№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
1.Обратные тригонометрические функцииЗадача 1. arctg 3 = Задача 2. треугольнике АВС, то В этом пункте мы хотели бы рассмотреть несколько задач, связанных с вычислением значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Ответ: Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон (рис. 1), как задание выполняется практически устно. ВАМ, arctg 2 = , arctg 1 = BAC ( BAC — острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника AВС). Вычислите: Решение. Поскольку arctg = CAD (рис. 2), arcctg 5 = BAD, а угол ВАС — острый в прямоугольном равнобедренном Ответ: |
2 |
 |
Задача 3Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство Биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно. На рис. 3 изображен треугольник АВС, Вс = 5, ав = 13 и ВМ - биссектриса угла АВС. Следовательно, АМ= 13х и АС= 12, Задача 4. Пифагора имеет длину, равную 9. Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и AMB, найдем Вычислите: , В котором ACB = 90°, МС = 5х, Отсюда . Тогда Вычислите Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС, где АB=BС=41, ВМ Ас, Вм=40,cn AB (рис.4). Отрезок AM согласно Теореме Видно, что |
3 |
 |
2. Алгебраические выраженияЗадача 5. Выражения Не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + yz. По теореме, обратной теореме Пифагора, Уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD Что число у есть среднее пропорциональное Чисел х и z, и по теореме, Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти Значение выражения х + у + z или Часто в алгебре встречаются задания, в которых по заданным условиям на переменные, необходимо найти значение некоторого выражения, содержащего их. Из условий , И Для положительных х, у и z, не вычисляя Их значений, указать значение Решение. Привычное задание решить систему уравнений У учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае Нужно, числа х, у и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А, рассмотрев второе С прямым углом D (рис. 6). Третье уравнение системы разрешает утверждать, Обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС — прямой. Теперь рассмотрим выражение ху + yz. В каком отношении находятся числа х и у; z и у; х + z и у. Ответ: 12 |
4 |
 |
Задача 6и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°. На рис. 8 изображены эти треугольники. ACB = 90°. Теперь найдем площади Для положительных х, у и z из условий Не находя значения х, у и z, Вычислите значение выражения ху + уz + zx. Решение. Запишем три условия задачи в виде системы уравнений По теореме, обратной теореме, Пифагора, числа И 5 являются длинами соответственно Катетов и гипотенузы треугольника АОС с прямым углом АОС. . Числа х, теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, x, Поскольку 52 + 122 = 132, то в треугольнике АВС треугольников АОВ, АОС, ВОС, АВС. Видно, что значение выражения ху + yz +zx равно учетверенной площади треугольника ABC. Итак, xy+yz+zx =120 Ответ:120 |
5 |
 |
Задача 7Рассуждая так же, как и в задаче 8, получаем (рис. 9): Для положительных х, у и z, не вычисляя их значения из системы уравнений определите величину ху + 2уz + Зxz. Так как площадь треугольника AВС равна 6, то Ответ: |
6 |
 |
3. Системы уравненийЗадача 8. Решению систем уравнений в алгебре отводится достаточно большое внимание. Они встречаются и в Поэтому, тем более, интересен такой нестандартный подход к решению некоторых систем Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у и z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы. треугольника. Значит, система не имеет решений. Из промежутка (1; 25). вариантах ЕГЭ. Уравнений, рассмотренных в этом пункте. Имеет ли система уравнений Решения для х > 0, у > 0 и z> 0? Тогда возможна ее геометрическая интерпретация, как в задаче 8 (рис.10). Но такого треугольника АВС не может быть, так как не выполняется неравенство Примечание. Для положительных x,y и z данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения поставить число Ответ: нет решений. Рис.10 |
7 |
 |
Задача 9Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2. Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности, Решите систему уравнений Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны. Поскольку То Числа у, И х являются длинами Соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС с прямым углом АСВ (рис. 11). То Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8. Ответ: (10; 6), (10; 8). |
8 |
 |
Задача 10Очевидно, что 0<х<1, 0 < у < 1, 0<z<1. А сумма квадратов длин его сторон равна 1». Решите систему уравнений Решение. Первое уравнение системы задает плоскость, второе — сферу. Если их изобразить, то Согласно первому уравнению (*) Тогда второе уравнение принимает вид Преобразовав его, получаем квадратное уравнение относительно х: Дискриминант этого уравнения равен - (у -1)2. Следовательно, -(у -1)2 0. Это Неравенство выполняется при Уравнение (*) можно было преобразовать в квадратное относительно у с решением Значение Находится из первого уравнения. Примечание. Задачу можно переформулировать, например, так: «Определите вид треугольника, периметр которого равен , |
9 |
 |
Задача 11Решение. где H=OD (D — центр треугольника АВС). Этот объем можно найти иначе: . Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит, плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку D(x; у; z) — центр равностороннего треугольника АВС, Решите систему уравнений Уравнение x+y+z=3 - есть уравнение плоскости (рис. 12), пересекающей оси прямоугольной Декартовой системы координат в , А(3;0;0), B(0;3;0), С(0; 0; 3). Уравнение Есть уравнение сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R, Равным Вычислим расстояние от точки О до плоскости AВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объем V тетраэдра равен Приравняв И , Получаем H= где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0;0;3), то x=y=z. Заменив у и z на х в уравнениях данной системы, получаем x=1. Ответ: (1; 1; 1). |
10 |
 |
Задача 12Решение. Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения: точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 ? х ? 10 и -1 ? у ? 5 Ответ: (6; 2). Решите систему уравнений Пусть это расстояние между точками М(х; у) и A(2;-1). Допустим, что это расстояние между точками М (х;у} и В(10; 5). Найдем расстояние между точками А(2; -1) и В(10;5): Итак, второе уравнение системы можно интерпретировать как равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право утверждать, что Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2; -1) и B(10; 5). Т.Е. , или Зх — 4у = 10. И Отсюда Запишем новую систему: Значит, х = 6 и у = 2. |
11 |
 |
4. Аналитический способ решенияЗадача 1. Задача 2. Рассмотрим аналитический способ решения некоторых задач, рассмотренных выше, чтобы была возможность Учитывая условие, что Получим, что k=1 и Т.Е. Убедиться в том, что геометрический подход дает более быстрое, а главное, красивое решение этих задач. Рассмотрим аналитический способ решения. Решение. Обозначим: Где Найдем Таким образом, Ответ: Решим систему аналитически: Решение: Обозначим уравнение - (1), |
12 |
 |
(1) -(2) - Уравнение - (2). Заметим, что А Сделаем замену Тогда уравнение (2) системы запишется в виде: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: Сделаем обратную замену: Получим систему: Поскольку мы не следили за равносильностью переходов, сделаем проверку: Ответ: (6;2). |
«1.Обратные тригонометрические функции» |
http://900igr.net/prezentacija/algebra/1.obratnye-trigonometricheskie-funktsii-241524.html