Множества
<<  Конечно, при строительстве домов нужно учитывать множество факторов Алгоритм евклида для решения уравнений двумя переменными  >>
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
0) Отрезок I = [0; 1]
0) Отрезок I = [0; 1]
Канторово множество -2
Канторово множество -2
Сумма длин удаленных интервалов: Получается, что из отрезка длиной 1
Сумма длин удаленных интервалов: Получается, что из отрезка длиной 1
Примеры
Примеры
Ф 1.К континуально(=существует биекция между К и [0;1] ). До-во
Ф 1.К континуально(=существует биекция между К и [0;1] ). До-во
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
Ф 2. Существует сюръекция s из К на [0;1] Док-во
Ф 2. Существует сюръекция s из К на [0;1] Док-во
Ф 3 = Ф 1. К континуально Док-во
Ф 3 = Ф 1. К континуально Док-во
Ф 5. Сюръекция непрерывна
Ф 5. Сюръекция непрерывна
Ф 6 (Канторова лестница, «чортова» лестница)
Ф 6 (Канторова лестница, «чортова» лестница)
График непрерывной функции вполне может НЕ получаться «одним росчерком
График непрерывной функции вполне может НЕ получаться «одним росчерком
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
Ф 7. К - компакт без изолированных точек
Ф 7. К - компакт без изолированных точек
Ф 9. Если F - замкнутое подмножество К , то существует непрерывная
Ф 9. Если F - замкнутое подмножество К , то существует непрерывная
Все точки из F, как и требуется, оставим на месте
Все точки из F, как и требуется, оставим на месте
Ф 10
Ф 10
Док-во 2 (почти прямое)
Док-во 2 (почти прямое)
Mix Ф11
Mix Ф11
Mix Ф14
Mix Ф14
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание

Презентация: «Канторово множество». Автор: kir. Файл: «Канторово множество.ppt». Размер zip-архива: 747 КБ.

Канторово множество

содержание презентации «Канторово множество.ppt»
СлайдТекст
1 Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -

Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -

проективно универсальный объект в классе метрических компактов.

Дубна, 20 июля 2015

П. В. Семенов, .

2 0) Отрезок I = [0; 1]

0) Отрезок I = [0; 1]

1) Делим I на три равных отрезка: Средний интервал удаляем. Остаются 2) С каждым из двух оставшихся отрезков делаем то же. А именно, получаем 6 отрезков длиной 1/9 и из которых удаляем средние интервалы. Остаются . 3) С каждым из четырех оставшихся отрезков делаем то же. И Т. Д.

Канторово множество -1

3 Канторово множество -2

Канторово множество -2

4 Сумма длин удаленных интервалов: Получается, что из отрезка длиной 1

Сумма длин удаленных интервалов: Получается, что из отрезка длиной 1

удалили интервалы, сумма длин которых также равна 1. А что-нибудь осталось? Да, и осталось «столько же» точек, сколько было на [0;1]. Кодировка точек канторовского множества. Пусть любая послед-ть символов 0 и 2. Тогда послед-ть стягивающихся отрезков, у которых есть ровно одна общая точка .

Канторово множество -3

5 Примеры

Примеры

Точка: 0 Код: (000…..) Точка: 1 Код: (222…..) Точка: 1/3 Код: (0222…..) Точка: 7/9 Код: (20222…..) Код: (2202000….) Точка: Код: (20202020(20)) Точка: Код: . Точка: Точки 1-го рода - в коде есть «хвост» из 0 или «хвост» из 2, т.е. концы удаляемых интервалов. Точки 2-го рода – остальные.

Канторово множество -4

6 Ф 1.К континуально(=существует биекция между К и [0;1] ). До-во

Ф 1.К континуально(=существует биекция между К и [0;1] ). До-во

К биективно множеству всех последовательностей из двух символов 0 и 2, которое биективно множеству всех подмножеств множества натуральных чисел, которое континуально ( ).

Канторово множество -5

7 Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
8 Ф 2. Существует сюръекция s из К на [0;1] Док-во

Ф 2. Существует сюръекция s из К на [0;1] Док-во

Возьмем точку из К. Выпишем ее код из 0 и 2. Все 2 заменим на 1. Получим последовательность из 0 и 1. Рассмотрим ее как разложение действительного числа из [0;1] в бесконечную двоичную дробь. Всё.

