Презентация на тему «Комплексные числа»

Комплексные числа

Козлова Мария 10 «А» класс

i? = - 1 действительных корней нет

Но в новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится специальный символ i, называемый мнимой единицей. i?=-1

Понятие комплексного числа

Х?=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, такое , что i?=-1

Z=А + В· i

Запись комплексного числа в общем виде

Z=А + В· i

А и В – действительные числа i- некоторый символ , такой, что i?= -1 A= Re z – действительная часть числа (вещественная); B = i m – мнимая часть числа i – мнимая единица

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

Z=А - В· i

Z= А + В· i

(Z) = Z

Модуль комплексного числа

Z = A + B i=

Сопряженное

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z =r ?- аргумент комплексного числа Z=r cos ? + i rsin ? = = r (cos ?+ i sin ?) Для Z=0 аргумент не определяется

Z= А + В· i= cos

+i sin?

Т.к Z =r =

Сложение и умножение комплексных чисел

Алгебраическая форма

Геометрическая форма

Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I

Произведение Z1= r1 (cos ?1+ i sin ?1) Z2= r2(cos ?2+ i sin ?2) Z1 ·Z2= r1r2[cos( ?1+ ?2)+isin ( ?1+ ?2)]

Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1= Z2, то получим Z

=[r (cos ?+ i sin ?)]?= r? (cos2 ?+ i sin 2?) Z?= Z?·Z=[r (cos ?+ i sin ?)]?·r (cos ?+ i sin ?)= r? (cos3 ?+ i sin 3?)

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos ?+ i sin ?)?0 и любого натурального числа n

Свойства сложения и умножения

Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство:

Z1 + Z2 = Z1 +Z2

Z1 · Z2 = Z1 ·Z2

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание – операция, обратная сложению:

Z+ Z2 = Z1

Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )

Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Например,

Вычислите:

Найдем:

Значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Решение

i ,– 1, – i , 1 , i, – 1, – i, 1 и т. д. Имеем, 28 = 4?7 (нет остатка); 33 = 4?8 + 1 ; 135 = 4?33 + 3 . Соответственно получим

1

-i

-1

2-i

-1

Вычислите:

Комплексные числа

В математике

Гораздо

Шире,

Действительные

В настоящее время

Используются

Чем

Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки,

являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи.

При вычерчивании географических карт

Применяются при конструировании ракет и самолетов

В исследовании течения воды, а также во многих других науках

Используемая литература

Афанасьев О. Н., Бродский Я. С. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1992. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. – М.: Просвещение, 1990. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. Говоров В. М., Дыбов П. Т. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Наука, 1983. Маркулевич А. И. Комплексные числа и камфорные отображения. – М., 1960 Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. – М.: ОНИКС XXI век, Мир и образование, 2002. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. – М.: Просвещение, 1989. Шахно К. У. Элементарная математика для окончивших среднюю школу. – Л., 1976. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1976. Штейнгауз В. Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

Спасибо за внимание