Вероятность
<<  Элементы теории вероятностей Теория вероятностей  >>
Элементы теории вероятностей
Элементы теории вероятностей
1. Достоверные события
1. Достоверные события
Основные формулы комбинаторики
Основные формулы комбинаторики
Число всех возможных перестановок:
Число всех возможных перестановок:
2. Размещениями называют комбинации, состав-ленные из n различных
2. Размещениями называют комбинации, состав-ленные из n различных
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:
2. Сочетаниями называют комбинации, состав-ленные из n различных
2. Сочетаниями называют комбинации, состав-ленные из n различных
Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:
Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:
Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления
Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления
2. Геометрическое определение вероятности
2. Геометрическое определение вероятности
Свойства вероятности:
Свойства вероятности:
Определение
Определение
Определение
Определение
Теорема
Теорема
Определение
Определение
Определение
Определение
Определение
Определение
M – число случаев, благоприятствующих наступлению события B при
M – число случаев, благоприятствующих наступлению события B при
Пример
Пример
Теорема (умножения вероятностей)
Теорема (умножения вероятностей)
Определение
Определение
Определение
Определение
Определение
Определение
p(A+B) =
p(A+B) =
Определение
Определение
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
Пример
Пример
Формулы Бейеса
Формулы Бейеса
– формулы Бейеса
– формулы Бейеса
Формула Бернулли
Формула Бернулли
Пример
Пример
32
32
1.
1.
1. Привести по 3 примера противоположных событий
1. Привести по 3 примера противоположных событий
1. Привести 2 примера полной группы несовместных событий, состоящей не
1. Привести 2 примера полной группы несовместных событий, состоящей не
Вариант 1. 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники
Вариант 1. 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники
37
37
2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики
2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий
41
41

Презентация: «Элементы теории вероятностей». Автор: Анечка. Файл: «Элементы теории вероятностей.pps». Размер zip-архива: 228 КБ.

Элементы теории вероятностей

содержание презентации «Элементы теории вероятностей.pps»
СлайдТекст
1 Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей

Классическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности Свойства вероятности Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Формулы Бейеса Формула Бернулли Самостоятельная работа 1 Самостоятельная работа 2 Самостоятельная работа 3 Самостоятельная работа 4

1

2 1. Достоверные события

1. Достоверные события

1) Наступление ночи каждые сутки.

2) Появление листьев на деревьях с приходом весны

3) Получение двойки за экзамен по математике, если вы за семестр набрали меньше 350 баллов

2. Невозможные события.

Если в кармане лежит только 100 рублей, событие, что вы вытащите из этого же кармана 1000 рублей

2) Превращение воды в лёд при нагревании

3. Случайные события.

1) Сдача экзамена с первого раза

2) Выпадение решки при бросании монеты

3) Опоздание преподавателя на лекцию

2

3 Основные формулы комбинаторики

Основные формулы комбинаторики

Пусть имеется множество М из n элементов, причём неважно какой природы эти элементы:

x1, x2, … , xn

1. Перестановками называются комбинации, состо-ящие из всех элементов множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Пример.

n=5

x1, x2, x3, x4, x5

x5, x4, x3, x2, x1

x3, x1, x5, x2, x4

3

4 Число всех возможных перестановок:

Число всех возможных перестановок:

Примеры.

1) Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3 и 5, если каждая цифра входит в число только один раз?

2) Сколькими способами можно рассадить 6 человек на 6 стульях?

4

5 2. Размещениями называют комбинации, состав-ленные из n различных

2. Размещениями называют комбинации, состав-ленные из n различных

элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Пример.

n=6

x1, x2, x3, x4, x5 , x6

m=4

x1, x2, x3, x4

x2, x3, x4, x5

x3, x2, x4, x5

x5, x4, x3, x2

5

6 Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:

Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:

Примеры.

