Экстремумы функции изучение нового материала

Мы продолжаем изучать тему «Производная функции»

Мы познакомимся с необходимым и достаточным условиями экстремума.

Желаю успехов в изучении темы!

Необходимое и достаточное условия экстремума

Применение производной к исследованию функции.

У = g (х)

Х

У

~

~

~

~

~

~

Повторение: точки экстремума функции стационарные точки функции критические точки функции Изучение нового материала: необходимое условие экстремума функции достаточное условие экстремума функции решение заданий

2

-2

Х=2 – точка…

Х=-2 – точка…

-4 2 4 5

У

Повторение

У

У

Х

Х

У

Точки максимума: точки минимума:

Х

Х 3 + 2х

u (x) =

(Х-1) 2

Постановка проблемы

Найдите экстремумы функции.

Как не выполняя построения графика функции найти экстремумы функции?

2

2

2

f (x)=-x2+4x-3

f (x)=(x-2)3+1

f (x)=Ix-2I

Х=2

2

2

Необходимое условие экстремума.

У

У

У

f (x)= -2x+4 f (2) =0

f (x)=3(x-2)2 f (2) =0

F (2) не существует

f (x) f (x)

f (x) f (x)

Х

Х

Х

Т. Максимума т. Перегиба т. Минимума

Х

Х

Таким образом, для того чтобы точка х0 была точкой экстремума функции

f(х), необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции.

Необходимое условие экстремума

Х=2

2

2

Р (х) = х 2- 4х + 3

F (x) = -х 2 + 4х

Р (х) = 2х – 4 р (2)= 0

F (х) = -2х + 4 f (2) = 0

Р (х)

F (х)

+

+

Р (х)

2

F (х)

2

Т. Минимума

Т. Максимума

Достаточные условия экстремума.

У

У

Х

Х

Х

Х

+

Х0

F (х)

F (х)

Х0

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0 и непрерывна в точке х0.

У

У = f(х)

Если f (х) меняет знак с « + » на « - » при переходе через точку х0, т.е. в некотором интервале (а;х0) производная положительна и в некотором интервале (х0;в) производная отрицательна, то х0 – точка максимума функции.

Х

Х

+

Х0

F (х)

F (х)

Х0

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0 и непрерывна в точке х0.

У

У = f(х)

Если f (х) меняет знак с « - » на « + » при переходе через точку х0, т.е. в некотором интервале (а;х0) производная отрицательна и в некотором интервале (х0;в) производная положительна, то х0 – точка минимума функции.

Х

Х

1. Найти область определения функции

2. Найти производную функции. 3. Найти критические точки функции. 4. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 5. Сделать вывод.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум.

+

+

Х 3 + 2х

u (x) =

(Х-1) 2

Х(х+1)(х-4)

u (x) =

(Х-1) 2

u (x)

u (x)

-1 0 1 4

Решение примера.

Найдите экстремумы функции:

Х

Х = -1 – точка минимума, u(-1) = 0,25 - минимум

Х = 4 – точка минимума, u(4) = 10 - минимум

Х = 0 – точка максимума, u(0) = 0 - максимум

2

3

+

+

+

(8-х)(8+х)

f (x) =

16 х 2

f (x)

f (x)

- 8 0 8

Решение примера.

4 х

Х 16

Найдите экстремумы функции:

f (x) =

Х

Х = -8 – точка минимума, f (-8) = -1 - минимум

Х = 8 – точка максимума, f (8) = 1 - максимум

e

e

+

Р (х) =

Х

Р (х) =

Р (х)

Р (х)

- 3 0 3

Решение примера.

3-х 2

Найдите экстремумы функции:

3-х 2

3-х 2

Х

Х = 0 – точка максимума, р(0) = e 3 - максимум

Необходимое условие экстремума

Достаточные условия экстремума. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум. Решение заданий.

Итог урока