Системы уравнений
<<  Линейная функция и линейные уравнения вокруг нас Линейное уравнение с двумя переменными  >>
3. Системы линейных уравнений
3. Системы линейных уравнений
1. Если a
1. Если a
Определение: Систему уравнений вида:
Определение: Систему уравнений вида:
Решением системы (3
Решением системы (3
Не всякая система вида (3
Не всякая система вида (3
3.2 Правило Крамера
3.2 Правило Крамера
Умножим первое уравнение на
Умножим первое уравнение на
На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен
На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен
Правые части уравнений обозначим соответственно символами
Правые части уравнений обозначим соответственно символами
Определители
Определители
(3
(3
Пример:
Пример:
13
13
14
14
3.3 Совместность систем
3.3 Совместность систем
Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3
Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3
Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема
Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема
Пример:
Пример:
Переставим вторую и третью строки
Переставим вторую и третью строки
3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений
3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений
Матрица A в этом случае будет квадратной
Матрица A в этом случае будет квадратной
!
!
Действительно,
Действительно,
(3
(3
Пример:
Пример:
Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу
Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу
Тогда обратная матрица имеет вид:
Тогда обратная матрица имеет вид:
Ответ:
Ответ:
3.5 Метод Гаусса
3.5 Метод Гаусса
В результате получим систему вида:
В результате получим систему вида:
Если k=n, то система имеет единственное решение, если k
Если k=n, то система имеет единственное решение, если k
Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к
Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к
Пример
Пример
34
34
Составим систему уравнений
Составим систему уравнений

Презентация: «3. Системы линейных уравнений». Автор: Пользователь. Файл: «3. Системы линейных уравнений.ppt». Размер zip-архива: 573 КБ.

3. Системы линейных уравнений

содержание презентации «3. Системы линейных уравнений.ppt»
СлайдТекст
1 3. Системы линейных уравнений

3. Системы линейных уравнений

Леопольд Кронекер

1

2 1. Если a

1. Если a

0 , то разделив обе части уравнения (3.1) на

2. В случае a=0 и

3. Если a=0 и b=0, то любое число будет удовлетворять уравнению (3.1); в этом случае рассматриваемое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

3.1 Общее понятие о системе линейных уравнений

Простейшим примером уравнения первой степени, или как говорят, линейного уравнения, является уравнение с одним неизвестным

Получим единственное решение

Уравнение (3.1) не имеет решений.

2

3 Определение: Систему уравнений вида:

Определение: Систему уравнений вида:

Называют системой m линейных уравнений с n неизвестными.

Через

Обозначены неизвестные

Системы (их число n не предполагается обязательно равным числу уравнений m).

Величины

Называются коэффициентами системы,

А величины

- Свободными членами.

3

4 Решением системы (3

Решением системы (3

2) называется совокупность таких чисел

Если все свободные члены

Равны нулю,

То система называется однородной, если хотя бы один свободный член не равен нулю, то система называется неоднородной.

Система (3.2) называется квадратной, если m=n.

Которая при подстановке в систему, вместо неизвестных

Обращает все уравнения этой системы в тождества.

4

5 Не всякая система вида (3

Не всякая система вида (3

2) имеет решение. Так система линейных уравнений

Заведомо не имеет ни одного решения.

Система уравнений вида (3.2), называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, если совместная система имеет два и более решений, то она называется неопределённой.

5

6 3.2 Правило Крамера

3.2 Правило Крамера

Для простоты будем рассматривать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Из коэффициентов системы составим определитель:

Предположим, что ??0.

Определитель называют определителем системы.

6

7 Умножим первое уравнение на

Умножим первое уравнение на

Второе - на

Третье – на

И сложим

7

8 На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен

На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен

А на основании свойства 7 коэффициенты при y и z , будут равны нулю

Поступая аналогично, исключим x и z, а также x и y.

Таким образом из системы (3.3) получим систему:

(3.4)

8

9 Правые части уравнений обозначим соответственно символами

Правые части уравнений обозначим соответственно символами

9

10 Определители

Определители

Получаются из определителя

При помощи замены соответственно его первого, второго и , наконец, третьего столбца столбцом свободных членов системы (3.3).

Тогда система уравнений (3.4) примет вид

10

11 (3

(3

6)

Т.к.

То из (3.5) находим

Формулы получили название формул Крамера и применимы лишь в случае, если определитель системы отличен от нуля.

11

12 Пример:

Пример:

Решить систему:

Решение:

Вычислим определитель системы:

12

13 13

13

14 14

14

15 3.3 Совместность систем

3.3 Совместность систем

Теорема Кронекера-Капелли

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

15

16 Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3

Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3

8), а через В – матрицу, полученную из А присоединением столбца свободных членов

Mатрицу А называют основной,

матрицу В называют расширенной

16

17 Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема

Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема

Кронекера-Капелли):

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В.

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

17

18 Пример:

Пример:

Проверить на совместность систему

Решение

Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги основной и расширенной матриц.

Умножим третью строку на -1 и прибавим к первой

18

19 Переставим вторую и третью строки

Переставим вторую и третью строки

Получили rangA=2, rangB=3, откуда

Т.е. система уравнений несовместна.

19

20 3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений

3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

20

21 Матрица A в этом случае будет квадратной

Матрица A в этом случае будет квадратной

Составим определитель этой матрицы:

21

22 !

!

Введём матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов

Тогда систему (3.8) в матричном виде можно записать:

22

23 Действительно,

Действительно,

Две матрицы равны, если будут равны соответствующие элементы, т.е. мы получили исходную систему уравнений.

23

24 (3

(3

9)

Умножим это выражение слева на обратную матрицу:

24

25 Пример:

Пример:

Решить систему средствами матричного исчисления

Решение.

25

26 Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу

Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу

26

27 Тогда обратная матрица имеет вид:

Тогда обратная матрица имеет вид:

27

28 Ответ:

Ответ:

28

29 3.5 Метод Гаусса

3.5 Метод Гаусса

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Исключим из всех уравнений системы начиная со второго, неизвестную x1. Для этого первое уравнение нужно умножить на

И сложить со вторым уравнением и т.Д.

29

30 В результате получим систему вида:

В результате получим систему вида:

Далее первое и второе уравнения оставим без изменения,

А начиная с третьего уравнения, будем избавляться от переменной x2 и т.Д.

Продолжая этот процесс, в конечном счёте получится система вида:

30

31 Если k=n, то система имеет единственное решение, если k

Если k=n, то система имеет единственное решение, если k

n, а именно k<n, то система имеет бесконечное множество решений.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу составленную из коэффициентов системы и их свободных членов:

31

32 Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к

Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к

тому, чтобы на диагонали были не нулевые элементы, а элементы лежащие ниже главной диагонали равны нулю.

32

33 Пример

Пример

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение:

33

34 34

34

35 Составим систему уравнений

Составим систему уравнений

Очевидно, что

35

«3. Системы линейных уравнений»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/3.-sistemy-linejnykh-uravnenij-256370.html
cсылка на страницу

Системы уравнений

17 презентаций о системах уравнений
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Системы уравнений > 3. Системы линейных уравнений