1) Имеется 5 карточек, на первой написана цифра 1, на второй – цифра 2, и т.д. Сколько трёхзначных чи-сел можно составить с помощью этих карточек?

2) Сколькими способами награды за I, II, III места могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

6

7 2. Сочетаниями называют комбинации, состав-ленные из n различных

2. Сочетаниями называют комбинации, состав-ленные из n различных

элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Пример.

n=6

x1, x2, x3, x4, x5 , x6

m=4

x1, x2, x3, x4

x4, x3, x2, x1

x3, x4, x2, x1

=

=

x2, x3, x4, x5

x1, x2, x4, x5

x5, x6, x3, x2

7

8 Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:

Примеры.

1) Сколькими способами можно выбрать 3 шара из 5 имеющихся?

2) Сколькими способами можно составить букет из 5 цветков, если всего имеется 10 цветков?

8

9 Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления

Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления

события.

1. Классическое определение вероятности:

N – общее число случаев,

m – число случаев, благоприятствующих событию A, т.е. при которых событие А имеет место.

Примеры.

2) С какой вероятностью число от 1 до 10, выбран-ное наугад, окажется делящимся на 3?

1) В коробке 3 белых и 4 чёрных шара. С какой веро-ятностью наугад выбранный шар окажется белым?

3) В одном ящике лежат 6 карточек с цифрами от 1 до 6, а во втором – 7 с цифрами от 3 до 9. Из каждо-го ящика достают по одной карточке. Какова вероят-ность, что на карточках будут одинаковые цифры?

9

10 2. Геометрическое определение вероятности

2. Геометрическое определение вероятности

Отрезок l – часть отрезка L, на отрезок L поставлена наудачу точка

Плоская фигура g – часть фигуры G

Пример. В квадрат со стороной 8 см наудачу брошена точка. Какова вероятность, что эта точка окажется внутри вписанного в квадрат круга?

10

11 Свойства вероятности:

Свойства вероятности:

1.

1. Вероятность достоверного события равна

2. Вероятность невозможного события равна

0.

3. Вероятность случайного события .

11

12 Определение

Определение

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, события В или обоих этих событий одновременно.

А

В

Пример.

A – попадание при первом выстреле

B – попадание при втором выстреле

A+B –

Попадание при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах

Аналогично вводится понятие суммы нескольких событий: А1+А2+…+Аn.

12

13 Определение

Определение

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление остальных.

Примеры.

1. Из ящика с деталями извлечена наугад 1 деталь.

A – извлечена бракованная деталь

B – извлечена стандартная деталь

A и B – несовместные события

2. Брошена монета .

A – выпадение герба

B – выпадение решки

A и B – несовместные события

13

14 Теорема

Теорема

Если A и B – несовместные события, то p(A+B) = p(A) + p(B).

Доказательство.

Пусть m1 – число исходов, благоприятствующих A ,

M2 – число исходов, благоприятствующих B

p(A) + p(B)

p(A+B) =

Следствие 1. Если A1, A2, … , An – несовместные, то p(A1+A2+…+An) = p(A1)+p(A2)+…+ p(An)

Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных и 40 белых шаров. Найти вероятность того, что выта-щенный шар – не белый.

14

15 Определение

Определение

Противоположными называют два единственно возможных несовместных события.

Примеры.

1. Производится выстрел по цели.

А – попадание,

– Промах.

2. Брошена монета.

А – выпала решка,

– Выпал герб.

1.

Следствие 2.

Пример. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «отлично» – 0.1, на «хорошо» – 0.3, на «удовлетво-рительно» – 0.4. С какой вероятностью этот студент завалит экзамен?

15

16 Определение

Определение

Произведением АВ двух событий А и В называют событие, состоящее в совместном появлении, то есть совмещении, этих событий.

А

В

Пример.

Случайным образом выбирается некоторое число.

