Презентация на тему «Комплексные числа»

Комплексные числа

Минимальные условия; определения; арифметические операции; свойства.

Основные числовые системы:

Числовая система Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Комплексные числа, C

Допустимые алгебраические операции Сложение и умножение. Сложение и умножение; вычитание. Сложение и умножение; вычитание и деление. Сложение и умножение; вычитание и деление; извлечение корня из х?0 Любые операции

N

Z

C

Построение множества С комплексных чисел:

Q

R

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

С(1) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 С(2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С(3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке

Таким образом: i2 =-1, i-мнимая единица

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i

Так как, по условию, множество С содержит всё множество R, то имеет

смысл рассматривать выражения вида: i; 2i; -3i; 0,6i Такие произведения называются чисто мнимыми. 3i+5i=8i (сложение) 3i-5i=-2i (вычитание) 3i·5i=15i ( умножение) (3i)=27i ·i=-27i (степень)

3

2

Ai+bi=(a+b)i ai-bi=(a-b)i a(bi)=(ab)i (ai)(bi)=abi =-ab (a и b –

действительные числа) 0· i=0 (0 – одновременно является и действительным, и чисто мнимым числом)

Правила арифметических операций с чисто мнимыми числами:

2

Решаем № 32

5; 32.7; 32.8; 32.10; 32.11

Комплексным числом называется сумма действительного числа а и чисто

мнимого числа bi z= a +bi С <=> a R, b R, i - мнимая единица

Э

Определения комплексных чисел:

Э

Э

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные

части и равны их мнимые части. a +bi=c +di <=> a=c, b=d

(Сложение) Z +Z = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+(b+d)i (вычитание)

Z – Z= (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(bi-di)=(a-c)+(b-d)i (произведение) Z ·Z= (a+bi) (c+di)=ac+adi+cbi+bdi =ac+(ad+cb)i-bd= =(ad-bd)+(ad+cb)i

Арифметические операции над комплексными числами:

1

2

1

2

1

2

2

Решаем № 32

19; 32.20; 32.21.

Самостоятельная работа

Вариант 1. 1). Вычислите: (-i)(-2i); 12i·(-0,5i) 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az1- bz2 если z1=-2, z2=1-3i, z=4+i 3) Назовите действительную и мнимую части числа -23-45i

Вариант 2. 1). Вычислите: (-3i)(-0,2i); -1,2i·(-5i) 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az1+bz2, если z1=-2i, z2=4, z=-2+3i 3) Назовите действительную и мнимую части числа 2,3i-56

Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять

знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряжённое данному. Z=a+bi –комплексное число - сопряжённое число

13+2i 21-i 1-23i -i-1 3i-14 -3+2i -5i+2 4i+2 18i -2,7i

Найдите сопряженные данным числа:

Свойства операции перехода к сопряжённому числу:

Свойство 1. Если z=x+yi, то · z= К примеру: (x+3i)(x-3i) Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6.

x2+9=

n

Решаем:

№ 32.32 №32.33 №32.35 №32.22

Домашнее задание:

Учить §32(определения и свойства) №32.27 №32.28 №32.34