимир, Тищенко Иван. вещи, то это только хорошо - мы скорее
2Аксиома параллельности Евклида, или наткнемся на долгожданное противоречие.
пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в 9Лобачевский доказывает (все в том же
основании классической планиметрии. На предположении неверности пятого
современном языке текст Евклида можно постулата), что две параллельные прямые
переформулировать так: Если сумма неограниченно сближаются друг с другом в
внутренних углов с общей стороной, сторону параллельности, но в обратном
образованных двумя прямыми при пересечении направлении они неограниченно удаляются
их третьей, с одной из сторон от секущей друг от друга. А две расходящиеся прямые
меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и имеют единственный общий перпендикуляр, по
притом по ту же сторону от секущей. В обе стороны от которого они неограниченно
школьных учебниках обычно приводится удаляются друг от друга. Мы уже знаем, что
другая формулировка, эквивалентная здесь пока ещё нет никакого противоречия.
(равносильная) V постулату и принадлежащая 10Затем Лобачевский рассматривает две
Проклу: В плоскости через точку, не параллельные прямые в и с и берет на
лежащую на данной прямой, можно провести прямой в движущуюся точку М, удаляющуюся в
одну и только одну прямую, параллельную сторону, обратную параллельности. В каждом
данной. положении точки М он восставляет
3Попытки доказательства. Пятый постулат перпендикуляр р к прямой в до его
резко выделяется среди других, вполне пересечения с прямой с. Длина
очевидных. Он больше похож на сложную, перпендикуляра непрерывно возрастает при
неочевидную теорему. Евклид, вероятно, движении точки М, и, когда она попадает в
сознавал это, и поэтому первые 28 некоторое положение Q, длина
предложений в «Началах» доказываются без перпендикуляра становится бесконечной.
его помощи. Математики с давних времён Точнее говоря, перпендикуляр р,
пытались «улучшить Евклида» — либо восстановленный к прямой в в точке Q,
исключить пятый постулат из числа исходных параллелен прямой с.
утверждений, то есть доказать его, 11Построив прямую с1, симметричную с
опираясь на остальные постулаты и аксиомы, относительно перпендикуляра р, получим три
либо заменить его другим, столь же прямые - в, с и с1, которые попарно
очевидным, как другие постулаты. Надежду параллельны друг другу. Возникает
на достижимость этого результата своеобразный "бесконечный
поддерживало то, что IV постулат Евклида треугольник": у него каждые две
(все прямые углы равны) действительно стороны параллельны друг другу, а вершин
оказался лишним — он был строго доказан нет (они как бы находятся в
как теорема и исключён из перечня аксиом. бесконечности). Это уже никак не
За два тысячелетия было предложено много согласуется с привычными представлениями о
доказательств пятого постулата, но в расположении прямых линий! Но противоречия
каждом из них рано или поздно нет и здесь.
обнаруживался порочный круг: оказывалось, 12Тогда Лобачевский предпринимает
что среди явных или неявных посылок попытку использовать могущество формул.
содержится утверждение, которое не удаётся Применяя введенную им функцию П(х), он
доказать без использования того же пятого получает зависимости , позволяющие по
постулата. сторонам треугольника вычислять его углы.
4Доказательством V постулата занимался И оказывается, что в любом треугольнике
и исключительно талантливый ученый Николай сумма углов меньше 180 градусов. Значит, в
Иванович Лобачевский. Он писал, что задача четырехугольнике Саккери (если его разбить
о параллельных прямых представляет собой диагональю на два треугольника; сумма
"трудность, до сих пор непобедимую, углов меньше 360 градусов. Это означает,
но между тем заключающую в себе истины что мы находимся в условиях гипотезы
ощутительные, вне всякого сомнения, и острого угла - когда в четырёхугольнике
столь важные для целей науки, что никак не Саккери четвёртый угол <90 градусов,
могут быть обойдены". как будто ничего нового нет: Саккери и его
5В начале Лобачевский шел тем же путем, последователи долго ломали голову над
что и его предшественники, т.е. пытался гипотезой острого угла, но противоречия
рассуждать от противного. Допустив, что так и не нашли.
пятый постулат Евклида не верен, а 13Однако Лобачевский оказался теперь
остальные аксиомы справедливы, мы рано или намного богаче: он имел формулы,
поздно придем к противоречию. Этим выражающие зависимости между сторонами и
противоречием он и будет доказан. Итак, углами любого треугольника. Пользуясь
допустим, что пятый постулат не верен: своими формулами, Лобачевский доказал:
через точку А, не принадлежащую прямой в, если известны углы треугольника, можно
можно провести более чем одну прямую, однозначно вычислить его стороны. Совсем
которая не пересекается с в. странно! Ведь существуют подобные
6Пусть прямые а' и а" не треугольники, в которых углы
пересекаются с в. При их расположении, как соответственно равны, а стороны
на рисунке, будем поворачивать прямую а' неодинаковы, так что углы треугольника не
по часовой стрелке. Тогда найдется прямая позволяют вычислить длины всех его сторон.
с', которая "в последний раз" не Что это - желанное противоречие? Увы,
пересекается с в. Значит, прямые, опять нет! Наличие подобных, но неравных
получающиеся из с' при повороте по часовой треугольников доказывается с помощью
стрелке (на сколь угодно малый угол), аксиомы о параллельных прямых. А потому
будут пересекать прямую в, а прямые, сам факт, что такие треугольники
получающиеся из с при малом повороте в существуют, может рассматриваться как ещё
обратном направлении, не будут пересекать одна новая аксиома, эквивалентная пятому
в. Иначе говоря, среди всех прямых, постулату.
проходящих через точку А, прямая с' 14Заключение. Противоречия никогда не
отделяет пересекающие в прямые от будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко
непересекающих ее. Сама прямая с' не всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат,
пересекает в. Такая же картина наблюдается то получается не противоречивая
и для прямой с", симметричной с' геометрическая система - та евклидова
относительно перпендикуляра АР, опущенного геометрия, к которой мы так привыкли. Если
на в. Она отделяет пересекающие в прямые же ко всем прочим аксиомам вместо пятого
от не пересекающих. Лобачевский называет постулата мы добавим отрицание аксиомы
прямые с' и с" параллельными прямой параллельности, т.е. аксиому о том, что
в, причем с' параллельна вправо. Остальные через точку вне прямой можно провести
прямые, проходящие через точку А и не более одной прямой, параллельной денной,
пересекающие прямую в (такие, как а" то получим другую геометрическую систему
и а'), именуются расходящимися с прямой в. (Лобачевский назвал её
7Далее, обозначим длину отрезка АР "воображаемой" геометрией),
через х, а острый угол, образуемый прямой которая, однако, тоже не противоречива.
с' или с" с прямой АР, - через П(х). 15Мы использовали: Розенфельд Б. А.
Лобачевский вводит эти определения и Доказательства пятого постулата Евклида
обозначения, стремясь, со свойственной ему средневековых математиков История
настойчивостью, узнать, что может математики / Под редакцией А. П. Юшкевича,
получиться из его предположения о в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
неверности пятого постулата, и быстрее — С. 215-217. Об основаниях геометрии.
обнаружить желанное противоречие. Сборник классических работ по геометрии
8На наших чертежах линии изогнуты. Но Лобачевского и развитию её идей. — М.:
вы должны понять, что Лобачевский ГИТТЛ, 1956. — С. 119-120 Гильберт Д.
рассуждает именно о прямых линиях. Если Основания геометрии. «Начала» Евклида
отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок Розенфельд Б. А. История неевклидовой
к 90°. Когда отрезок АР совсем мал, то, геометрии: Развитие понятия о
посмотрев "в микроскоп" на точку геометрическом пространстве. М.: Наука,
Р, мы увидим, что прямые с' и с" 1976.
V постулат Евклида.ppt
http://900igr.net/kartinka/geometrija/v-postulat-evklida-193785.html
cсылка на страницу

