Презентация на тему «Числовые последовательности»

Числовые последовательности

Уроки № 1 - 2

Цели урока:

Ввести понятие числовой последовательности; рассмотреть способы ее задания, свойства числовых последовательностей; решить задания на применение свойств числовых последовательностей.

Устный счет

1. Продолжите цепочку чисел:

2, 5, 11, 23, 47,… 1, 1, 2, 3, 5, … 1, 2, 4, 8, 16, … 1, 4, 9, 16, 25, 36,… 1, ?2, ?3, 2, ?5, ?6, ?7, 2?2,…

№ 1

№ 1

№ 1

№ 2

№ 2

№ 2

№ 3

№ 3

№ 3

5,3

10

4,6

2,5

10

4

3,6

0,9

4

1,7

*

4,4

3,1

*

3

7,2

*

0,8

2. Определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака * вставить пропущенное число:

Задание

Задание

Задание

Ответ № 1

Ответ № 1

Ответ № 1

Ответ № 2

Ответ № 2

Ответ № 2

26

52

26

26

52

19

26

52

11

44

11

33

44

11

18

44

3. Учащиеся решали задание, в котором требуется найти пропущенные числа. У них получились разные ответы. Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки.

Изучение нового материала

Определение числовой последовательности

Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности). В общем виде указанное соответствие можно изобразить так: y1, y2, y3, y4, y5, …, yn, … 1 2 3 4 5 … n … Число n есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают (yn).

Определение числовой последовательности

Функцию вида y=f(x), , называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или y1, y2, y3, y4, y5, …, yn, … Иногда используют запись (yn). Устно № 581

Способы задания числовых последовательностей

Словесный Аналитический Рекуррентный

Словесный способ задания числовых последовательностей

Правило задания описано словами, без указания каких-либо формул. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

Аналитический способ задания числовых последовательностей

Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена. Например, yn=n2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, … 2) yn=С – постоянная (стационарная) последовательность 2) yn=2n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, … Решить № 585

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a1=a, an+1=an + d геометрическая прогрессия – b1=b, bn+1=bn * q

Закрепление

№№ 591, 592 (a, б) №№ 594, 595 №№ 611 – 614 (a)

Свойства числовых последовательностей

Ограниченность сверху

Последовательность (yn) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Другими словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует такое число M что для любого n выполняется неравенство yn ?M. M – верхняя граница последовательности Например, -1, -4, -9, -16, …, -n2 , …

Ограниченность снизу

Последовательность (yn) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Другими словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует такое число m что для любого n выполняется неравенство yn ?m. m – нижняя граница последовательности Например, 1, 4, 9, 16, …, n2 , …

Ограниченность последовательности

Последовательность (yn) называют ограниченной, если можно указать такие два числа A и B, между которыми лежат все члены последовательности . Выполняется неравенство A?yn?B A – нижняя граница, B – верхняя граница Например, 1 – верхняя граница, 0 – нижняя граница

Геометрический признак ограниченности функции

Возрастающая последовательность

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: y1< y2 < y3 < y4 < y5 < … < yn < … Например, 1, 3, 5, 7, …, 2n-1, … Решить № 586

Убывающая последовательность

Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y1> y2 > y3 > y4 > y5 > … > yn > … Например,

Возрастающие и убывающие последовательности объединяются одним общим

термином – монотонные последовательности

Закрепление

№№ 602, 603 (устно) №№605, 626, 627

Проверочная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. Числовая последовательность задана формулой

1. Числовая последовательность задана формулой

а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности

а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности

б) Является ли членом последовательности число ?

б) Является ли членом последовательности число 12,25?

2. Составьте формулу -ого члена последовательности

2. Составьте формулу -ого члена последовательности

2, 5, 10, 17, 26,…

1, 2, 4, 8, 16,…