A – выбрано чётное число

B – выбрано число, делящееся на 5

AB –

Выбрано чётное число, делящееся на 5, т.Е. Число, делящееся на 10

16

17 Определение

Определение

Условной вероятностью pA(B) назы-вают вероятность события B, вычисленную в предпо-ложении, что событие A уже наступило.

Пример.

В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно.

A – первый шар оказался чёрным

B – второй шар оказался белым

Тогда pA(B) – вероятность появления вторым бело-го шара, если первый вытащенный шар – чёрный.

17

18 M – число случаев, благоприятствующих наступлению события B при

M – число случаев, благоприятствующих наступлению события B при

условии, что A уже наступило

Благоприятствующих событиям A и B вместе

Благоприятствующих событию AB

N – число всех случаев, но при условии, что A наступило

Число случаев, благоприятствующих событию A

Обозначим через N – число всех возможных случаев.

18

19 Пример

Пример

В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления вторым белого шара, если первый вытащенный шар – чёрный.

A – первый шар оказался чёрным

B – второй шар оказался белым

19

20 Теорема (умножения вероятностей)

Теорема (умножения вероятностей)

Вероятность совместного появления двух событий

Следствие 1.

Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров.

1) Найти вероятность того, что первый вытащенный шар – чёрный, а второй – белый.

2) Найти вероятность того, что первый вытащенный шар – чёрный, второй – белый, третий – чёрный, четвёртый – чёрный.

20

21 Определение

Определение

Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, то есть если

Утверждение. Если В не зависит от А, то и А не за-висит от В, то есть свойство независимости взаимно.

Доказательство.

По теореме умножения вероятностей

Но В не зависит от А, то есть

А не зависит от В

21

22 Определение

Определение

События А и B называются независи-мыми, если появление одного из них не изменяет ве-роятность появления другого.

Доказательство.

1)

По теореме умножения вероятностей

Но A и B – независимы, т.е.

2)

Пусть

Но по теореме умножения вероятностей

А и В – независимы.

22

23 Определение

Определение

События A1, A2,…, An называются независимыми (независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий.

Следствие 3. Если A1, A2,…, An – независимые, то

Пример.

Имеется 3 ящика по 10 деталей. В первом ящике 2 бракованные детали, во втором – 3, в третьем – 1. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти ве-роятность того, что все три детали – не бракованные.

23

24 p(A+B) =

p(A+B) =

p(A) + p(B)

Пусть события А и В – совместные.

Пример. Брошен игральный кубик.

A – выпало четыре очка

B – выпало чётное число очков

A и B – совместные события

p(A+B) =

p(I) + p(II) + p(III) =

А

В

I

II

III

= p(I) + p(II) + p(III) + p(II) – p(II) =

= p(A) +

p(B) –

p(AB)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий

p(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB)

24

25 Определение

Определение

Несовместные события B1, B2,…, Bn образуют полную группу, если в результате испыта-ния обязательно появится одно из этих событий .

1

Примеры.

В ящике чёрные, жёлтые и белые шары. Из него наудачу вынимается один шар.

2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики. Из него наудачу вынимается один фрукт .

В1 – достали чёрный шар

В1 – выбрано яблоко

В2 – достали жёлтый шар

В2 – выбрана слива

В3 – достали белый шар

В3 – выбрана груша

В4 – выбран персик

B1, B2, B3 образуют полную группу

B1, B2, B3 , B4 образуют полную группу

25

26 Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

И пусть событие A может наступить при условии по-явления одного из событий B1, B2,…, Bn.

Пример. В ящике 8 чёрных, 10 жёлтых и 7 белых ша-ров. Среди чёрных шаров 2 с дефектом, среди жёлтых – 4, среди белых – 1. Наудачу вынимается один шар.

В1 – достали чёрный шар

В2 – достали жёлтый шар

В3 – достали белый шар

А – появление шара с дефектом

– Формула полной вероятности

В1 (m1)

A (l1)

В2 (m2)

A (l2)

N

Вn (mn)

A (ln)

26

27 Пример

Пример

Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 де-талей, во втором – 20. Вероятность бракованной дета-ли в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Найти веро-ятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной.

