График функции Скачать
презентацию
<<  Математика Графики Построить график функции  >>
Функции и их графики
Функции и их графики
Функции и их графики
Функции и их графики
Содержание
Содержание
Содержание
Содержание
Введение
Введение
Понятие функции
Понятие функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Четность и нечетность
Четность и нечетность
Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого
Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого
При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить
При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить
Периодичность
Периодичность
Число T называется периодом функции
Число T называется периодом функции
Нули функции
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства
Монотонность
Монотонность
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на
Понятие обратной функции
Понятие обратной функции
Экстремумы функции
Экстремумы функции
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]
Непрерывность
Непрерывность
Элементарные функции
Элементарные функции
Элементарные функции
Элементарные функции
Линейная функция
Линейная функция
x
x
3. Если k
3. Если k
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность
График обратной пропорциональности называется гиперболой
График обратной пропорциональности называется гиперболой
Квадратичная функция
Квадратичная функция
2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,
2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,
3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,
3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,
Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;
Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;
Степенная функция
Степенная функция
Показательная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции
2.Функция косинус
2.Функция косинус
3.Функция тангенс
3.Функция тангенс
4.Функция котангенс
4.Функция котангенс
Картинки из презентации «Функции и их графики» к уроку алгебры на тему «График функции»

Автор: Катя. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Функции и их графики.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 176 КБ.

