Презентация на тему «2.1. Многочлены от одной переменной»

2.1. Многочлены от одной переменной

Многочлены. Делимость многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена.

1.1. Многочлены

Выражение вида: называется многочленом степени n одного аргумента (переменной). Будем обозначать многочлен одной переменной через , , …

Степенью многочлена называется наивысшая степень аргумента многочлена

Для указания степени многочлена будем использовать нижний индекс заглавной буквы: .

Запись представляет собой стандартный вид многочлена одной переменной

х степени n, где – коэффициенты степеней переменной х.

Определение 1

Два многочлена и , называются равными, если их коэффициенты при соответствующих степенях х равны,

Т.Е. Пусть , , тогда , , …

Многочлен называется многочленом степени выше чем многочлен , если

наивысший показатель степени х многочлена больше наивысшего показателя степени х многочлена т. е.

Многочлены и называются многочленами одинаковой степени, если

Основные формулы сокращенного умножения:

; ; ; ; ; ; ;

1.2. Деление многочлена на многочлен

Любой многочлен может быть представлен в виде: , где – делитель многочлена , – частное от деления многочлена на многочлен ,

– остаток от деления многочлена на многочлен

Причем, сумма степеней делителя и частного равна степени делимого, т. е. , степень остатка меньше степени делителя.

Определение 1

Многочлен делится на многочлен , если остаток от деления равен нулю, т.е. .

Пример 1

Найти частное и остаток от деления многочлена на .

Деление столбиком

X4 + 3x3 - 5x2 + 6x – 1 -x2 + 3x + 2 x4 - 3x3 - 2x2 - x2 - 6 x - 15 = g2(х) 6x3 - 3x2 + 6x 6x3 -18x2 - 12x 15x2 + 18x - 1 15x2 - 45x - 30 63 x + 29 = r(x)

1.3. Деление многочлена на двучлен

Теорема Безу

При делении многочлена на двучлен остаток от деления равен значению многочлена при , т. е. .

Доказательство

Пусть при делении многочлена на двучлен имеем .

Подставим в полученное выражение значение , получим , или , или , что

и требовалось доказать.

Определение 1

Корнем многочлена называется такое значение аргумента, при котором значение многочлена обращается в нуль.

Таким образом, является корнем многочлена , если

Следствия из теоремы Безу

1.

Многочлен делится на двучлен тогда и только тогда, когда число ? является корнем многочлена .

Другими словами,

Если при делении многочлена на двучлен остаток r(x) от деления равен нулю, то значение – корень многочлена.

Доказательство

По теореме Безу , если , то следовательно . По определению корня многочлена имеем, что – корень многочлена, что и требовалось доказать.

2.

3.

4.

Пример1

Решение

Пример 2

Решение:

Теорема

Доказательство

Примечание

Пример 4

Решение

1. 4. Корни многочлена

Теорема о корнях многочлена.

Определение

Теорема (без доказательства)