V постулат Евклида

другие презентации на тему «V постулат Евклида»

«Геометрия Евклида» - Некоторые книги предваряются списком определений. «Начала» состоят из тринадцати книг. Евклид и античная философия. Историческое значение «НАЧАЛ». Леонт. Неевклидова геометрия. Основное сочинение Евклида «Начала». Йос Ван Вассенхове. Реферат на тему: В I книге также список постулатов и аксиом. Февдий.

«Пятый постулат Евклида» - Какой геометрией описывается наш мир? Исследования Лобачевского. Число аксиом стремились свести к минимуму. Как формулируется равносильная аксиома параллельности? Постулаты Евклида. Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. «Начала». Итальянец Саккери рассматривал четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3).

«Геометрия Лобачевского» - Краткое описание геометрии Лобачевского. Перечеркнуты “Начала”. Неевклидова геометрия единственно правильная? На рисунке изображена спираль или несколько окружностей? Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856 гг.). На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет? Своеобразная аксиома развития науки.

«Геометрия Евклида» - Определения в доказательствах. "Евклид". Биография. Йос Ван Вассенхове. Евклид и античная философия. Над входом в платоновскую Академию - надпись: «Да не войдёт сюда не знающий геометрии». Учитель Евклида - Платон. Биография Платона. «Начала» состоят из тринадцати книг. Евклидова геометрия.

«Открытия Пифагора» - Истина. Мысль – превыше всего между людьми. Популярный ученый. Направление полёта. Бессмертная идея о всеобщей гармонии. Девиз. Основоположник современной математики. Жизнь и научные открытия Пифагора. Математика. Слово "философ".

«История возникновения геометрии» - Что изучает геометрия. Геродот (V в. до н. э.). Геометрия приближает разум к истине. Геометрические фигуры. Происхождение слова «геометрия». История возникновения и развития геометрии. Тема урока: «Знакомство с геометрией ». Пифагор (564 – 473 гг. до н. э.). Евклид – древнегреческий ученый (III в. до н.э.), «Начала».

История геометрии

22 презентации об истории геометрии
Урок

Геометрия

40 тем
Картинки