Алгоритм построения графика квадратичной функции

Урок алгебры в 9 классе

Автор: Мирошникова Елена Анатольевна, Учитель ЗСОШ №1 п.Зимовники Ростовской области.

1

Построение графика квадратичной функции

2

Функция

Функция (от латинского) – исполнение, совершенствование, обязанность и т.п. Способы задания функции: Аналитически Графически Таблицей

Алгоритм построения графика

Знать: алгоритм построения графика квадратичной функции;

Уметь: строить график любой квадратичной функции, определять основные свойства функции по графику.

4

Тестовое задание

Вариант №1

1.Не строя график функции y=x?+4x+3, найти y при x=1. А. 2; Б.-4; В. 3; Г. 8. 2. Принадлежит ли точка М (1;-6) параболе y=-3x?+4x-7? А. Да; Б.Нет; В. Не знаю. 3. По рисунку определите промежутки убывания функции. 4 -3 А. y<4; Б. x? -3; В. x<-3; Г. y?4.

5

Координаты точки

Тестовое задание.

Вариант № 2.

1. Найдите координаты точки пересечения графика функции y=x?-3x+5 с осью Оy. А. (5; -4); Б. (0; 5); В.(5; 0); Г. Другой ответ. 2. По рисунку определите при каких значениях x функция y=ax?+bx+c принимает положительные значения? А. -2 ? x ? 6; Б. x> -2; В. x ? 6; Г. x < -2 и x > 6. 3. Записать уравнение параболы, полученной сдвигом параболыy=2x? вдоль оси Ox 1,5 единиц вправо и последующим сдвигом вдоль оси Oy на 3,5 единиц вверх. А.y=2(x-1,5)?+3,5; Б.y=2(x+1,5)?+3,5; В.y=2(x-1,5)?-3,5; Г.y=2(x+1,5)?-3,5.

2

6

6

Ответы:

вариант 2 1. Б 2. Г 3. А

вариант 1 1. Г 2. А 3. Б

Преобразование графика квадратичной функции

График функции

Y=f(х)

Y=f(вх)

В<0: в=-1.

В<0:в=-1.

График функции симметричен относительно оси ОУ.

У

0

Х

9

График функции симметричен относительно оси ОХ

y=Вf(х)

Y=f(х)

В<0 : в=-1

График функции симметричен относительно оси ОХ.

У

0

Х

10

y=Вf(х)

Y=f(х)

Y=f(х)

В>1

0<в<1

У

У

0

0

Х

Х

11

Y=|f(х)|

Y=f(х)

У

0

Х

12

y=f(х)+А

Y=f(х)

y=f(х) -А

У

0

Х

13

Парабола

Можно показать ,что любую квадратичную функцию у =ax2+вх +с с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у=a(x-x0)2 +y0 , где х0= - b/(2a) , y0= y(x0)= - (b2-4ac)/(4a) Графиком функции у=a(x-x0)2 +y0 является парабола, получаемая сдвигом параболы Y=ax2 : вдоль оси абсцисс вправо на x0,если x0 ? 0,влево на ?x0?,если х0 ?0. вдоль оси ординат вверх на y0 ,если y0? 0, вниз на?y0 ?,если y0 ? 0.

Значение

Функция у=ах2+вх+с принимает наименьшее или наибольшее значение в точке х0= - в /2а, которая является абсциссой вершины параболы. Значение функции в точке х0 можно найти по формуле у0=у(х0). Если а>0, то функция имеет наименьшее значение, а если а<0, то функция имеет наибольшее значение.

15

Рассмотрим несколько примеров

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

Рассмотрим несколько примеров:

Y=x2

Y=(x- 1)2

Y=(x+2)2

Y=(x+2)2- 1

Y=(x-1)2+3

Y=(x-1)2+3

Y=x2

Y=(x- 4)2

Y=(x+2)2

Y= -(x+2)2- 1

16

Y=- (х-2)2+4

У=(х-2)2-4

У=(х+3)2-1

У=-(х+2)2-1

У=(х+1)2

У

4

0

-1

2

-3

Х

-1

-4

17

4

-7

y=x2

18

4

-7

y=x2

3

-6

19

20

4

y=x2

y=(x-4)2

-8

21

Функция и живопись

Функция и живопись, что между ними общего?

The Code of Da Vinchi

22

Построить график функции

Построение графика квадратичной функции

Задача. Построить график функции y=x2 -4x + 3.

1. Вычислим координаты вершины параболы: x0 = - (- 4/2)=2 y0 = 22 - 4*2 + 3 = -1. Построим точку (2;-1)

2.Проведём через точку (2;-1) прямую, параллельную оси ординат - ось симметрии параболы.

3. Решая уравнение x2 - 4x + 3 = 0, найдём нули функции: x1 = 1, x2 = 3. Построим точки (1;0) и (3;0).

4.Возьмём две точки на оси Оx, симметричные относительно точки x = 2, например точки x = 0, x = 4. Вычислим значение функции в этих точках: y(0) = y(4) = 3. Построим точки (0;3) и (4;3).

1

5.Проведём параболу через построенные точки.

Построение графика

Рассмотрим построение графика в случае отрицательного дискриминанта.

Задача. Построить график функции y = -2x2 + 12x - 19.

1. Вычислим координаты вершины параболы: x0 = - (12/(-4)) =3 y0 = - 2*32 + 12*3 -19 = -1. Построим точку (3;-1) - вершину параболы.

2. Проведём через точку (3;-1) ось симметрии параболы.

3. Решая уравнение -2x2 + 12x - 19, убеждаемся, что действительных корней нет, и поэтому парабола не пересекает ось Оx.

4.Возьмём две точки на оси Оx, симметричные относительно точки x = 3, например точки x = 2, x = 4. Вычислим значение функции в этих точках: y(2) = y(4) = - 3. Построим точки (2; - 3) и (4; - 3).

5.Проведём параболу через построенные точки.

24

Схема построения графика

Схема построения графика квадратичной функции y=ax2+bx+c:

1. Построить вершину параболы (х0,у0), вычислив х0 ,у0 по формулам х0= - (b/(2*a)) y0= y(x0). 2. Провести ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции , если они есть и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы . 4. Построить две какие - нибудь точки параболы, симметричные относительно ее оси. (Например точки с абсциссам х = 0 и х = х0 ). Для точности построения можно найти еще несколько точек параболы. 5. Провести через построенные точки параболу. .

25

Спасибо за внимание

26