Скачать презентацию

Функции и их графики

содержание презентации «Функции и их графики.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Функции и их графики. Содержание. 19разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать,
2Содержание. Введение. Понятие функции. Общие свойства а может и не существовать. На главную.
функции. Понятие обратной функции. Экстремумы функции. 20Элементарные функции. Линейная. Обратная пропорциональность.
Наибольшее и наименьшее значение функции. Непрерывность. Квадратичная. Степенная. Показательная. Логарифмическая.
Элементарные функции. Тригонометрические. На главную.
3Введение. При изучении явлений окружающего мира и в 21Линейная функция. Определение: Функция вида y = kx + b, где
практической деятельности нам приходится рассматривать величины k и b некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Если k =
различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, 0, тогда y = b. Эта функция определена на множестве R и для
время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из каждого X принимает одно и то же значение, равное b. Графиком
величин имеют постоянные числовые значения, у других эти является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ?b?
значения переменные. Такие величины соответственно называются единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0,
постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между то прямая совпадает с осью Ox. Назад. Далее.
переменными в процессе их изменения. Например, при изменении 22x. 2. Если b = 0, то y = kx. Линейная функция вида y = kx
радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос называется прямой пропорциональностью. Она определена на
об изменении площади круга в зависимости от изменения его множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k
радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции
величин является идея функциональной зависимости. Понятие является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0
функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k
латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.
впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц. На главную. y. y = kx k < 0. O. Назад. Далее.
4Понятие функции. Пусть D и E – непустые числовые множества, 233. Если k ? 0 и b ? 0, то y = kx + b. Функция определена на
а x и y – соответственно их элементы. Если каждому x?D (x множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный
принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в
законом, только одно значение y?E, то говорят, что между единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно
переменными x и y существует функциональная зависимость, и x возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0.
называют независимой переменной (или аргументом), а y – Назад. Далее.
зависимой переменной (или функцией). Символическая запись 24Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b,
функции: y = f(x) (x?D, y?E). Множество D называют областью имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента
определения функции и обозначают D(f), а множество E называют b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на
областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a,
отображает множество D на множестве E. На главную. образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от
5Общие свойства функции. Четность и нечетность. положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то
Периодичность. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой. Назад.
Монотонность. На главную. 25Обратная пропорциональность. Определение: Функция вида x =
6Четность и нечетность. Определение: Функция y = f(x) k/x, k ? 0, называется обратной пропорциональностью. Область
называется четной, если для любого значения x, взятого из определения этой функции совпадает с ее областью значений и
области определения функции, значение –x также принадлежит представляет собой объединение двух промежутков: (-?; 0) ? (0; +
области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x). ?). Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет
Примеры четных функций: y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = корней. Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей
?x?; y = 3. (y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = области определения. Если k < 0, то функция монотонно
y(-1)). Согласно определению, четная функция определена на возрастает на всей области определения функции. y = k / x k >
множестве, симметричном относительно начала координат. График 0. y = k / x k < 0. Назад. Далее.
четной функции симметричен относительно оси ординат: Назад. 26График обратной пропорциональности называется гиперболой.
Далее. y. x0. O. x. - x0. Участки кривой при x > 0 и x < 0 называются ветвями
7Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для гиперболы. Назад.
любого значения x, взятого из области определения функции, 27Квадратичная функция. Определение: Функция вида y = ax2 + bx
значение –x также принадлежит области определения и выполняется + c, где a, b,c – некоторые числа, a ? 0, называется
равенство f(-x) = -f(x). Примеры нечетных функций: y = x3; y = квадратичной. 1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная
x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = функция. Это четная функция, у которой D = (-?; + ?), а E = [0;
-y(1)). График нечетной функции симметричен относительно начала + ?). При x > 0 она возрастающая, а при x < 0 - убывающая.
координат: y = f(x). f(-x0). Назад. Далее. O. Ее график называется параболой. График проходит через начало
8При построении графиков четной и нечетной функции достаточно координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы
построить только правую ветвь графика для положительных значений направлены вверх. Назад. Далее.
аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно 282. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная,
начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее
для четной функции. Произведение двух четных или двух нечетных график также парабола, проходящая через начало координат и
функций представляет собой четную функцию, а произведение четной симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее
и нечетной функций – нечетную функцию. Конечно, большинство направлены вверх и E = [0; + ?), а при a < 0 ветви направлены
функций не являются ни четными, ни нечетными. Пример: y = x3 + вниз и E = (-?; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше
x2 y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0 y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 отходят ветви параболы от оси ординат, тем «шире» она. Чем
= 2. Назад. больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты
9Периодичность. Определение: Функция y = f(x) называется к оси ординат, тем «уже» она. Назад. Далее.
периодической, если существует такое число T?0, что для любого 293. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также
значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – четная, неограниченная, определенная для всех действительных x.
T также принадлежат области определения и выполняется равенство Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0
f(x) = f(x + T) = f(x – T): y. T. y = f(x). Назад. Далее. 4. 1. (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если
3. 2. -1. a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; + ?) или вниз
10Число T называется периодом функции. Всякая периодическая при a < 0 и тогда E = (-?; y0), где y0 – ордината вершины
функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале
вида nT при любом целом n также являются периодом функции f(x), координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b2) / 4a). Парабола
так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант
+ (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x). Иногда периодом квадратного трехчлена ax2 + bx + c отрицательный, т. е. B2 – 4ac
называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее < 0, то график функции y = ax2 + bx + c не пересекает ось
данному выше определению. Примеры периодических функций: y = sin абсцисс. y = ax2 + bx +c a < 0. Назад. Далее.
x; y = ctg x; y = sin3x. Периодической является и всякая 30Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке
постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола
число. Например: y = 2; y = 10. Назад. пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями
11Нули функции. Определение: Нулем функции называется такое уравнения 0= ax2 + bx + c. Назад.
действительное значение x, при котором значение функции равно 31Степенная функция. Определение: Функция, заданная формулой y
нулю. Для того, чтобы найти нули функции, следует решить = xn , называется степенной. 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем
уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения соответственно функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже
являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции рассмотренные ранее. 2. Если n – число целое и четное, то
представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При
либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую положительных n эта функция определена для всех действительных
точку с этой осью. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x). Назад. значений аргумента x, при отрицательных n она определена для
12Промежутки знакопостоянства. Определение: Числовые всех x, кроме x = 0. При любом n ? 0 степенная функция
промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1;
не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. 1). Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена
Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, только для положительных значений аргумента x или для
если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0. Назад. неотрицательных x, если n > 0. Назад.
13Монотонность. Функцию называют монотонно возрастающей, если 32Показательная функция. Определение: Функция, которую можно
с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и задать формулой y = ax, a > 0, a ? 1, называется
монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение показательной. Эта функция определена для любых действительных
функции уменьшается. y = f(x). Назад. Далее. x, а областью значений является промежуток (0; + ?). График
14Определение: Функция y = f(x) называется монотонно показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1).
возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1
неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется – монотонно убывает. Назад.
монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, 33Логарифмическая функция. Определение: Функция вида y =
принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует logax, где a > 0, a ? 1, называется логарифмической. Эта
неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает функция определена на промежутке (0; + ?), а областью значений
взятым из области определения функции. Назад. является промежуток (-?; + ?). Графиком логарифмической функции
15Понятие обратной функции. Функция, принимающая каждое свое является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно
значение в единственной точке области определения, называется приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1
обратимой. Таким образом, при k?0 функция f(x) = kx + b функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно
обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой. Если между убывает. y. y. O. 1. x. O. x. 1. Назад. y = logax a > 1. y =
величинами х и у существует функциональная зависимость, то, logax 0 < a < 1.
вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать 34Тригонометрические функции. 1.Функция синус. Определение:
аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется
где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в синусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве
этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, действительных чисел. Эта функция ограничена ?sin x?? 1. Она
а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная периодическая, ее период T = 2pn, n ? Z: sin( x + 2pn) = sin x,
зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = n ? Z. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график
Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x). y. x. симметричен относительно начала координат. График этой функции
На главную. y = sin x. 1. O. p. -p. -p/2. p/2. -1. называется синусоидой. Функция принимает нулевые значения При х
16Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение = pn, n ? Z. Функция y = sin x возрастает на промежутках [-p/2 +
функции. Точка x0 называется точкой максимума (точкой минимума) 2pn; p/2 + 2pn], n ? Z и убывает на промежутках [p/2 + 2pn; 3p/2
для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), + 2pn], n ? Z. Назад. Далее.
чем значение функции в ближайших соседних точках. для 352.Функция косинус. Определение: Числовая функция, заданная
обозначения максимума и минимума существует общий термин формулой y = cos x, называется косинусом. Функция определена и
«экстремум» (от латинского «крайний»). На главную. Далее. непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция
17Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на ограничена ?cos x?? 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n ?
отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0? Z: cos( x + 2pn) = cos x, n ? Z. Функция y = cos x – четная: cos
[a; b], если существует окрестность точки x0, целиком (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат.
содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего График этой функции называется косинусоидой. Функция принимает
этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). Под нулевые значения при х = p/2 + pn, n ? Z. Функция y = cos x
окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в возрастает на промежутках [p + 2pn; 2p + 2pn], n ? Z и убывает
точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное на промежутках [2pn; p + 2pn], n ? Z. y. x. Назад. Далее. y =
положительное число. Назад. Далее. cos x. T = 2p. 1. O. p. 3p/2. -p. -p/2. p/2. 2p. 5p/2. -1.
18Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке 363.Функция тангенс. Определение: Числовая функция, заданная
[a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0? [a; b], формулой y = tg x, называется тангенсом. Функция определена при
если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; x ? p/2 + pn, n ? Z. Ее областью значений является интервал (-?;
b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, + ?). Она периодическая, ее период T = pn, n ? Z: tg( x + pn) =
выполняется неравенство f(x) > f(x0). Максимумы и минимумы tg x, n ? Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее
функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими график симметричен относительно начала координат. В точках x =
значениями этой функции во всей области определения. Например, p/2 + pn, n ? Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в
функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является
экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой.
C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего Функция принимает нулевые значения при х = pn, n ? Z. Функция y
значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума = tg x возрастает на всех интервалах определения (-p/2 + pn; p/2
функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, + pn), n ? Z. Назад. Далее.
переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x0 есть 374.Функция котангенс. Определение: Числовая функция, заданная
точка максимума. Признак минимума функции: Если функция формулой y = ctg x, называется котангенсом. Функция определена
непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, при x ? pn, n ? Z. Ее областью значений является интервал (-?; +
меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума. Назад. ?). Она периодическая, ее период T = pn, n ? Z: ctg( x + pn) =
19Непрерывность. Функция y = f(x) называется непрерывной на ctg x, n ? Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и
промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна ее график симметричен относительно начала координат. В точках x
в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции = pn, n ? Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в
на промежутке означает, что график этой функции на данном этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является
промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой.
этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n ? Z.
функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2pn; p
окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется + pn), n ? Z. y. x. Назад. Y = сtg x. 1. p/2. -p. 3p/2. p. -p/2.
условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка O. -1.
«Функции и их графики» | Функции и их графики.ppt
http://900igr.net/kartinki/algebra/Funktsii-i-ikh-grafiki/Funktsii-i-ikh-grafiki.html
cсылка на страницу

