№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Комплексные числа |
2 |
 |
После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать:алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами. |
3 |
 |
I. Подготовка к изучению нового материалаКакие числовые множества Вам знакомы? |
4 |
 |
Числовая системаДопустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Вычитание, деление, извлечение корней Сложение, умножение Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Рациональные числа, Q Извлечение корней из неотрицательных чисел Сложение, вычитание, умножение, деление Действительные числа, R Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел |
5 |
 |
Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:С1) Существует квадратный корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен . С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел. |
6 |
 |
Мнимые числаI = -1, i – мнимая единица I, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: Где a и b — действительные числа. |
7 |
 |
Комплексные числаОпределение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части: |
8 |
 |
Классификация комплексных чиселКомплексные числа a + bi Действительные числа b = o Мнимые числа b ? o Мнимые числа с ненулевой действительной частью a ? 0, b ? 0. Чисто мнимые числа a = 0, b ? 0. Рациональные числа Иррациональные числа |
9 |
 |
Арифметические операции над комплексными числами(А + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i (А + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i (А + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i |
10 |
 |
Сопряженные комплексные числаОпределение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается : Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами. : . |
11 |
 |
Свойства сопряженных чиселСумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. |
12 |
 |
Свойства сопряженных чиселЧисло, сопряженное п-ой степени комплексного числа z, равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е. |
13 |
 |
Степени мнимой единицыПо определению первой степенью числа i является само число i, а второй степенью – число -1: i1 = i, i2 = -1 . Более высокие степени числа i находятся следующим образом: I4 = i3 ? i = -?i2= 1; i5 = i4 ? i = i; i6 = i5 ? i = i2= - 1 и т.Д. Очевидно, что при любом натуральном n i4n = 1; i4n+1 = i; i4n +2 = - 1 i4n+3 = - i. |
14 |
 |
Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраическойформе. Определение. Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z, если его квадрат равен z: Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b?0, то эти два числа выражаются формулой: |
15 |
 |
Геометрическое изображение комплексных чиселКомплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число , равное расстоянию от точки М до начала координат y М (a, b) b ? O a x |
16 |
 |
Тригонометрическая форма комплексного числаГде ? – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа, |
17 |
 |
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрическойформе Теорема 1. Если И То: А) Б) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда |
18 |
 |
Извлечение корня из комплексного числаТеорема. Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-степени. Если |
«Комплексные числа» |