27

28 Формулы Бейеса

Формулы Бейеса

Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных со-бытий, A – событие, которое может наступить при ус-ловии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.

Найдём вероятность события B1, при условии, что со-бытие A наступило.

28

29 – формулы Бейеса

– формулы Бейеса

Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 де-талей, во втором – 20. Вероятность бракованной дета-ли в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Выбранная наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероят-ность того, что она из первого ящика.

29

30 Формула Бернулли

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться, либо не появиться.

Пусть в каждом испытании вероятность события A p(A) = p.

Найдём вероятность того, что при n испытаниях со-бытие A осуществится ровно k раз.

Обозначим эту вероятность pn(k).

p7(3) –

Вероятность того, что при 7 испытаниях событие A появится ровно 3 раза

30

31 Пример

Пример

Имеется 5 ящиков деталей, вероятность брака в каж-дом из них – 0.1. Какова вероятность, что три детали, наугад выбранные по одной из разных ящиков, ока-жутся бракованные?

pn(k) – ?

В общем виде аналогич-но получаем формулу:

1– p

Обозначим через

. Тогда

– формула Бернулли

p

A

1

31

32 32

32

33 1.

1.

Приведите по 2 примера достоверных, невозможных и случайных событий.

2.

3.

33

34 1. Привести по 3 примера противоположных событий

1. Привести по 3 примера противоположных событий

2. В корзине 10 груш и 5 яблок. Из неё взяли 2 фрукта. Найти вероятность того, что второй вытащенный фрукт – это яблоко, если вариант 1: первой достали грушу, вариант 2: первым достали яблоко.

3. Первый студент выучил 20 из 25 вопросов программы, a второй – 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что вариант 1: оба студента ответят правильно, вариант 2: оба студента ответят неправильно

34

35 1. Привести 2 примера полной группы несовместных событий, состоящей не

1. Привести 2 примера полной группы несовместных событий, состоящей не

менее, чем из трёх событий.

2. Первый студент выучил 20 из 25 вопросов программы, a второй – 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что вариант 1: оба студента ответят правильно, вариант 2: оба студента ответят неправильно

35

36 Вариант 1. 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники

Вариант 1. 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники

Наугад выбранное лицо оказалось даль-тоником. Считая, что мужчины составляют 48% на-селения, найти вероятность того, что этот человек – женщина.

Вариант 2. По статистике 50% мужчин и 10% всех женщин в возрасте от 20 до 50 лет имеют личный автомобиль. Считая, что среди этого возраста 55% мужчин, найти вероятность того, что владельцем ав-томобиля является мужчина.

Вариант 1, 2. Привести по 2 примера дискретной и непрерывной случайных величин.

36

37 37

37

38 2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики

2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики

Из него наудачу вынимается один фрукт .

В1 – выбрано яблоко

В2 – выбрана слива

В3 – выбрана груша

В4 – выбран персик

B1, B2, B3 , B4 образуют полную группу

38

39 Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

И пусть событие A может наступить при условии по-явления одного из событий B1, B2,…, Bn.

Пример. В ящике 8 чёрных, 10 жёлтых и 7 белых ша-ров. Среди чёрных шаров 2 с дефектом, среди жёлтых – 4, среди белых – 1. Наудачу вынимается один шар.

В1 – достали чёрный шар

В2 – достали жёлтый шар

В3 – достали белый шар

А – появление шара с дефектом

39

40 Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий

И пусть событие A может наступить при условии по-явления одного из событий B1, B2,…, Bn.

– Формула полной вероятности

В1 (m1)

A (l1)

В2 (m2)

A (l2)

N

Вn (mn)

A (ln)

40

41 41

41

«Элементы теории вероятностей»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/elementy-teorii-verojatnostej-160740.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Вероятность > Элементы теории вероятностей