Математики Скачать
презентацию
<<  Великие математики и их открытия Брадис  >>
Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку
Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку
Карта презентации
Карта презентации
Карта презентации
Карта презентации
Блокнот
Блокнот
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
Прямая Эйлера
В
В
Теорема Эйлера о многогранниках
Теорема Эйлера о многогранниках
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р
Теорема Эйлера о многогранниках
Теорема Эйлера о многогранниках
Теория графов и задача Эйлера
Теория графов и задача Эйлера
Теория графов и задача Эйлера
Теория графов и задача Эйлера
Теория графов и задача Эйлера
Теория графов и задача Эйлера
Картинки из презентации «Эйлер» к уроку математики на тему «Математики»

Автор: Екатерина. Чтобы познакомиться с картинкой полного размера, нажмите на её эскиз. Чтобы можно было использовать все картинки для урока математики, скачайте бесплатно презентацию «Эйлер.ppt» со всеми картинками в zip-архиве размером 76 КБ.

Скачать презентацию

Эйлер

содержание презентации «Эйлер.ppt»
Сл Текст Сл Текст
1Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку. 12получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2.
2Карта презентации. 13Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один
3Блокнот. x. y. Z = (x+ky)/(k+1), где k= x1/ y1. 1. z. x1. раз в виде Р + 2 = В + Г И другой раз в виде 4 = 2В - 2Р + 2Г
y1. 4. 3d=a+b+c. 2. 5. 3. d=a+b+c. Для многогранников, где: Р – Складывая эти равенства, получаем Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р Так как у
рёбра, В – вершины и Г – грани: - Центроид. 1)в - р + г = 2. 2)Р каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г? 2Р.
+ 6? 3В и Р + 6? 3Г. M – точки n – дуги, попарно не Отсюда сразу получаем Р + 6? 3В. Утверждение доказано.
пересекаются, не проходят через m-2 точки l – количество Доказательство: Обозначим через Гi число i-угольных граней в
областей m – n + l = 2. - Ортоцентр. - Центр описанной многограннике М. Ясно, что Г = Г3 + Г4 + Г5 + … Ясно также, что
окружности. каждая i-угольная грань содержит i ребер многогранника. С другой
4Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере. Идеальный стороны, каждое ребро многогранника принадлежит в точности двум
математик 18 века - так часто называют Эйлера(1707-1789). Он граням. Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … каждое ребро
родился в маленькой тихой Швейцарии. Примерно в то же время многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды. Отсюда имеем
переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +… Рассмотрим теперь сумму S плоских углов
созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и многогранника: S = Г3 ·? + Г4 · 2? + Гi · ( i -2 )? + … С учетом
Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию. Но полученных соотношений и теоремы Эйлера соотношение можно
когда ребята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит переписать так: S = Г3 ( 3 - 2 )? + Г4 (4 -2 )? + Гi ( i - 2 )?
места для их умов. Зато в России была учреждена в 1725 году + … = 2Р? - 2Г? = 2В? - 4?.
Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей 14Теорема Эйлера о многогранниках. Задача. Доказать теорему
отправилась туда. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические Эйлера для плоского графа. (Граф называется плоским, если его
депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, можно расположить на плоскости так, чтобы ребра пересекались
составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения только в вершинах.). Если в графе есть цикл, то есть внутренняя
Луны. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через грань. Возьмем цикл, ограничивающий внутреннюю грань. Выкинем из
8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король него одно ребро. Граф остался связным, плоским. Число Р
математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул уменьшилось на один, но и число Г уменьшилось на один, т.к.
Берлин и вернулся в Россию. Удивительно: слава Эйлера не грань, которая была по сторону от стертого ребра стерлась. Таким
закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре образом, число В+Г-Р не изменилось. Если в графе опять есть цикл
после переезда в Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла мы поступаем так же. Т.к. ребер в графе конечное число, а
Петербургская математическая школа, более чем наполовину количество ребер постепенно уменьшается, то когда-нибудь наше
состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация стирание его рёбер закончится. Т.е. мы придем к ситуации, что
главной его книги - "Основ дифференциального и число В+Г-Р не изменилось по сравнению с первоначальным, граф
интегрального исчисления". В начале сентября 1783 Эйлер остался связным, плоским и циклов в графе нет. => граф стал
почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занимался деревом, а грань осталась одна - внешняя. Продолжаем стирать
математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и грани. Число Р уменьшается на один, число В уменьшается на один,
«прекратил вычислять и жить». Похоронен на Смоленском число В+Г-Р не меняется. Полученный граф снова дерево, он
лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен плоский и связный, а число вершин у него уменьшилось =>
осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры. Л. Эйлер. поступаем так, пока не останется две вершины, соединенные
5Прямая Эйлера. = Н. Прямая Эйлера – прямая, которой ребром. Тут уже не сложно посчитать, что В+Г-Р=2+1-1=2, а число
принадлежат ортоцентр (точка пересечения высот) , центроид В+Г-Р не менялось => для начального графа оно тоже 2.
(точка пересечения медиан) и центр описанной окружности 15Теория графов и задача Эйлера. Издавна среди жителей
треугольника. Дан прямоугольный треугольник АСВ. Проведем Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по
медиану СО. Середина O гипотенузы AB является центром описанной всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие
около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и
2:1, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось,
треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с однако доказать, что это даже теоретически невозможно. В 1736
ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика,
одной прямой, причем OH=3OG. члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, Эйлер пишет о
6Прямая Эйлера. Деление отрезка в данном отношении. том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко
7Прямая Эйлера. определить есть ли у неё решение. На упрощённой схеме части
8Прямая Эйлера. города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а
9Прямая Эйлера. частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе
10Прямая Эйлера. Задача. Какие стороны пересекает прямая рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число нечётных
Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках? Решение вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа
Пусть AB > BC > CA. Легко проверить, что для всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы
остроугольного и тупоугольного треугольников точка H пересечения нечётное число нечётных вершин. Если все вершины графа чётные,
высот и центр O описанной окружности расположены именно так, как то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при
на рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка O лежит этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той
внутри треугольника BHC1, а для тупоугольного точки O и B лежат же вершине. Граф с более чем двумя нечётными вершинами
по одну сторону от прямой CH). Поэтому в остроугольном невозможно начертить одним росчерком. Граф кёнигсбергских мостов
треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую сторону AB и имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по
наименьшую сторону AC, а в тупоугольном треугольнике — всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
наибольшую сторону AB и среднюю по длине сторону BC. 16Теория графов и задача Эйлера. Теорема Эйлера. (5). Пусть на
11В. Р. Г. Х. 4. 6. 4. 2. 8. 12. 6. 2. n+1. 2n. n+1. 2. 2n. плоскости задано m точек и n попарно непересекающихся дуг,
3n. n+2. 2. Теорема Эйлера о многогранниках. Многогранник. каждая из которых соединяет какие-либо две данные точки и не
Тетраэдр. Куб. N-угольная пирамида. N-угольная призма. проходит через остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят
(4)Теорема Эйлера: Пусть В - число вершин выпуклого плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из
многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то m – n + l =
верно равенство В - Р + Г = 2 Число х = В - Р + Г называется 2. В случае, изображенном на рисунке 1, все условия теоремы
эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера выполнены, m=12, n=18, l=8 и m–n+l=2. На рисунках 2 и 3
Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. изображены случаи, когда условия этой теоремы не выполняются.
То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих Так, на рисунке 2 из точки A1 нельзя попасть в точку A5 и
многогранников, видно из следующей таблицы: m–n+l=3?2, а на рисунке 3 линия, соединяющая точки A1 и A2,
12Теорема Эйлера о многогранниках. F. Имеется много является самопересекающейся и опять m–n+l=3?2. В некоторых
доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется задачах совокупность, состоящую из нескольких точек и
формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это соединяющих их попарно непересекающихся дуг, мы называем картой;
доказательство. Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от при этом точки из этой совокупности мы называем вершинами, а
какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра области, на которые дуги делят плоскость, — странами.
О . Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. 17Теория графов и задача Эйлера. Теорема Эйлера. (5) Задача.
Подсчитаем двумя способами сумму ? углов всех полученных Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли
многоугольников и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому
?(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). колодцу? Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными точками и
Сумма членов вида ?n равна общему числу сторон всех граней, т.е. каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так,
2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у чтобы девять полученных дуг попарно не пересекались. Тогда
нас всего Г слагаемых, ? = ?(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены
при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят
лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2?. Таких плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей
вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию
вклад равен 2?(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять
дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не
вклад равен 2?(k - 2). Таким образом, ? = 2?(B - k) + 2?(k - 2) меньше ?·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.
= 2?(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2?,
«Леонард Эйлер» | Эйлер.ppt
http://900igr.net/kartinki/matematika/Ejler/Leonard-Ejler.html
cсылка на страницу

