Комплексные числа

Комплексные числа

N C Z C Q C R C C

N- ”natural” R- “real” C - “complex” Z – исключительная роль нуля “zero” Q – “quotient” отношение ( т.К. Рациональные числа – m/n).

C

R

Q

Z

N

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей

Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый»)

"Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

Понятие комплексного числа

Х+а=b - недостаточно положительных чисел a·x + b=0 (a?0) – разрешимы на множестве рац.Чисел x?=2 или x?=5 - корни - иррациональные числа x?=- 1 не разрешимо на множестве действ. Чисел

Х+5=2

Х+5=2

3x+5=0

Решение квадратных уравнений

ах?+ bx+ c =0 При D<0 действительных корней нет

Вид комплексного числа

Х? = -1 х = х= i -корень уравнения i- число, такое , что i? = -1 i – мнимая единица

Элемент i называется мнимой единицей. («imaginary» - переводится «мнимый», «воображаемый»)

Д)

Е)

Ж)

З)

Определение комплексного числа

Сумма a+bi (a и b действительные числа) а = 0, то a+bi =0+bi= bi (мнимое) b = 0, то a+bi =а+0= а (действительное) а и b не равны нулю, то a+bi ни действительное, ни мнимое. Оно более сложное составное число.

Состав комплексного числа

Bi мнимая часть числа

А действительная часть числа

Например: i, 2i, 3i – чисто мнимые числа. 3; -1,5; 82 – действительные числа 3+12i ; 0,8 – 36i – комплексные числа

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО z = a + bi

Равенство комплексных чисел

Например: 1+ 2i = 1+2i Найдите х, если -3+i = -3+xi 5,8 – 9i = x – 9i

Сопряженные числа

И

Арифметические операции над КЧ

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Арифметические операции над КЧ

Арифметические операции над КЧ

Комплексные числа и координатная плоскость

Комплексные числа и координатная плоскость

z=4+2i 2z = 8+4i

z=-3+2i -2z = 6-4i

Модуль комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если z1= z2, то получим z

=[r (cos ?+ i sin ?)]?= r? (cos2 ?+ i sin 2?) z?= z?·z=[r (cos ?+ i sin ?)]?·r (cos ?+ i sin ?)= = r? (cos3 ?+ i sin 3?)

Формула Муавра

Для любого z = r (cos ?+ i sin ?)?0 и любого натурального числа n

Корень из комплексного числа

Пример:

Решить уравнение: