Последовательность Скачать
презентацию
<<  Предел функции в точке Предел последовательности  >>
Понятие функции
Понятие функции
Способы задания функции
Способы задания функции
Классификация вещественных функций вещественного аргумента
Классификация вещественных функций вещественного аргумента
Основные элементарные функции
Основные элементарные функции
Отношение двух многочленов
Отношение двух многочленов
Иррациональные функции
Иррациональные функции
Понятие предела функции
Понятие предела функции
Основные характеристики поведения функции
Основные характеристики поведения функции
Предел функции
Предел функции
Геометрическая интерпретация понятия предела функции
Геометрическая интерпретация понятия предела функции
Свойства пределов
Свойства пределов
Определение
Определение
Пусть f(x) и g(x) имеют предел
Пусть f(x) и g(x) имеют предел
Пусть f(x) имеет предел
Пусть f(x) имеет предел
Пределы
Пределы
Предел последовательности
Предел последовательности
Аргумент последовательности
Аргумент последовательности
Число a
Число a
Геометрическая интерпретация предела последовательности
Геометрическая интерпретация предела последовательности
Члены последовательности
Члены последовательности
Число А называется пределом последовательности
Число А называется пределом последовательности
Последовательность {xn} называется бесконечно малой
Последовательность {xn} называется бесконечно малой
Бесконечно большие функции
Бесконечно большие функции
Частные случаи бесконечно больших функций
Частные случаи бесконечно больших функций
Свойства бесконечно больших функций
Свойства бесконечно больших функций
Лемма о двух милиционерах
Лемма о двух милиционерах
Последовательность {xn} называется бесконечно большой
Последовательность {xn} называется бесконечно большой
Предел монотонной последовательности
Предел монотонной последовательности
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Предел функции f(x)
Предел функции f(x)
Теорема
Теорема
Определение предела функции
Определение предела функции
Символы
Символы
Замечательные пределы
Замечательные пределы
Следствия
Следствия
Сравнение б.м. и б.б. функций
Сравнение б.м. и б.б. функций
Теорема
Теорема
Замечание
Замечание
Замечание
Замечание
Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции
Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции
Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)
Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)
Картинки из презентации «Понятие предела функции» к уроку алгебры на тему «Последовательность»

Автор: Пахомова. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока алгебры, скачайте бесплатно презентацию «Понятие предела функции.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 364 КБ.

