Деление многочлена на многочлен

Деление многочлена на многочлен

Лебедева Е.В., учитель математики МБОУ лицей имени В.Г. Сизова

Деление многочлена на многочлен

Цель:

Задачи:

Познакомиться с действием деления многочленов от одной переменной

рассмотреть действие деления многочлена на многочлен нацело и с остатком; сформулировать теорему о делении многочленов и теорему Безу; применить изученную теорию при решении упражнений.

Заполнить таблицу:

4

6

6

10

12

13

8

15

5

8

5

5

3

8

15

2

9

3

3

6

9

9

27

3

18

Степень f(x)

Степень g(х)

Степень f(x) + g(x)

Степень f(x) g(x)

Степень f 3 (x)

2 + 4а = 0,

4а = - 2 ,

А = - 0,5

(х2 – Зх + а) (х2 – ах + 2) =

Решение:

= Х4 – ах3 + 2х2 – 3х3 + 3ах2 – 6х + ах2 – а2х +2а=

= Х4 – (а + 3) х3 + (2 +4а) х2 – (6 + а2)х + 2а;

Коэффициент при х2 равен нулю, значит

При каких значениях а коэффициент при х2 в стандартном виде многочлена (х2 – Зх + а) (х2 – ах + 2) равен нулю

Деление многочлена на многочлен

Кроме действий сложения, умножения и возведения в степень многочленов, в некоторых случаях выполнимо и деление многочлена на многочлен. Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен g(x), что выполняется тождество р(х) = s(x)·g(x). (1) При этом употребляется та же терминология, что и при делении чисел: р(х) — делимое (или кратное), s(x) — делитель, g(x) — частное или иначе:

S(x) — частное, a g(x) — делитель.

Например, многочлен х3 – Зх2 + 5х – 15 делится на многочлен х2 + 5 и

на многочлен х – 3, поскольку имеет место равенство х3 – Зх2 + 5х – 15 = (х2 + 5) (х – 3). Многочлены х2 + 5 и х – 3 — делители многочлена х3 – Зх2 + 5х – 15.

Деление многочлена на многочлен с остатком

Теорема. Для любых двух многочленов р(х) и s(x) существует, причем только одна, пара многочленов q(x) и s(х), такая, что выполняется тождество p(x) = s(x)·q(x)+r(x) (2) и степень многочлена r(х) меньше степени многочлена s(x).

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена р(х) на двучлен (х – а) равен р(а), т. е. значению многочлена р(х) при х = а.

Док – во. Если р(х) — делимое, (х – а ) – делитель (многочлен первой степени), q(x) - частное и r — остаток (многочлен нулевой степени, т. е. отличное от нуля число), то по формуле (2) р(х) = (x – a)q(x) + r. (3) Если в формулу (3) подставить вместо х значение а, получим р(а) = (a – a)q(a) + r, т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать. Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена Безу (1730—1783).

Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 2х2 — х — 3 на двучлен

(х — 2).

Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена р(х) = 2х2 — х — 3 на двучлен (х – 2) равен р(2). Значит, r = p(2) = 2 · 22 – 2 – 3 = З.

Если р(а) = 0, то в формуле р(х) = (x – a)q(x) + r r = 0, и она

принимает вид р(х) = (х – a)q(x). Это значит, что многочлен р(х) делится на (х – а).

Тем самым доказана следующая важная теорема.

Теорема. Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен (х — а).

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.

Приемы разложения на множители: Вынесение общего множителя за скобки;

Способ группировки; Использование формул сокращенного умножения; Разложение многочлена на множители с помощью его корней

Разложение многочлена на множители.

Разложение многочлена на множители с помощью его корней

Теорема 5. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) — целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а — делитель свободного члена многочлена р(х).

Разложить на множители многочлен р(х) = х3 – 4х2 + х + 6

Р(1) = 4 ? 0; р(- 1) = 0.

Решение. Попробуем найти целочисленные корни этого многочлена. Если они есть, то, по теореме 5, их следует искать среди делителей свободного члена заданного многочлена, т. е. среди делителей числа 6. Выпишем эти делители -— «кандидаты в целочисленные корни»: ±1, ±2, ±3, ±6. Будем подставлять выписанные значения поочередно в выражение для р(х):

Итак, х = - 1 — корень многочлена р(х), значит р(х) делится на (х + 1)

Итак, х3 - 4х2 + х + 6 = (х + 1)(х2 - 5 х + 6) = = (х + 1)(х – 2)(х – 3)

Разделим многочлен р(х) на двучлен (х + 1):