№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Квадратичная функция |
2 |
 |
Квадратичная функцияОпределение. Квадратичной функцией называется функция вида у = ах2 + bх + с (а, b, с –числа, а ? 0). у = 3х2; у = х2 – 5х – 7; у = -6х2 + 14. Функция у = х2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а = 1, b = 0, с = 0. |
3 |
 |
График квадратичной функцииГрафик квадратичной функции называют параболой, а уравнение у = ах2 + bх + с (а ? 0) – уравнением параболы. x У = х2 У = 2х2 0 0 0 ± 0,5 0,25 0,5 ±1 1 2 ± 1,5 2,25 4,5 ± 2 4 8 |
4 |
 |
Функция у = ах2Функция у = ах2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а ? 0, b = 0, с = 0. |
5 |
 |
График функции у = ах2Точка, в которой парабола пересекается со своей осью симметрии Оу называется вершиной параболы, это начало координат (0; 0). Парабола у = ах2 (а ? 0) делится осью симметрии на две части; они называются ветвями параболы. |
6 |
 |
График функции у = ах2При a > 0 ветви параболы у = аx2 направлены вверх. При a < 0 ветви параболы у = аx2 направлены вниз. |
7 |
 |
График функции у = ах2Если а > 1, то парабола у = ах2 получается из параболы у = х2 растяжением в а раз вдоль оси Оу; если 0 < a < 1, то парабола у = ах2 получается из параболы у = х2 сжатием в раз вдоль оси Оу; |
8 |
 |
Свойства функции у = ах2Теорема (о свойствах функции у = аx2 , а ? 0). 1. Область определения функции у = аx2 (а ? 0) - множество R всех действительных чисел. 2. Множеством значений функции у = x2, при a > 0 является промежуток [0; +?); при a < 0 является промежуток (- ?; 0]. |
9 |
 |
Свойства функции у = ах23. Значение функции у = 0 является наименьшим, наибольшего значения функция у = ax2 при a > 0 не имеет. Значение функции у = 0 является наибольшим, наименьшего значения функция у = ax2 при a < 0 не имеет. 4. Парабола у = ax2 (a ? 0) имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) – начало координат. |
10 |
 |
Свойства функции у = ах2Значение аргумента х = 0 является нулем функции у = аx2 (a ? 0). Функция у = аx2 (a ? 0) является четной. D(у) = R симметрична относительно нуля. у(-х) = а(-x)2 = аx2 = у(х). График функции симметричен относительно оси Оу. |
11 |
 |
Свойства функции у = ах2Функция у = аx2 при a > 0 принимает положи-тельные значения (у > 0) на множестве (-?; 0) (0; +?), т.е. при х ? 0 парабола расположена в I и II координатных углах; при a < 0 принимает отри-цательные значения (у < 0) на множестве (-?; 0) (0; +?), т.е. при х ? 0 парабола расположена в III и IV координатных углах. ? ? |
12 |
 |
Свойства функции у = ах2Функция у = аx2 при a > 0 убывает от +? до 0 на промежутке (-?; 0] и возрастает от 0 до +? на промежутке [0; +?); при a < 0 возрастает от 0 до +? на промежутке (-?; 0] и убывает от +? до 0 на промежутке [0; +?). |
13 |
 |
Функция у = ах2 +cФункция у =ах2 + c является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а ? 0, b = 0, с ? 0. |
14 |
 |
График функции у = ах2 +cПарабола у =ах2 + c получается сдвигом параболы у =ах2 вдоль оси Оу: при с > 0 на с единиц вверх; при с < 0 на |c| единиц вниз. У = aх2 + c У = aх2 У = aх2 - c |
15 |
 |
Функция у = ах2 +cа) вершина параболы – т. А(0; 3); б) ось симметрии – ось Оу; в) ветви параболы направлены вниз; г) - нули функции; д) у < 0 на пр. у > 0 на пр. ; е) наибольшее значение у = 3; ж) наименьших значений нет; з) множество значений: (- ?; 3]; и) возрастает от -? до 3 на промежутке (-?; 0]; к) убывает от 3 до -? на промежутке [0; + ?). -3 |
16 |
 |
Функция у = ах2 +cа) вершина параболы – т. А(0; 3); б) ось симметрии – ось Оу; в) ветви параболы направлены вверх; г) нулей функции нет; д) у > 0 на множестве R. е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = 3; з) множество значений: [3; + ?); и) убывает от + ? до 3 на промежутке (-?; 0]; к) возрастает от 3 до + ? на промежутке [0; + ?). +3 |
17 |
 |
График функции у = а(х – s)2Парабола у =а(х – s)2 получается сдвигом параболы у = ах2 вдоль оси Ох на s единиц вправо, когда s > 0; на |s| единиц влево, когда s < 0. Осью симметрии параболы у =а(х – s)2 является прямая х = s (эта прямая параллельна оси Оу). -s +s |
18 |
 |