Скачать презентацию

Понятие предела функции

содержание презентации «Понятие предела функции.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Ведение в Математический анализ – часть математики, в 23x0??? , кроме, может быть, самой точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на
которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § языке ?-?). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x ? x0
Понятие функции Основные понятия Пусть X,Y – множества (в точке x0), если ?M>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, ?),
произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ?x?X поставлен в то | f(x) |>M . Говорят: «f(x) стремится к ? при x ? x0»
соответствие единственный элемент y?Y, то говорят, что на «предел функции f(x) при x ? x0 равен ?». Бесконечно большие
множестве X задана функция (отображение) с множеством значений функции.
Y. Записывают: f: X ? Y, y = f(x) (где f – закон, осуществляющий 24Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б.
соответствие) Называют: X – область (множество) определения при x ? x0 и f(x) ? 0 , ?x?U*(x0, ?) . Тогда | f(x) | = f(x)
функции x (x?X) – аргумент (независимая переменная) Y – область >M , ?x?U*(x0, ?) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к + ?
(множество) значений y (y?Y) – зависимая переменная (функция). при x ? x0» «предел функции f(x) при x ? x0 равен + ?». 2) f(x)
2СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 1) словесный; 2) табличный; 3) – б.б. при x ? x0 и f(x) ? 0 , ?x?U*(x0, ?). Тогда | f(x) | = –
графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется f(x) > M ? f(x) < – M, ?x?U*(x0, ?) Записывают: Говорят:
геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). «f(x) стремится к – ? при x ? x0» «предел функции f(x) при x ?
График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». x0 равен – ?».
4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) 25СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при
неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ). x ? x0, то функция 1/f(x) – б.м. при x ? x0. Если ?(x) – б.м.
3Классификация вещественных функций вещественного аргумента. при x?x0, то функция 1/?(x) – б.б. при x?x0. (связь бесконечно
4ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = xr (r??) 2) больших и бесконечно малых) 2) Если f(x) и g(x) – б.б функции
показательные: y = ax (a > 0, a ? 1) 3) логарифмические: y = одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака. 3)
logax (a > 0, a ? 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = Если f(x) – б.б при x ? x0 , g(x) – ограниченна в некоторой
cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = окрестности U*(x0, ?), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x? x0.
arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x ? x0 , то их произведение f(x)
Элементарной функцией называется функция, которая может быть ? g(x) – тоже б.б. при x ? x0 .
задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, 265) Если f(x) – б.б. при x ? x0 , g(x) – имеет предел при x ?
составленное из основных элементарных функций и действительных x0, причем то их произведение f(x) ? g(x) – б.б. при x ? x0 . 6)
чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, Если f(x) – б.б. при x ? x0 и ?x?U*(x0, ?) имеет место
умножения, деления и взятия функции от функции. неравенство | f(x) | < | g(x) | (| f(x) | ? | g(x) |), то
5Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) функция g(x) тоже является б.б. при x ? x0 . 7) Пусть f(x) и
называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) g(x) – б.б. одного знака при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ?
функцией называют отношение двух многочленов Иррациональными ?(x) ? g(x) , ?x?U*(x0, ?). Тогда функция ?(x) тоже является
функциями называют функции, полученные конечным числом б.б. того же знака при x ? x0 . (лемма о двух милиционерах для
арифметических операций над аргументом х и конечного числа б.б. функций).
композиций степенных функций с рациональным показателем. 27Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
6Алгебраическими функциями называют рациональные (целые Пишут: xn. xn =n2. C=100. 100. 50. C=9. n. 11. 6. 8. 4. 2.
рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции. 28Предел монотонной последовательности. Определение.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для
7 любого n xn < xn+1; обозначают (?) неубывающей, если для
81) Четность функции (четная, нечетная, общего вида); 2) любого n xn ? xn+1; (?) убывающей, если для любого n xn >
Периодичность функции; 3) Монотонность функции (возрастающая, xn+1; (?) невозрастающей, если для любого n xn ? xn+1; (?)
убывающая, неубывающая, невозрастающая); 4) Ограниченность Определение. Возрастающая и убывающая последовательности
функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная). называются монотонными Теорема Вейерштрасса (о существовании
Основные характеристики поведения функции. предела монотонной последовательности) Если последовательность
9Определение предела функции по Коши Пусть функция f(x) {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу),
определена в некоторой окрестности точки x0??? , кроме, может то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn}
быть, самой точки x0 . U*(x0, ?) = U(x0, ?) \ {x0} – проколотая ).
окрестность точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке ?-?). 29Односторонние пределы. Условие существования (x0??). Пусть
Число A?? называется пределом функции f(x) при x , стремящемся к f(x) определена в некоторой окрестности точки x0?? , кроме,
x0 (пределом функции f(x) в точке x0), когда ??>0 ??>0 может быть, самой точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) Число A??
такое, что если x?U*(x0, ?) , то f(x)?U(A, ?) . § Предел называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 слева
функции. (в точке x0 слева), если ??>0 ??>0 такое, что если x
10Геометрическая интерпретация понятия предела функции. удовлетворяет условию 0 < x0 – x < ?, то f(x)?U(A, ?) . 2)
11Свойства пределов Если функция имеет предел при x ? x0 , то Число B?? называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к
этот предел единственный. 2) Если функция f(x) имеет предел при x0 справа, если ??>0 ??>0 такое, что если x удовлетворяет
x ? x0 , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности условию 0 < x – x0 < ?, то f(x)?U(B, ?).
точки x0 (говорят: функция локально ограничена). 303) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен
12ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ?(x) называется бесконечно малой при x +? (–?) (функция стремится к +? (–?) при x, стремя- щемся к x0
? x0 , если 3) ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций). Число слева), если ?M>0 ??>0 такое, что если x удовлетворяет
A?? является пределом функции f(x) при x ? x0 ? f(x) = A + ?(x) условию 0 < x0 – x < ?, то f(x) > M ( f(x) < –M). 4)