Математики

другие презентации о математиках

«Олимпиада по математике» - Всероссийский тур. Теория делимости чисел. Региональный тур. Внутриклассная олимпиада. Провести школьный тур олимпиады по единым текстам, предложенным методистом ГМЦ. Задания для проведения школьного тура. Школьный тур. Нестандартные задачи по математике. Окружной тур. Алгебра. Этапы Всероссийской олимпиады по математике.

«Логарифм числа» - Натуральным называется логарифм, основание которого равно e. Основное логарифмическое тождество. Понятие логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Другая форма определения логарифма. Нахождения показателя степени по данным значениям степени и её основания. Логарифмы. Определение логарифма.

«Дифференциальное уравнение» - Общее решение. К какому типу относятся дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. ОДУ первого порядка. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Линейные уравнения. ОДУ высших порядков. Решение. Общее решение уравнения. Уравнение четвёртого порядка. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

«Задачи на проценты» - Изучение нового материала. Простейшие задачи на проценты можно разделить условно на 3 типа. Решаем задачи на проценты. Самостоятельная работа. Цели урока. Задачи на проценты. Проверка знаний учащимися фактического материала. Решение задач. Подведение итогов. Домашнее задание. Организационный момент.

Урок

Математика

67 тем
Картинки
Презентация: Эйлер | Тема: Математики | Урок: Математика | Вид: Картинки