Функция Y=X

Функция

Подготовил Кожемяко Никита, 9 класс 2008г.

Актуальность – собрать сведения по теме в связи с подготовкой к

экзамену Проблема – в школьном курсе алгебры недостаточно задач с модулем Объект исследования – функция Предмет исследования – функция у=|x| Цель – рассмотреть решение распространённых задач с модулем Гипотеза – я предполагал, что задачи с модулем решаются только графически Задачи – 1.Вспомнить известную мне информацию о задачах с модулем 2.Придумать новые задачи 3.Проконсультироваться с учителем 4.Создать презентацию 5.Защитить работу

Определение модуля

В математике через |x| обозначается абсолютная величина, или модуль числа х. Абсолютная величина числа х равна этому числу, если х>0, равна противоположному числу –х, если x<0, и равна нулю, если х=0. Таким образом, функция |x| определена для всех х (-?;+?). Множество её значений совпадает с множеством неотрицательных чисел.

Х, если х?0, -х, если х<0.

|x|=

График функции

Свойства функции

1.D(f)=(-?;+?) 2.E(f)=[0;+?) 3.Ограничена снизу 4.Возрастает на[0;+?) убывает на(-?;0] 5.Чётная функция 6. 7.Непрерывна

У

Х

Решение уравнений с модулем графическим методом

|x-3|-1=x3

y=|x-3|-1

y=x3

У

x

1

4

Ответ: x=1

0

Решение неравенств с модулем графическим методом

Решим неравенство |x|-2 ?

y=|x|-2

y

y=

x

Ответ: [4;+?)

1

4

0

Решение уравнения с параметром и модулем графическим способом

|x+2|+1 =c

Сколько решений имеет уравнение

У

y=|x+2|+1

y=c

Рассмотрим 3 случая Iсл. c>1, 2 решения IIсл. c<1, нет решений IIIсл. c=1, 1 решение

x

1

0

Аналитический метод решения уравнения с модулем

Ответ:-2, 8

Решим уравнение|x-3|=5 I способ

II способ x-3=5 или x-3=-5 x=8 x=-2

Рассмотрим два случая

1 случай x-3?0 x-3=5 x=5+3 x=8, 8-3?0 (и)

2 случай x-3<0 3-x=5 -x=5-3 x=-2, -2-3<0 (и)

Алгоритм решения уравнений с модулем

Найти нули модулей. Отметить нули на координатной прямой. Решить уравнение на каждом из промежутков с помощью системы. Написать ответ.

Решение уравнений с двумя модулями

|x|=|x-3|+4-x |x|=0,|x-3|=0

Х

0

3

Нули модулей: 0;3

1сл. x<0 -x=3-x+4-x x=7, 7<0 (л) Решений нет

2сл. 0?x?3 x=-x+3+4-x x=7/3 ,0?7/3?3 (и) 7/3 - корень

3сл. x>3 x=x-3+4-x x=1 ,1>3 (л) Решений нет

Ответ: 7/3.

Решение неравенств с модулем аналитическим методом

Ответ: (-3;-2)U[-1;+?).

|x+2|?1

Рассмотрим два случая

II случай x+2<0 -2-x<1 x<-2 x>-3

I случай x+2?0 x+2?1 x?-2 x?-1

-2

-1

x

x

-3

-2

x [-3;-2]

x [-1;+?)

Решение неравенств с модулем различными методами

Третий способ. Имеем: |x-2.5|>2. Геометрически выражение |x-2.5| означает расстояние р(x-2.5) на координатной прямой между точками х и 2.5. Значит, нам нужно Найти все такие точки х, которые удалены от точки 2.5 более, чем на 2- это точки из промежутков (-?;0.5) и (4.5;+?) Итак, получили следующее решения неравенства: х<0.5;x>4.5. Четвёртый способ. Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведение их в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Получим |2x-5|2>42 Воспользовавшись тем что |x|2=x2, получим (2x-5-4)(2x-5+4)>0 Применив метод интервалов получим тот же ответ.

Алгоритм решения неравенств с модулем

Найти нули модулей. Отметить нули на координатной прямой. Решить неравенство на каждом из промежутков с помощью системы. Написать ответ.

Решение неравенств с двумя модулями

|x+1|?|x-2|

Х

-1

2

Нули модулей: -1;2

1сл. x<-1 -x-1?-х+2 0x?3, 0?3 (л) Решений нет

2сл. -1?x?2 х+1?-x+2 2х?1 х?0,5

3сл. X>2 х+1?х-2 0x?-3,0?3 (и)

0,5

-1

2

2

Ответ:(0,5;+?)

Х

Х

График функции у=|x+1|-|x-2|

Нули модулей: -1;2

1сл. X<-1 у=-x-1+х-2 x<-1 у=-3

2сл. -1?x?2 у=х+1+x-2 -1?x?2 у=2х-1

3сл. X>2 у=х+1-х+2 x>2 у=3

-3, x<-1 2х-1, -1?x?2 3, x>2

У=

У

0

Х

Выводы

В ходе работы над проектом моя гипотеза не подтвердилась. Я не только вспомнил графический способ, но и научился решать уравнения и неравенства аналитическим методом и строить графики с несколькими модулями. В дальнейшем можно рассмотреть аналитический метод решения неравенств и уравнений с модулем и параметром.

Список литературы

Алгебра:Для 8 кл.:учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб.изуч математики/ Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвило и др., под ред. Н.Я.Виленкина – М.: Просвещение. Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Мордкович А.Г. И др. Алгебра.9кл.: В двух частях. Ч.2: Учебник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Мордкович А.Г. И др.Алгебра и начала анализа 10-11кл.: В двух частях. Ч.1: Задачник для общеообразоват. учреждений/М.:Мнемозина, 2004 г. Математика: Учеб. Для 6 кл. сред. шк./Н.Я. Виленкин и др. М.: Просвещение, 1993.