График функции

другие презентации о графике функции

«Урок Уравнение касательной» - 10 класс. Давайте обсудим понятие касательной. 1. Уточнить понятие касательной к графику функции. Тема урока: Ответы: Тест: найти производную функции. Ответ : Уравнение касательной. Цели урока: Почему угловой коэффициент касательной равен производной? 3. Создать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x).

«Исследование функции» - К исследованию. Давайте вспомним… Выполните устно: Ответ:D(f)=R, нечётная, возростающая. Задача: Выполните устно: Для функции f(x)=х3 определить D(f), четность, возрастание, убывание. План работы на уроке. Цель занятия: Задание. Докажите, что функция f(x)=х5+4х возрастает на множестве R. 2) Пример исследования функции.

«Преобразование функций» - m. Задачи урока. Сдвиг по оси x вправо. t > 0. a < 1. k > 1. Растяжение по оси x. a > 1. Преобразование графиков функций. Сжатие по оси y. -1. Растяжение по оси y. Свойства функции sin(x). m > 0. a. y. Сдвиг по оси y вниз. Сдвиг по оси y вверх.

«Возрастание и убывание функции» - Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [a;b], где b>a?0. В силу периодичности функции синуса доказательство достаточно провести для отрезка [-?/2 ; ?/2]. Рассмотрим еще один пример. Определение. Тогда f(-x2)=f(x2), f(-x1)=f(x1), причем a?-x2<-x1?b, и, поскольку f возрастает на [a;b], имеем f(-x1)>f(-x2), то есть f(x1)>f(x2).

«Координатная плоскость» - План урока. Познакомить учащихся с биографиями ученых-математиков. (1596- 1650). Формировать умение решать задачи на координатную плоскость. Задача №1. Координатные четверти. Координатная прямая, координатный угол. Исаак Ньютон. Уравнение прямой в. Координатная плоскость. Познакомить учащихся с историей возникновения отрицательных чисел.

«Координатная плоскость 6 класс» - У. 1. 1.Найдите и запишите координаты точек A,B, C,D: Координатная плоскость. -6. О. Математика 6 класс. Х.

Урок

Алгебра

34 темы
Картинки
Презентация: Функции и их графики | Тема: График функции | Урок: Алгебра | Вид: Картинки