, где ?(x) – бесконечно малая при x ? x0 . 4) Пусть f(x) – Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 справа равен +?
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 , ?(x) – (–?), если ?M>0 ??>0 такое, что, если x удовлетворяет
бесконечно малая при x ? x0 . Тогда f(x) ? ?(x) – бесконечно условию 0 < x – x0 < ?, то f(x) > M ( f(x) < –M).
малая при x ? x0 . Обозначают: – предел f(x) в точке x0 слева, – предел f(x) в
135) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x ? x0 . Тогда их точке x0 справа. Если x0 = 0, то пределы слева и справа
сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x обозначают:
? x0 , причем Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x 31ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования
? x0 , то ?c?? функция с ? f(x) тоже имеет предел при x ? x0, предела f(x) при x ? x0 и x0??). Функция f(x) имеет предел
причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». (конечный) при x ? x0 ? существуют конечные и равные между собой
Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют теоремами односторонние пределы функции f(x) при x ? x0 . При этом
о пределах. Замечание. Все свойства пределов и бесконечно больших остаются
146) Пусть f(x) имеет предел при x ? x0 и ??>0 такое, что справедливыми и для односторонних пределов.
f(x) ? 0 (или f(x) > 0), ?x?U*(x0, ?). Тогда 7) Пусть f(x) и 32Определение предела функции. Символы. Определение. Картинка.
g(x) имеют пределы при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ? g(x) Пример. |2x+5-7|=2|x-1|<? ? |x-1|<?= ?/2. F(x) называется
(или f(x) > g(x)), ?x?U*(x0, ?). Тогда 8) ЛЕММА (о двух б. М., Если. F(x) называется б. Б., Если. F(x) называется б. Б.,
милиционерах). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x ? Если.
x0 и ??>0 такое, что f(x) ? ?(x) ? g(x) , ?x?U*(x0, ?). Тогда 33Определение предела функции (продолжение). Символы.
функция ?(x) тоже имеет предел при x ? x0 , причем. Определение. Картинка. Пример. 1.
159) Пусть f: X ? Y , ?: Y ? Z и существуют пределы Тогда 34Замечательные пределы. Название замечательных пределов в
сложная функция ?(f(x)) имеет предел при x ? x0 , причем Формула математическом анализе получили следующие два утверждения: –
(1) называется формулой замены переменной в пределе. первый замечательный предел; – второй замечательный предел.
16ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА.
заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений 35СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из
последовательности – числовое множество, то последовательность формулы замены переменной ? 1-й и 2-й замечательный пределы и их
называют числовой, если область значений – множество функций, то следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая
последовательность называют функциональной. Предел б.м. функция ?(x).
последовательности. 36Сравнение б.м. и б.б. функций. Пусть функции ?(x) и ?(x) –
17Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) б.м. при x ? x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) ?(x) называется бесконечно
значения функции: xn, yn и т.д. Называют: x1 – первый член малой более высокого порядка чем ?(x) если Записывают: ?(x) =
последовательности, x2 – второй член последовательности и т.д. o(?(x)) . 2) ?(x) и ?(x) называются бесконечно малыми одного
xn – n-й (общий) член последовательности. Способы задания порядка, если где С?? и C ? 0 . Записывают: ?(x) = O(?(x)) . 3)
последовательностей: 1) явно (т.е. формулой xn = f(n) ) 2) ?(x) и ?(x) называются эквивалентными, если Записывают: ?(x) ~
рекуррентным соотношением (т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, ?(x).
xn-k) ) Записывают последовательность: { x1, x2, …, xn, …} – 374) ?(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно
развернутая запись; { xn } – короткая запись (где xn – общий бесконечно малой ?(x), если бесконечно малые ?(x) и (?(x))k
член последовательности). имеют один порядок, т.е. если где С?? и C ? 0 . ТЕОРЕМА 6 (о
18ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a?? называется пределом замене бесконечно малых на эквивалентные). Пусть ?(x), ?(x),
последовательности { xn } если ??>0 ?N?? такое, что | xn – a ?1(x), ?1(x) – б.м. при x ? x0. Если ?(x) ~ ?1(x), ?(x) ~ ?1(x),
| <? , ?n>N. Записывают: Говорят: последовательность { xn то ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой). Пусть ?(x) и
} сходится (стремится) к a. Последовательность, имеющую предел, ?(x) – б.м. при x ? x0, причем ?(x) – б.м. более высокого
называют сходящейся (сходящейся к числу a) Последовательность, порядка чем ?(x). Тогда ?(x) = ?(x) + ?(x) ~ ?(x) . Б.м. ?(x)
не имеющую предела, называют расходящейся. называют в этом случае главной частью бесконечно малой ?(x) .
19ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности. 38Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их
Пусть r??, M(r)?Ox M(r) – геометрическая интерпретация числа r?? следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых
. Пусть x0??, ?>0. Интервал (x0 – ?; x0 + ?) называют функций:
?-окрестностью точки x0. (геометрическое определение 39Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно
?-окрестности точки) Будем обозначать: U(x0, ?) Имеем: U(x0, ?) большие функции. А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие
= {x?? : |x – x0| < ?} (алгебраическое определение при x ? x0, то 1) f(x) называется бесконечно большой более
?-окрестности точки). высокого порядка чем g(x) если 2) f(x) и g(x) называются
20Из определения предела последовательности следует: если бесконечно большими одного порядка, если где С?? и C ? 0 ; 3)
{xn}?a , то с геометрической точки зрения это означает, что в f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими
любой ?-окрестности точки a находятся все члены (записывают: f(x) ~ g(x)), если 4) f(x) называется бесконечно
последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если где
числа членов этой последовательности. (Геометрическая С?? и C ? 0 .
интерпретация предела последовательности). ? a – точка 40ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные).
«сгущения» последовательности { xn }. Пусть f(x), g(x), f1(x), g1(x) – б.б. при x ? x0. Если f(x) ~
21Число А называется пределом последовательности {xn} при n??, f1(x) , g(x) ~ g1(x), то ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно
если Пишут: Доказать: xn. 1. 1. 1±1/7. n. n. 11. 11. 6. 6. 8. 8. большой). Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x ? x0, причем g(x) –
4. 4. 2. 2. бесконечно большая более высокого порядка чем f(x). Тогда z(x) =
22Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если то f(x) + g(x) ~ g(x) . Б.б. g(x) называют в этом случае главной
есть если. xn. 1. ?=0,2. ?=0,1. 2? n. 2 4 6 8 10 12 14 16. 2? частью бесконечно большой z(x) .
23Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
«Понятие предела функции» | Понятие предела функции.ppt
http://900igr.net/kartinki/algebra/Ponjatie-predela-funktsii/Ponjatie-predela-funktsii.html
cсылка на страницу

