Презентация на тему «Функции y = x2 , y = ax2 и их графики»

Функции y = x2 , y = ax2 и их графики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 с. Средняя Елюзань Городищенского района Пензенской области

Конкурс «Мозаика презентаций»

Алгебра 8 класс

Для тех, кто хочет знать больше

Функции y = x2 , y = ax2 и их графики

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: « Функция y=x 2 », «Функция y=аx 2 », уметь работать с графиками таких функций. Цели урока: 1) образовательная: обобщение способов построения и работы с графиками функций у=х2 и у=ах2 ; закрепление умения свободно владеть основными понятиями данной темы; формирование навыков использования полученных ранее знаний; 2) воспитательная: формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля; воспитание актуальности при выполнении заданий; 3) развивающая: развитие логического мышления, сообразительности, наблюдательности, внимания.

Оборудование: написание на доске примеры для устной и самостоятельной

работы, листы с заданиями (без решений), учебники. Тип урока: урок-смотр знаний.

Ход работы

Устная работа

Заполните пустые графы таблицы. По полученным координатам постройте график функции у=х2 .

Х

-4

-3

-2

0

1

4

У=х2

9

1

4

9

Решение:

Какую фигуру мы получили?

Кривую

Как она называется?

Парабола

2. Заполните пропуски в предложениях

Для этого нужно вспомнить свойства функции у=х2.

Значение функции у=х2 … положительно при х ?0 и … равно нулю при у=0. Парабола у=х2 касается …оси абсцисс в точке (0;0). График функции у=х2 симметричен …относительно оси ординат, т.к. (-х) 2 =х2 . Для параболы у=х2 вершиной является …начало координат. Функция у=х2 является возрастающей на промежутке… х?0. Функция у=х2 является … убывающей на промежутке х?0.

3. Цель задания: выявление уровня владения учениками навыками работы с

графиком функции у=х2.

(Х?0)

Определите вершину параболы.

(0; 0)

2) На каком промежутке функция возрастает?

(Х?0)

3) На каком промежутке функция убывает?

4) Что в данном графике является осью симметрии параболы?

(Ось ординат)

Найдите координаты точек пересечения параболы у=х2 и: 1) Прямой у= -х

Решение: (если задание выполняется, когда прямая не изображена на координатной плоскости, то следует составить таблицу значений): составим таблицу значений для прямой у= -х

Х

-2

-1

0

1

2

2) Прямой у=1.

У

2

1

0

-1

-2

Ответ: (-1;1), (0;0).

Ответ: (-1;1), (1;1).

II

Выполнение заданий

Не строя графика функции у=х2 , определите, какие из перечисленных точек ему принадлежат: А (1;6), В (-2;4), С (-4;-16).

Решение: Точка А имеет координаты (1;6), где х=1, у=6. Подставим значение х=1 в функцию у=х2 . При решении получаем, что у=1. Следовательно, точка А (1;6) не принадлежит графику функции у=х2 . Точка В имеет координаты (-2;4), где х=-2, у=4. Подставим значение х=-2 в функцию у=х2 . При решении получаем, что у=4. Следовательно, точка В (-2;4) принадлежит графику функции у=х2 . Точка С имеет координаты (-4;-16), где х=-4, у=-16. Подставим значение х=-4 в функцию у=х2 . При решении получаем, что у=16. следовательно, точка С (-4;-16) не принадлежит графику функции у=х2 .

Ответ: В (-2;4).

2. Определите графически, является ли точка С точкой пересечения

параболы у=х2 и прямой. у = -х-5, С (-2;-7). Решение: составим таблицу для графика функции у=х2 .

Х

-3

-2

-1

0

1

2

3

У

9

4

1

0

1

4

9

Составим таблицу для графика функции у = -х-5.

Х

-2

-1

0

1

2

У

-3

-4

-5

-6

-7

Построим графики функций по полученным координатам и отметим на координатной плоскости точку С (-2;-7).

Из рисунка видно, что С (-2;-7) не является точкой пересечения

графиков. Ответ: нет.

у =1, С (1;1). Решение: составим таблицу для графика функции у=х2 .

Х

-3

-2

-1

0

1

2

3

У

9

4

1

0

1

4

9

Построим графики функций по полученным координатам и отметим на координатной плоскости точку С (1;1).

Из рисунка видно, что С (1;1) является точкой пресечения графиков

Ответ: да.

Найдите координаты точек пересечения параболы у=х2 и прямой у = 8-2х. Решение: координатами точки пересечения является решение системы уравнений у = х2 у = 8-2х . Решая эту систему, получаем: х2 = 8-2х, х2 + 2х – 8 = 0. Откуда: D = k2 – ac = 1+8=9; x1,2 = = = -1 3; x1 = 2 и x2 = -4 Подставляя значения x1 = 2 и x2 = -4 в одно из уравнений системы, находим, что у1 = 2 и у2 = 16.

Ответ: (2; 4), (-4: 16).

4. Не строя графика, определите коэффициент а прямой у = ах + 6,

которая пересекает параболу у = х2 в точке А с абсциссой 3. В ответе запишите уравнение прямой. Решение: координатами точки пересечения является решение системы уравнений у = х2 у = ах + 6 . С помощью первого уравнения этой системы можно найти значение у: у = х2 = 32 = 9. Полученное значение можно подставить в уравнение прямой у = ах + 6. Составим и решим такое уравнение: 9 = 3а + 6. Отсюда а = 1. Следовательно, уравнение прямой имеет вид у = х + 6.

Ответ: у = х + 6.

Известно, что парабола у = х2 и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). Составьте уравнение прямой. Решение: уравнение прямой у = ах + b. Подставим значение первой точки в значение прямой: 0 = а ? 0 + b. Отсюда следует, что b = 0. Чтобы определить значение коэффициента а, подставим значения второй точки пересечения. Получаем: 1 = а ? 1. Следовательно, а = 1. Значит, уравнение прямой имеет вид у = х.

Ответ: у = х.

III

Устная работа

Заполните пропуски в предложениях. График функции (у = 3х2 ) получается… (растяжением) графика функции у = х2 от оси Ох вдоль оси Оу в 3 раза. График функции ( 2 ) получается… (сжатием) графика функции у = х2 от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. При а > 0 ветви параболы направлены… (вверх). При а < 0 ветви параболы направлены… (вниз). 2. Фронтальный опрос. Когда значение функции у = ах2 равно нулю? (При х = 0). Когда функция у = ах2 принимает только отрицательные значения? (При а < 0). Относительно какой оси симметрична парабола у = ах2 ? (Оси ординат). Когда функция у = ах2 принимает только положительные значения? ( При а > 0).

IV

Выполнение заданий

На одной координатной плоскости построены графики функций у = 2х2 и у = 4. не строя графиков функции, решите неравенство 2х2 > 4. Решение: определим точки пересечения графиков. Для этого составим и решим систему уравнений: у = 2х2 у = 4. Подставляя значение у = 4 в уравнение параболы у = 2х2 , получаем: 4 = 2х2 . Отсюда х = ±?2. Следовательно, координаты точек пересечения (- ?2; 4) и ( ?2; 4). Для того чтобы решить неравенство 2х2 > 4, необходимо найти такие значения х, при которых точки параболы у = 2х2 лежат выше прямой у = 4. Такое условие выполняется при х < -?2 и при х > ?2.

Ответ: х < -?2 , х > ?2.

2. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = 2х2 и у = - х2 . Решение: для определения координат точек пересечения составим систему уравнений: у = 2х2 у = - х2 . Так как левые части уравнений системы равны, то можно приравнять их правые части: 2х2 = - х2 . Решим полученное уравнение:

2х2 = - х2 ; 2х2 + х2 = 0; 2 х2 = 0; х2 = 0; х = 0. Подставим

полученное значение х = 0 в одно из уравнений системы: у = 2х2 = 2?02 = 0. Следовательно, точка пересечения графиков функций у = 2х2 и у = - х2 имеет координаты (0; 0). Ответ: (0; 0). 3. Игра «Проведи линию». На одной стороне доски в прямоугольниках написаны значения коэффициента а, на другой – точки, через которые проходит парабола у = ах2. Нужно соотнести прямоугольники. Соединять их линий может тот ученик, который первым нашел правильный ответ. А (1; 1); а) а = ; В (-2; 1); б) а = -1; С (2; -4); в) а = ; D (3; 2); г) а = 1. Решение: Координата точки А (1; 1), где х = 1 и у = 1. Подставим данные значения в уравнение параболы: Координата точки В (-2; 1), где х = -2 и у = 1. Подставим данные значения в уравнение параболы: 1 = а ? (-2)2 . Отсюда а = . Координата точки С (2; -4), где х = 2 и у = -4. Подставим данные значения в уравнение параболы: -4 = а ? (-2)2 . Отсюда а = -1.

1 = а ?12 . Отсюда а = 1.

Координата точки D (3; 2), где х = 3 и у = 2. Подставим данные

значения в уравнение параболы: 2 = а ? 32 . Отсюда а = . Ответ: 1 –г; 2 – в; 3 – б; 4 – а. 4. Определите, является ли функция у = - х2 убывающей или возрастающей: 1) на отрезке [-3; 0]. Решение: составим таблицу для графика функции у = - х2 : Постоим график функции: у 0 х

Х

-3

-2

-1

0

1

2

3

У

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5

На отрезке [-3; 0] функция у = - х2 возрастает, т. е. Является возрастающей. Ответ: возрастающая.

2) На полуинтервале (-1; 0,5]

Решение: на полуинтервале (-1; 0,5] функция

У = - х2 не является ни

возрастающей, ни убивающей, т.к. она возрастает на отрезке [-1; 0] и убывает на отрезке [0; 0,5]. Ответ: не является ни возрастающей, ни убывающей. 3) На интервале (5; 7). Решение: на интервале (5; 7) функция у = - х2 убывает, т.е. является убывающей. Ответ: убывающая.

V. Самостоятельная работа

( На доске изображены части графиков функций у = х2 (на отрезке [-?; 0]), у = -2 х2 (на отрезке [0; +?]), у = х2 (на отрезке [0; +?]), у = - х2 ( на отрезке [-?; 0]. Цель: отработка умения правильно определять координаты точек, через которые проходит парабола, и зеркально отражать их относительно оси ординат.) На рисунке изображены части графиков функций. Необходимо, не составляя таблицы значений, дорисовать графики. Решение: так как графики функций у = х2 и у = ах2 симметричны относительно оси ординат, то можно дорисовать графики, зеркально отражая значения координат парабол относительно оси Оу. у х

Спасибо