Презентация на тему «Числовые неравенства и их свойства»

Числовые неравенства и их свойства

Подготовила: учитель математики МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М. 2009-2010 учебный год

1.Числовые неравенства

Если а>в, то а-в>0. Если а<в, то а-в<0. Если а=в, то а-в=0.

Например: 1) Если р-q=-6, то р<q, т.к. -6<0. 2) Если р-q=4, то р>q, т.к. 4>0.

Доказательство неравенств

1)Докажем, что при любых а верно неравенство (а-3)(а-5) <(а-4)2 Доказательство. Найдём разность левой и правой частей неравенства: (а-3)(а-5)-(а-4)2 = =а2 - 3а - 5а + 15 – а2 +8а -16 = -1, -1<0, значит, (а-3)(а-5)<(а-4)2 .

2) Докажем, что а2 + в2 ?2ав. Доказательство. Найдём разность левой и правой частей неравенства: а2 + в2 -2ав = =(а-в)2 (а-в)2 ?0 при любых а и в, значит, а2 + в2 ?2ав.

Ещё один пример

К каждому из чисел 1,2,3,4 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов с произведением средних членов получившейся последовательности чисел. Решение. 1+а, 2+а, 3+а, 4+а – получившаяся последовательность. (1+а)(4+а) – (2+а)(3+а)= =4+4а+а+а2_ 6-3а-2а-а2= =-2, -2<0, значит (1+а)(4+а)< (2+а)(3+а). Произведение крайних членов меньше произведения средних членов получившейся последовательности чисел.

Выделив квадрат двучлена, докажем неравенство

1)х2 -8х +18>0. Выделим квадрат двучлена: х2 -8х +18= =(х2 – 2·х·4 + 42)- 16+18= =(х-4)2 +2, (х-4)2?0 при любом х, (х-4)2 +2>0 при любом х. Значит, х2 -8х +18>0 при любом х.

2) 2х2 + 4х +3>0. Выделим квадрат двучлена: 2х2 + 4х +3= =2(х2 + 2х +1,5)= = 2((х2 + 2х +1)-1+1,5)= =2((х +1)2 +0,5)= =2 (х +1)2 +1, 2 (х +1)2?0 при любом х, 2 (х +1)2 +1>0 при любом х. Значит, 2х2 + 4х +3>0 при любом х.

2.Свойства числовых неравенств

Если а>в, то в<а. Если а<в, то в>а. Если а<в и в<с, то а<с. Если а<в и с-любое число, то а+с<в+с. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получиться верное неравенство. Если а<в и с>0, ас<вс. Если обе части неравенство умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получиться верное неравенство. Если а<в и с<0, ас>вс. Если обе части неравенство умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получиться верное неравенство.

Например:

1)10>-2, 10+1>-2+1, 11>-1. 2)10<20, 10-3<20-3, 7<17. 3)-5<-4, -5·2<-4·2, -10<-8. 4)-5<-4, -5·(-4)>-4·(-4). 20>16.

Следствие

Если а>0, в>0 и а<в, то 1/а >1/в.

Например: 5<7, т.е. 1/5>1/7. 10>3, т.е. 1/10<1/3.

Ещё примеры

1) 5 < а < 6, 5·3<3а<6·3, 15<3а<18. 2) 5 < а < 6, 5+2< а+2 <6+2, 7< а+2 <8. 3) 5 < а < 6, -6 < - а <-5, 2-6 < 2- а <2-5, -4< 2- а <-3.

3.Сложение и умножение числовых неравенств

Если а<в и c<d, то a+b<c+d. Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если а<в и c<d, a>0,b>0,c>0,d>0, то ac<bd. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Например:

1)Оцените сумму х+у. 5< х < 8, 3< у < 6, 5+3<х+у<8+6, 8<х+у<14. 2)Оцените разность х-у. 3< у < 6, -6< -у <-3, 5< х < 8, -6<-у <-3, 5-6<х-у<8-3, -1 <х-у<5.

3)Оцените произведение ху. 5< х < 8, 3< у < 6, 5·3<ху<8·6, 15<ху<48. 4)Оцените частное х:у. 3< у < 6, 1/6<1/у<1/3, 12< х < 15, 1/6<1/у<1/3, 12:6<х:у<15:3, 2<х:у<5.