Последовательность

другие презентации о последовательности

«Предел числовой последовательности» - Предел произведения равен произведению пределов: Предел частного равен частному пределов: Числовые последовательности. Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности. – Гармонический ряд. Способы задания последовательностей. Свойства пределов. Рассмотрим последовательность: Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …

«Предел функции в точке» - В частности, в точке. Функция определена. Если выражение. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Функция. Саму. Точка. При стремлении. Функцию. Однако, заданную алгебраическую дробь можно сократить. Равен значению функции в точке. Непрерывна на промежутках. Но при вычислении предела функции при.

«Вычисление пределов» - Бесконечно большая величина. Бесконечно маленькая величина. Бесконечно маленькой величиной называется переменная, которая при всех своих изменениях с некоторого места становится и остается по модулю меньше любого, сколь угодно малого, положительного числа. Бесконечно большой величиной называется переменная, которая при всех своих изменениях с некоторого места становится и остается по модулю больше любого, сколь угодно большого, положительного числа.

«Предел функции» - Некоторые пределы невозможно найти теми способами, которые были изложены. Мы выработали умение выбирать способ вычисления предела. Мы изучили большой объем теоретического и практического материала. Для нахождения предела непосредственного нахождения нужно заменить пределы функции в точке. Правило вычисления пределов нельзя применять в некоторых случаях.

«Предел переменной» - lim a=a; lim (x+y+z+…+t)=lim x+lim y+…+lim t; lim (xy…t)=lim x lim y …lim t; lim (cx)=c lim x; lim (x/y)=(lim x) / (lim y); Определение. Предел переменной величины. Найти предел. Определение: Основные свойства пределов: Вычислить пределы: f(0,9)=2,9 f(0,99)=2,99 f(0,999)=2,999 f(1,1)=3,1 f(1,01)=3,101.

«Предел последовательности» - 4. Число b называют пределом последовательности , если: Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке. Предел суммы равен сумме пределов: Примеры. Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки зрения. I. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

Урок

Алгебра

34 темы
Картинки
Презентация: Понятие предела функции | Тема: Последовательность | Урок: Алгебра | Вид: Картинки
900igr.net > Презентации по алгебре > Последовательность > Понятие предела функции.ppt