Презентация на тему «1.Обратные тригонометрические функции»

1.Обратные тригонометрические функции

Задача 1.

arctg 3 =

Задача 2.

треугольнике АВС, то

В этом пункте мы хотели бы рассмотреть несколько задач, связанных с вычислением значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ответ:

Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон (рис. 1), как задание выполняется практически устно.

ВАМ, arctg 2 =

, arctg 1 =

BAC (

BAC — острый угол прямоугольного равнобедрен­ного треугольника AВС).

Вычислите:

Решение. Поскольку arctg

=

CAD (рис. 2), arcctg 5 =

BAD, а угол ВАС — острый в прямоугольном равнобедренном

Ответ:

Задача 3

Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство

Биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно.

На рис. 3 изображен треугольник АВС,

Вс = 5, ав = 13

и ВМ - биссектриса

угла АВС. Следовательно,

АМ= 13х и АС= 12,

Задача 4.

Пифагора имеет длину, равную 9.

Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и AMB, найдем

Вычислите:

, В котором

ACB = 90°,

МС = 5х,

Отсюда

. Тогда

Вычислите

Решение.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС,

где АB=BС=41, ВМ

Ас,

Вм=40,cn

AB

(рис.4). Отрезок AM согласно

Теореме

Видно, что

2. Алгебраические выражения

Задача 5.

Выражения

Не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + yz.

По теореме, обратной теореме Пифагора,

Уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD

Что число у есть среднее пропорциональное

Чисел х и z, и по теореме,

Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти

Значение выражения х + у + z или

Часто в алгебре встречаются задания, в которых по заданным условиям на переменные, необходимо найти значение некоторого выражения, содержащего их.

Из условий

,

И

Для положительных х, у и z, не вычисляя

Их значений, указать значение

Решение. Привычное задание решить систему уравнений

У учащихся затруднений не вызывает.

Однако в данном случае

Нужно,

числа х, у и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А, рассмотрев второе

С прямым углом D (рис. 6).

Третье уравнение системы разрешает утверждать,

Обратной

теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС — прямой.

Теперь рассмотрим выражение ху + yz.

В каком отношении находятся числа х и у; z и у; х + z и у.

Ответ: 12

Задача 6

и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя

и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°.

На рис. 8 изображены эти треугольники.

ACB = 90°. Теперь найдем площади

Для положительных х, у и z из условий

Не находя значения х, у и z,

Вычислите значение выражения ху + уz + zx.

Решение.

Запишем три условия задачи в виде системы уравнений

По теореме, обратной теореме, Пифагора, числа

И 5 являются длинами соответственно

Катетов и гипотенузы

треугольника АОС с прямым углом АОС.

.

Числа х,

теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, x,

Поскольку 52 + 122 = 132, то в треугольнике АВС

треугольников АОВ, АОС, ВОС, АВС.

Видно, что значение выражения ху + yz +zx равно учетверенной площади треугольника ABC.

Итак, xy+yz+zx =120

Ответ:120

Задача 7

Рассуждая так же, как и в задаче 8, получаем (рис. 9):

Для положительных х, у и z, не вычисляя их значения из системы уравнений

определите величину ху + 2уz + Зxz.

Так как площадь треугольника AВС равна 6, то

Ответ:

3. Системы уравнений

Задача 8.

Решению систем уравнений в алгебре отводится достаточно большое внимание. Они встречаются и в

Поэтому, тем более, интересен такой нестандартный подход к решению некоторых систем

Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у и z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы.

треугольника. Значит, система не имеет решений.

Из промежутка (1; 25).

вариантах ЕГЭ.

Уравнений, рассмотренных в этом пункте.

Имеет ли система уравнений

Решения для х > 0, у > 0 и z> 0?

Тогда возможна ее геометрическая интерпретация, как в задаче 8 (рис.10).

Но такого треугольника АВС не может быть, так как не выполняется неравенство

Примечание. Для положительных x,y и z данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения поставить число

Ответ: нет решений.

Рис.10

Задача 9

Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2.

Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности,

Решите систему уравнений

Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны. Поскольку

То

Числа у,

И х являются длинами

Соответственно катетов и гипотенузы треугольника

АВС с прямым углом АСВ (рис. 11).

То

Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8.

Ответ: (10; 6), (10; 8).

Задача 10

Очевидно, что 0<х<1, 0 < у < 1, 0<z<1.

А сумма квадратов длин его сторон равна 1».

Решите систему уравнений

Решение.

Первое уравнение системы задает плоскость, второе — сферу. Если их изобразить, то

Согласно первому уравнению

(*)

Тогда второе уравнение принимает вид

Преобразовав его, получаем квадратное уравнение относительно х:

Дискриминант этого уравнения равен - (у

-1)2.

Следовательно, -(у

-1)2

0. Это

Неравенство выполняется при

Уравнение (*) можно было преобразовать в квадратное относительно у с решением

Значение

Находится из первого уравнения.

Примечание. Задачу можно переформулировать, например, так: «Определите вид треугольника, периметр которого равен

,

Задача 11

Решение.

где H=OD (D — центр треугольника АВС).

Этот объем можно найти иначе:

. Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит,

плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку D(x; у; z) — центр

равностороннего треугольника АВС,

Решите систему уравнений

Уравнение x+y+z=3 - есть уравнение плоскости (рис. 12), пересекающей оси прямоугольной

Декартовой системы

координат в , А(3;0;0), B(0;3;0), С(0; 0; 3).

Уравнение

Есть уравнение сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R,

Равным

Вычислим расстояние от точки О до плоскости AВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС.

Объем V тетраэдра равен

Приравняв

И

, Получаем H=

где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0),

С(0;0;3), то x=y=z.

Заменив у и z на х в уравнениях данной системы, получаем x=1.

Ответ: (1; 1; 1).

Задача 12

Решение.

Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения:

точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 ? х ? 10 и -1 ? у ? 5

Ответ: (6; 2).

Решите систему уравнений

Пусть это расстояние между точками М(х; у) и A(2;-1).

Допустим, что это расстояние между точками М (х;у} и В(10; 5).

Найдем расстояние между точками А(2; -1) и В(10;5):

Итак, второе уравнение системы можно интер­претировать как равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право утверждать, что

Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2; -1) и B(10; 5).

Т.Е.

, или Зх — 4у = 10.

И

Отсюда

Запишем новую систему:

Значит, х = 6 и у = 2.

4. Аналитический способ решения

Задача 1.

Задача 2.

Рассмотрим аналитический способ решения некоторых задач, рассмотренных выше, чтобы была возможность

Учитывая условие, что

Получим, что k=1 и

Т.Е.

Убедиться в том, что геометрический подход дает более быстрое, а главное, красивое решение этих задач.

Рассмотрим аналитический способ решения.

Решение.

Обозначим:

Где

Найдем

Таким образом,

Ответ:

Решим систему аналитически:

Решение:

Обозначим уравнение

- (1),

(1) -

(2) -

Уравнение

- (2).

Заметим, что

А

Сделаем замену

Тогда уравнение (2) системы запишется в виде:

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

Сделаем обратную замену:

Получим систему:

Поскольку мы не следили за равносильностью переходов, сделаем проверку:

Ответ: (6;2).