Множества
<<  Канторово множество Выражение и множество его значений  >>
Структура множества решений диофантова уравнения
Структура множества решений диофантова уравнения
Постановка задачи
Постановка задачи
Доказательство отсутствия других решений
Доказательство отсутствия других решений
Это диофантово уравнение имело конечное множество решений (всего три)
Это диофантово уравнение имело конечное множество решений (всего три)
Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными: ax+by =
Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными: ax+by =
Уравнение Пелля
Уравнение Пелля
Другая формулировка задачи
Другая формулировка задачи
 
 
Произведение двух подходящих квадратичных 2-иррациональностей есть
Произведение двух подходящих квадратичных 2-иррациональностей есть
Схема размножения решений: Удаляем все упоминания о квадратичных
Схема размножения решений: Удаляем все упоминания о квадратичных
Проверяем понимание x
Проверяем понимание x
 
 
Идея доказательства пункта 4 Пусть Тогда
Идея доказательства пункта 4 Пусть Тогда
ОБЩЕЕ ВИД УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: x
ОБЩЕЕ ВИД УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: x
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова

Презентация на тему: «Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными». Автор: Анастасия Ковальчук. Файл: «Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными.ppt». Размер zip-архива: 899 КБ.

Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными

содержание презентации «Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными.ppt»
СлайдТекст
1 Структура множества решений диофантова уравнения

Структура множества решений диофантова уравнения

2 Постановка задачи

Постановка задачи

Имеется одно уравнение от нескольких неизвестных. Требуется найти все решения этого уравнения, являющиеся натуральными (или целыми) числами. Пример. Найти все натуральные решения уравнения Ответ. {3, 3, 3}, {2, 4, 4}, {2, 3, 6}.

3 Доказательство отсутствия других решений

Доказательство отсутствия других решений

Симметрия выражения по неизвестным позволяет их упорядочить: x ? y ? z. Тогда Далее разбираем два случая. А) z=2 ? ? Б) z=3 Побочное наблюдение: без умения работать с неравенствами решать диофантовы уравнения нельзя.

4 Это диофантово уравнение имело конечное множество решений (всего три)

Это диофантово уравнение имело конечное множество решений (всего три)

А теперь рассмотрим гораздо более простое уравнение и будем решать его в целых числах. 3x+5y=1 Частное решение x = 2, y = –1. Ещё одно решение x = –3, y = 2. Схема размножения решений: 3a+5b=1 ? 3(a–5) + 5(b+3)=1. Бесконечная серия решений: a = 2–5n, b = –1+3n (n – любое целое число). Есть ли другие решения? Пусть (a, b) – произвольное целое решение. Тогда 3a+5b=1=3•2+5(–1) ? 5(b+1)=3(2–a) ? b+1=3n, 2–a = 5n ? b = –1+3n, a = 2–5n.

5 Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными: ax+by =

Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными: ax+by =

c (числа a и b взаимно просты ). Схема решения Ищем частное решение (x?, y?). Строим бесконечную серию решений: x = x?+bn, y = y? –an (n – любое целое число). Доказываем, что этот набор даёт общее решение Пункт 2 очевиден. Пункт 3 доказывается по тем же рассуждением, что и в частном случае, приведённом выше. Самый сложный пункт – пункт 1. Частное решение ищется с помощью алгоритма Евклида.

6 Уравнение Пелля

Уравнение Пелля

Простейшее уравнение Пелля x?–2y?=1. Ищем решение в целых числах. Очевидны следующие пары таких чисел (1,0) и (3,2). Кроме того, перед каждым элементом пары можно менять знаки. Ещё одно решение: x = 17, y = 12. Есть ли другие пары решений? Конечно или бесконечно множество решений?

7 Другая формулировка задачи

Другая формулировка задачи

8  

 

9 Произведение двух подходящих квадратичных 2-иррациональностей есть

Произведение двух подходящих квадратичных 2-иррациональностей есть

подходящая квадратичная 2-иррациональность. Построение бесконечной серии решений Проверяем 992–2·702 = 1.

10 Схема размножения решений: Удаляем все упоминания о квадратичных

Схема размножения решений: Удаляем все упоминания о квадратичных

иррациональностях.

11 Проверяем понимание x

Проверяем понимание x

–3y?=1. Очевидные решения: (1, 0), (2, 1). Найдите ещё три решения. Найдите рекуррентную формулу для построения бесконечной серии решений.

12  

 

13 Идея доказательства пункта 4 Пусть Тогда

Идея доказательства пункта 4 Пусть Тогда

14 ОБЩЕЕ ВИД УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: x

ОБЩЕЕ ВИД УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: x

–Ny?=1 Что нужно делать? Перейти к разговору о подходящих иррациональностях и заметить, что решения можно размножать – ничем не отличается от разобранных частных случаев. Найти «примитивное» решение, то есть, такое, размножением которого получаются все остальные. Это – самое трудное. Естественным языком для решения этой задачи оказывается язык цепных дробей. Смотрим видеолекции Алексея Владимировича Савватеева. http://www.ustream.tv/channel/math-lectures-in-irkutsk

15 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова

уравнения, работа с квадратичными иррациональностями)

Выпишите рекуррентную формулу, дающую общее решение уравнения Пелля х? – 3у?=1. Докажите, что целая часть числа – число нечётное. Докажите, что число + делится на 2?. (Уравнение Маркова) Докажите, что уравнение x?+y?+z?=3xyz имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

16 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (размножение решений диофантова

уравнения, работа с квадратичными иррациональностями)

Докажите, что для любого натурального k>3 уравнение x?+y?+z?=kxyz не имеет решений в натуральных числах. (Задача Эйлера) Докажите, что любую степень двойки, начиная с 8, можно представить в виде 7х?+у?, где х и у – нечётные числа. Найдите все решения диофантова уравнения 1/x + 1/y = 2/p (p – произвольное простое число).

«Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/algoritm-evklida-dlja-reshenija-uravnenij-dvumja-peremennymi-263585.html
cсылка на страницу

Множества

8 презентаций о множествах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Множества > Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными