Презентация на тему «Функция нескольких переменных»

Математический анализ Тема: Функция нескольких переменных

Лектор Пахомова Е.Г.

2010 г.

ГЛАВА III

Функции нескольких переменных

§8. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = {(x1, x2 , …, xn) | xi?Xi ? ? } , U ? ? . Функция f : X ? U называется функцией n переменных . Записывают: u = f(x1, x2 , …, xn) , где f – закон, задающий соответствие между x1, x2 , …, xn и u . Значение u = f(x1, x2 , …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, …, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, x02 , …, x0n) или

Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2,

…, xn – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u) ), u (u ?U) – зависимая переменная (функция). 2. Предел функции нескольких переменных Напомним: Число A?? называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если ??>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, ?) , то f(x)?U(A, ?) .

?(x,y) 

(x,y) ? M?xOy ; ? z = f(x,y) = f(M), где M?D?xOy . ?(x,y,z) ? M?Oxyz ? u = f(x,y,z) = f(M), где M?D?Oxyz . По аналогии, последовательность (x1, x2 , …, xn) будем считать декартовыми координатами точки n-мерного пространства и рассматривать функцию n переменных как функцию точки этого пространства. Обозначают: ?n – n-мерное пространство, u = f(M) , где M(x1, x2 , …, xn)??n – функция n переменных.

Если M1(x1), M2(x2)

сли M1(x1), M2(x2)?Ox , то расстояние между ними (обознача- ют: | M1M2 |) находится по формуле: Если M1(x1,y1), M2(x2,y2)?xOy , то Если M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)?Oxyz , то Обобщая эти формулы, будем считать, что расстояние между точками n-мерного пространства M1(x1, x2 , …, xn), M2(y1, y2 , …, yn)??n равно

Пусть M0(x01, x02 , …, x0n)

усть M0(x01, x02 , …, x0n)??n . Множество точек ?n , находя- щихся от M0 на расстоянии меньшем ?, будем называть ?-окрестностью точки M0 и обозначать U(M0,?). Иначе говоря, ?-окрестность M0(x01, x02, …, x0n) состоит из таких точек M(x1, x2 , …, xn), для которых имеет место неравенство При n = 1 U(M0,?) = {M?Ox | |M0M| = |x – x0| < ?} = (x0 – ?, x0 + ?) . При n = 2 т.е. U(M0,?) точки M0(x0,y0) – круг с центром в точке M0(x0,y0) и радиусом ? . При n = 3 т.е. U(M0,?) точки M0(x0,y0,z0) – шар с центром в точке M0(x0,y0,z0) и радиусом ? .

?-окрестность точки M0

?n без самой точки M0 будем называть проколотой и обозначать U*(M0,?) Пусть функция n переменных u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0??n , кроме, может быть, самой M0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A?? называется пределом функции f(M) при M стремящемся к M0 (пределом функции f(M) в точке M0), если ??>0 ??>0 такое, что если M?U*(M0, ?) , то f(M)?U(A, ?) . Записывают в общем случае: Для функции z = f(x,y):

Замечания

1) Условие M?U*(M0,?) означает, что выполняется неравен- ство: 2) Условие f(M)?U(A,?) означает, что для f(M) выполняется неравенство | f(M) – A | < ? 3) Так как формально определение предела функции n пере- менных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных. 4) Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

3. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M0 ??n . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0 если справедливо равенство Справедливы утверждения: 1) арифметические операции над непрерывными в точке M0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль); 2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной. Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0 (за исключением, может быть, самой M0), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M0, а саму точку M0 – точкой разрыва.

§9

Частные производные

Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – открытая область. Пусть ?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 приращение ?x, оставляя значение y0 неиз- мененным (так, чтобы точка M(x0 + ?x,y0)?D). При этом z = f(x,y) получит приращение ?xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + ?x,y0) – f(x0,y0). ?xz(M0) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Предел (если он существует и конечен) называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0). Обозначают: или

Замечания

1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения ?z(x0,y0) и ?x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M0(x0,y0): Обозначают:

Соответствие (и ) является функцией, определенной на D1(D2)

D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y),

актически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой. ПРИМЕР. Найти частные производные по x и по y функции f(x,y) = x2 + xy2 + y3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) частную произ- водную по x (y). Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где ?(?) – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной, проведен- ной в точке P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии пересечения поверхнос- ти S и плоскости y = y0 (x = x0).

§10

Частные производные высших порядков

Пусть z = f(x,y) имеет и , определенные на D ? xOy . Функции и называют также частными производными первого порядка функции f(x,y) (или первыми частными производными функции f(x,y)). и в общем случае функции переменных x и y . Частные производные по x и по y от и , если они существуют, называются частными производ- ными второго порядка (или вторыми частными производ- ными) функции f(x,y).

Обозначения

Частные производные второго порядка в общем случае являют- ся

функциями двух переменных. Их частные производные (если они существуют) называют частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) функции z = f(x,y). Продолжая этот процесс, назовем частными производными порядка n функции z = f(x,y) частные производные от ее частных производных (n – 1)-го порядка. Обозначения аналогичны обозначениям для частных производ- ных 2-го порядка. Например: Частные производные порядка n > 1 называют частными производными высших порядков.

Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам,

называются смешанными. Частные производные высших порядков, взятые по одному аргументу, называют иногда несмешанными. ПРИМЕР. Найти частные производные 2-го порядка от функции z = x4 + 3x2y5 . ТЕОРЕМА 1 (условие независимости смешанной производной от последовательности дифференцирований). Пусть z = f(x,y) в некоторой области D ? xOy имеет все частные производные до n-го порядка включительно и эти производные непрерывны. Тогда смешанные производные порядка m (m ? n), отлича- ющиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.

§11

Дифференцируемость функций нескольких переменных

1. Дифференцируемые функции нескольких переменных Пусть z = f(x,y) , D(z) = D ? xOy , D – область (т.е. открытое связное множество). Пусть ?M0(x0,y0)?D . Придадим x0 и y0 приращение ?x и ?y соответственно (так, чтобы точка M(x0 + ?x,y0 + ?y)?D). При этом z = f(x,y) получит приращение ?z(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + ?x,y0 + ?y) – f(x0,y0). ?z(M0) называется полным приращением функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0), соответствующим ?x и ?y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция z = f(x,y) называется дифференци- руемой в точке M0(x0,y0) если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде ?z(M0) = A ? ?x + B ? ?y + ?1 ? ?x + ?2 ? ?y , (1) где A, B – некоторые числа, ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0 (или, что то же, при ). Замечание. Функции ?1 и ?2 зависят от x0,y0,?x,?y. Равенство (1) можно записать и в более сжатой форме: ?z(M0) = A ? ?x + B ? ?y + ? ? ? , (2) где – бесконечно малая при ? ? 0. Функция z = f(x,y), дифференцируемая в каждой точке некото- рой области D, называется дифференцируемой в D.

Напомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы

апомним: для дифференцируемой функции y = f(x) справед- ливы утверждения: 1) y = f(x) дифференцируема в x0 ? ?f ?(x0); 2) y = f(x) дифференцируема в x0 ? y = f(x) непрерывна в x0 . ТЕОРЕМА 1 (необходимые условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем

Замечания

1) С учетом теоремы 1 равенства (1) и (2) можно записать соответственно в виде: (3) (4) где ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0, ? – бесконечно малая при ? ? 0. 2) Утверждение обратное теореме 1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифферен- цируемость функции.

ПРИМЕР

Функция непрерывна в точке (0;0) и имеет в этой точке частные производные, но не явля- ется в этой точке дифференцируемой. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия дифференцируемости ФНП) Пусть функция z = f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) частные производные и , причем в самой точке M0 эти производные непрерывны. Тогда функция z = f(x,y) дифференцируема в этой точке.

2. Дифференциал ФНП

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда где ?1,?2 – бесконечно малые при ?x ? 0, ?y ? 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0), то линейная относительно ?x и ?y часть ее пол- ного приращения в этой точке, т.е. называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) и обозначается dz(M0) или df(x0,y0).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ полного дифференциала функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть S – поверхность, P0 – фиксированная точка на поверхности S, P – текущая точка на поверхности S. Проведем секущую прямую PP0. Плоскость, проходящая через точку P0, называется касатель- ной плоскостью к поверхности S в точке P0, если угол между секущей PP0 и этой плоскостью стремится к нулю когда точка P стремится к P0, двигаясь по поверхности S произвольным образом.

Прямая, проходящая через точку P0 перпендикулярно касатель- ной

плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке P0. ДОКАЗАНО, что 1) если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0), то поверхность z = f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость. Ее уравнение: ? уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в P0(x0,y0,f(x0,y0)):

2) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) –

) если поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) – дифференцируема в P0(x0,y0,z0), причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в P0 в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке P0(x0,y0,z0) существует и ее уравнение ? уравнения нормали к поверхности F(x,y,z) = 0 в P0(x0,y0,z0): Замечание. Точка P0(x0,y0,z0) поверхности F(x,y,z) = 0, в которой все частные производные функции F(x,y,z) обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности.

Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

усть функция z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). ? поверхность z = f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательную плоскость. Ее уравнение: Обозначим x – x0 = ?x, y – y0 = ?y. Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: ТАКИМ ОБРАЗОМ, полный дифференциал функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) равен приращению, которое получает аппликата точки P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательной плоскости к поверхности z = f(x,y), когда ее координаты x0 и y0 получают приращения ?x и ?y соответственно.

Очевидно, что соответствие (x0,y0,

x,?y) ? df(x0,y0) является функцией (четырех переменных). Ее называют полным дифференциалом функции z = f(x,y) и обозначают dz или df(x,y). Легко доказать, что полный дифференциал функции n пере- менных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В частности, для df(x,y) существует вторая, инвариантная форма записи:

3. Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть z = f(x,y) дифференцируема в области D1?D(f) . Ее дифференциал dz(M) – функция переменных x, y, dx, dy. Далее будем dz(M) называть дифференциалом 1-го порядка. Зафиксируем значение dx и dy. Тогда dz(M) станет функцией двух переменных x и y. Дифференциал функции dz(M) (если он существует) называется дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x,y) (или вто- рым дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозначается d 2z, d 2f(x,y). d 2z(M) – функция переменной x и y. Дифференциал функции d 2z(M) (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции z = f(x,y) (или третьим дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозна- чается d 3z, d 3f(x,y).

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка

функции z = f(x,y) как дифференциал от ее диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d nz, d nf(x,y). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x,y) в точке (x0,y0) обозначают d nz(M0), d nf (x0,y0) . Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция z = f(x,y) имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 3 (о связи дифференциала n-го порядка и n-х частных производных). Если все производные k-го порядка функции z = f(x,y) в области D непрерывны, то она k раз дифференцируема. При этом имеет место символическая формула

Замечание

1) Чтобы записать дифференциал по формуле (6) необходимо: а) формально раскрыть скобку по биномиальному закону, б) умножить получившееся выражение на f(x,y), в) заменить каждое произведение частной производной Например, для n = 2 получим: Для n = 3 получим:

2) Символическая формула для нахождения дифференциала dku функции

u = f(x1,x2,…xn) будет иметь вид при условии, что x1,x2,…xn – независимые аргументы. 3) В теореме 3 предполагается, что z = f(x,y) – k раз дифференцируемая функция 2-х независимых переменных. Если x,y – функции, то она не будет справедлива. Т.е. формула (6) не является инвариантной.

§12

Частные производные сложных ФНП

Пусть z = f(x,y), где x = ?1(u,v), y = ?2(u,v). Тогда z – сложная функция независимых переменных u и v. Переменные x и y называются для z промежуточными переменными. ЗАДАЧА: найти частные производные функции z по u и v. ТЕОРЕМА 1 ( о производной сложной функции). Пусть z = f(x,y), где x = ?1(u,v), y = ?2(u,v). Если f(x,y), ?1(u,v), ?2(u,v) дифференцируемы, то справедливы формулы (1)

Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего

числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если u = f(x1, x2 , …, xn), где xi = ?i(t1, t2 , …, tm) (i = 1,2, …, n), то

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 

АСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = ?1(t), y = ?2(t). Тогда z – сложная функцией одной переменной t. Если f(x,y), ?1(t), ?2(t) дифференцируемы, то справедлива формула (2) 2) Пусть z = f(x,y), где y = ?(x) Тогда z – сложная функцией одной переменной x. Если f(x,y), ?(x) дифференцируемы, то справедлива формула (3) Производная в левой части формулы (3) называется полной производной функции z.

§13

Дифференцирование неявных функций

ТЕОРЕМА 1 (существования неявной функции). Пусть функция F(x1, x2 , …, xn , u) и все ее частные произ- водные 1-го порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки P0(x01 , x02 , …, x0n , u0). Если F(P0) = 0 и , то ? такая окрестность U точки M0(x01 , x02 , …, x0n), в которой уравнение F(x1, x2 , …, xn , u) = 0 определяет непрерывную функцию u = f(x1, x2 , …, xn), причем 1) f(M0) = u0 ; 2) для любой точки M(x1, x2 , …, xn)?U 3) функция u = f(x1, x2 , …, xn) имеет в окрестности U непрерывные частные производные по всем аргументам.

ЗАДАЧА

Найти частные производные неявно заданной функции. 1) Пусть F(x,y) удовлетворяет условиям теоремы 1 в некоторой окрестности P0(x0,y0) Тогда уравнение F(x,y) = 0 определяет в некоторой окрестности U точки x0, непрерывную функцию y = f(x). (1) 2) Пусть F(x,y,z) удовлетворяет условиям теоремы 1 в окрестности P0(x0,y0,z0) . Тогда уравнение F(x,y,z) = 0 определяет в некоторой окрест- ности U точки M0(x0,y0) непрерывную функцию z = f(x,y). Так как фактически это обыкновенная производная функ- ции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной пере- менной при постоянном значении другой, то по формуле (1) получаем

§14

Экстремумы ФНП

Пусть z = f(x,y) определена в некоторой области D?xOy , M0(x0,y0)?D . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции f(x,y), если ?M(x,y)?U(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) ? f(x0,y0) . Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции f(x,y), если ?M(x,y)?U(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) ? f(x0,y0) . Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами (экстремумами) этой функции.

Замечания

1) По смыслу точкой максимума (минимума) функции f(x,y) могут быть только внутренние точки области D. 2) Если ?M(x,y)?U*(M0,?) выполняется неравенство f(x,y) < f(x0,y0) [ f(x,y) > f(x0,y0) ], то точку M0 называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума) функции f(x,y). Определенные в 1 точки максимума и минимума называют иногда точками нестрогого максимума и минимума. 3) Понятия экстремумов носят локальный характер. В рассматриваемой области функция может совсем не иметь экстремумов, может иметь несколько (в том числе бесчисленно много) минимумов и максимумов. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума)

Если функция z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 2. Если M0(x0,y0) – точка экстремума функции z = f(x,y), то касательная плоскость к графику этой функции в точке P0(x0,y0,f(x0,y0)) либо параллельна плоскости xOy, либо вообще не существует. Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 2, называются критическими точками функции z = f(x,y).

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных)

Пусть M0(x0,y0) – критическая точка функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки M0 функция имеет непрерыв- ные частные производные до 2-го порядка включительно. Обозначим Тогда 1) если A ? C – B2 < 0 , то точка M0(x0,y0) не является точкой экстремума; 2) если A ? C – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум; 3) если A ? C – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M0(x0,y0) функция имеет максимум; 4) если A ? C – B2 = 0 , то никакого заключения о крити- ческой точке M0(x0,y0) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Замечание

1) Если с помощью теоремы 3 исследовать критическую точку M0(x0,y0) не удалось, то ответ на вопрос о наличии в M0 экстремума даст знак ?f(x0,y0) : а) если при всех достаточно малых ?x и ?y имеем ?f(x0,y0) < 0, то M0(x0,y0) – точка строгого максимума; б) если при всех достаточно малых ?x и ?y имеем ?f(x0,y0) > 0, то M0(x0,y0) – точка строгого минимума. В случае нестрогих экстремумов при некоторых значениях ?x и ?y приращение функции будет нулевым 2) Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции n (n > 2) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек для них мы будем по знаку приращения функции.

§15

Скалярное поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в простран- стве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что на G задано скалярное поле, если в каждой точке M?G определена функция 3-х переменных u = f(M) [функция 2-х переменных z = f(M)]. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент.

1. Производная по направлению

Пусть z = f(x,y) определена в области D?xOy , M0(x0,y0)?D, s? – некоторый вектор. Пусть M(x0+?x,y0+?y) ?D , такая, что ? s?? . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен то его называют производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению вектора s? . Обозначают:

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ – средняя скорость

изменения функции z = f(x,y) на отрезке M0M . – скорость изменения функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) в направлении вектора s? . Так же как и для функции одной переменной доказывается, что 1) если , то функция в точке M0(x0,y0) в направле- нии вектора s? возрастает; 2) если , то функция в точке M0(x0,y0) в направле- нии вектора s? убывает; 3) если , то в направлении вектора s? функция не изменяется. ? направление вектора s? – направление линии уровня функ- ции, проходящей через точку M0 (вектор s? является касательным к линии уровня в точке M0).

Замечание

Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно: – производная функции по направлению век- тора i (направлению оси Ox); – производная функции по направлению век- тора j (направлению оси Oy).

Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0)

усть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда где ? – бесконечно малая при Обозначим | M0M | = ? . Тогда ?x = ? ? cos? , ?y = ? ? cos? где cos?, cos? – направляющие ко синусы вектора s? . Следовательно, Разделив на | M0M | = ? и перейдя к пределу при ? ? 0, полу- чим

где cos

, cos? – направляющие косинусы вектора s? . Замечание. Аналогично определяется и обозначается производ- ная по направлению для функции 3-х переменных u = f(x,y,z). Для нее получим ? , cos? , cos? – направляющие косинусы вектора s?.

2. Градиент

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется вектор с координатами Обозначают: gradz(M0). СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА 1) gradz(M0) определяет направление, в котором функция в точке M0 возрастает с наибольшей скоростью. При этом | gradz(M0) | равен наибольшей скорости изменения функции в точке M0. 2) gradz(M0) перпендикулярен к линии уровня функции z = f(x,y), проходящей через точку M0. Замечание. Для функции 3-х переменных градиент определя- ется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.