9 Ф 3 = Ф 1. К континуально Док-во

Ф 3 = Ф 1. К континуально Док-во

Значит, К и [0;1] биективны подмножествам друг друга. Остается сослаться на теорему Кантора-Бернштейна-Шрёдера. Ф 4. Сюръекция - не иньекция. Док-во. Всегда для любого удаляемого интервала

Канторово множество -6

10 Ф 5. Сюръекция непрерывна

Ф 5. Сюръекция непрерывна

Док-во. Формальный ответ: Неформально. Если коды двух точек x и y совпали на первых n местах, то и тогда двоичные дроби s(x),s(y) совпали на первых n местах, т.е. Остается формализовать переход

Канторово множество - 7

11 Ф 6 (Канторова лестница, «чортова» лестница)

Ф 6 (Канторова лестница, «чортова» лестница)

Существует непрерывная неубывающая сюръекция отрезка на себя, которая почти всюду постоянна. Док-во. Продолжим сюръекцию на интервалы, удаляемые в процессе построения множества К самым простым образом. А именно, так как всегда для любого удаляемого интервала , то на этом интервале наша функция будет соответствующей константой.

Канторово множество - 8

12 График непрерывной функции вполне может НЕ получаться «одним росчерком

График непрерывной функции вполне может НЕ получаться «одним росчерком

пера».

13 Канторово множество (канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
14 Ф 7. К - компакт без изолированных точек

Ф 7. К - компакт без изолированных точек

Ф 8. К нигде не плотно (= в любом интервале есть подинтервал, в котором нет точек из К). Док-во. Для интервала (a;b) выберем n так, чтобы . Разделим [0;1] на одинаковых отрезков. Один из них, скажем , целиком лежит в (a;b) . Если на n-ом шаге построения К внутренность удаляют, то - нужный подинтервал. Если нет, то на следующем шаге удаляют среднюю треть и эта треть - нужный подинтервал.

Канторово множество - 9

15 Ф 9. Если F - замкнутое подмножество К , то существует непрерывная

Ф 9. Если F - замкнутое подмножество К , то существует непрерывная

сюръекция такая, что . (F – ретракт К). Док-во. Возьмем По Ф8 найдем . Вырежем из прямой и разрез максимально раздвинем: отобразим в , а отобразим в

Канторово множество - 10

16 Все точки из F, как и требуется, оставим на месте

Все точки из F, как и требуется, оставим на месте

. Теорема Мазуркевича. Замкнутое подмножество нульмерного метрического пространства есть его ретракт.

17 Ф 10

Ф 10

Для любого метрического компакта X существует непрерывная сюръекция . Док-во 1 (обходное). 1) Сначала Ф10 устанавливается для специального X, для гильбертова куба : . 2) Затем используется (иньективная) универсальность : 3) Пусть . Применяем Ф9 о ретракции: 4) Тогда - то, что нужно:

Канторово множество - 11

18 Док-во 2 (почти прямое)

Док-во 2 (почти прямое)

1) Для любого в метрическом компакте X есть конечная сеть, т.е. конечное множество такое, что 2) Строим конечные сети для 3) Выписываем поочередно все сети друг за другом. Получаем последовательность плотную в X. 4) К каждой точке «привязан» открытый шарик 5) Пусть код точки .Определим по правилу 6) Пересечение или пусто, или одноточечно. 7) Пусть F - множество тех точек из K, для которых непусто. Оказывается, что F – замкнуто, а отображение есть непрерывная сюръекция . 8) Остается использовать Ф9 о ретракции: и определить

Канторово множество - 12

19 Mix Ф11

Mix Ф11

К – нульмерен (=в любой окрестности любой точки есть открыто-замкнутое подмножество ) Ф12. (уникальность К) Всякий нульмерный метрический компакт без изолированных точек гомеоморфен К. Ф13. Существует непрерывная сюрьекция отрезка на любой выпуклый компакт Х. : сюръекцию продолжить на смежные интервалы по линейности.

20 Mix Ф14

Mix Ф14

К – однороден (=любую точку можно перевести в любую автогомеоморфизмом) и строго однороден (=все clopen гомеоморфны). Ф15. (частичное решение СН) Несчетное замкнутое числовое множество содержит копию К и поэтому континуально. Ф15’ Если непрерывно отображает полное метрическое пространство X на несчетное пространство Y , то X содержит копию К и поэтому неравенство невозможно. Ф16. Существует измеримое, не борелевское множество.

21 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Канторово множество»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/kantorovo-mnozhestvo-191836.html
cсылка на страницу

Множества

8 презентаций о множествах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Множества > Канторово множество