Функция у = а(х – s)2Рассмотрим функцию у = (х - 2)2: вершина параболы – точка (2; 0); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вверх; s > 0 Г) значение абсциссы х = 2 – нуль функции; д) значения функции положительны (у > 0) на множестве (- ?; 2) (2; + ?). е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = 0; З) множество значений функции: [0; + ?); и) убывает от + ? до 0 на промежутке (-?; 2]; к) возрастает от 0 до + ? на промежутке [2; + ?). ? +s |
19 |
 |
Функция у = а(х – s)2Рассмотрим функцию у = - (х + 2)2: вершина параболы – точка (-2; 0); б) х = -2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вниз; s < 0 Г) значение абсциссы х = -2 – нуль функции; д) значения функции отрицательны (у < 0) на множестве (- ?; -2) (-2; + ?). е) наименьших значений нет; ж) наибольшее значение у = 0; З) множество значений функции: (- ?; 0]; и) возрастает от - ? до 0 на промежутке (-?; -2]; к) убывает от 0 до - ? на промежутке [-2; + ?). ? -s |
20 |
 |
График функции у = а(х – s)2 + tПарабола у = а(х – s)2 + t получается сдвигом параболы у = ах2: вдоль оси Ох (на s единиц вправо, когда s > 0; на |s| единиц влево, когда s < 0); вдоль оси Оу на |t| единиц (вверх, когда t > 0, и вниз, когда t < 0). |
21 |
 |
График функции у = а(х – s)2 + tОсью симметрии параболы у = а(х – s)2 + t является прямая х = s (эта прямая параллельна оси Оу). Ось симметрии пересекает параболу у = а(х – s)2 + t в точке P(s; t), и эта точка является вершиной параболы. |
22 |
 |
График функции у = а(х – s)2 + tВетви параболы у = а(х – s)2 + t направлены вверх, когда а > 0, и направлены вниз, когда а < 0. |
23 |
 |
График функции у = а(х – s)2 + tРассмотрим функцию у = (х - 2)2 -3: вершина параболы – точка (2; -3); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вверх; Г) х1 = -1, х2 = 5 – нули функции; д) у > 0 на множестве (- ?; -1) (5; + ?); у < 0 на множестве (1; 5). Е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = -3; З) множество значений функции: [-3; + ?); и) убывает от + ? до -3 на промежутке (-?; 2]; к) возрастает от -3 до + ? на промежутке [2; + ?). ? +2 -3 |
24 |
 |
График функции у = а(х – s)2 + tРассмотрим функцию у = - (х - 2)2 + 3: вершина параболы – точка (2; 3); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вниз; Г) х1 = -1, х2 = 5 – нули функции; д) у < 0 на множестве (- ?; -1) (5; + ?); у > 0 на множестве (-1; 5). Е) наименьших значений нет; ж) наибольшее значение у = 3; З) множество значений функции: (- ?; 3]; и) возрастает от - ? до 3 на промежутке (-?; 2]; к) убывает от 3 до - ? на промежутке [2; + ?). ? +3 +2 |
25 |
 |
Функция у = ах2 + bx + cЛюбую квадратичную функцию у = ах2 + bх + с можно представить в виде у = а(х – s)2 + t, где ; . у = 2х2 - 4х + 3 = 2(х – 1)2 + 1, поскольку |
26 |
 |
Функция у = ах2 + bx + cЛюбую квадратичную функцию у = ах2 + bх + с можно представить в виде у = а(х – s)2 + t методом выделения полного квадрата. у = 2х2 - 4х + 3 = 2 (х2 - 2х) + 3 = = 2(х2 – 2 ? х ? 1 + 12) - 2 ? 12 + 3 = 2(х – 1)2 + 1. |
27 |
 |
График функции у = ах2 + bx + cГрафик квадратичной функции у = ах2 + bх + с совпадает с графиком функции у = а(х – s)2 + t, где , . У = 2х2 - 4х + 3 у = 2(х – 1)2 + 1 |
28 |
 |
Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + cОтмечаем на координатной плоскости вершину параболы – точку где D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного трехчлена у = ах2 + bх + с. Проводим через эту точку ось симметрии параболы – прямую ; |
29 |
 |
Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + cОтмечаем точки пересечения параболы с осью Ох – это точки (х1; 0) и (х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (если они существуют, т.е. D ? 0); |
30 |
 |
Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + cОтмечаем точки пересечения параболы с прямой у = с – это точки (х3; с) и (х4; с), где х3= 0 и х4 = - - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = с; Смотрим куда направлены ветви параболы: если а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз. Изображаем схематически параболу у = ах2 + bх + с. a > 0 |
31 |
 |
Схематичное изображение функции у = -3х2 + 3x + 6Р(- ; - ), 1. Отмечаем на координатной плоскости вершину параболы – точку P(x0 ; y0 ), где ; y 5 4 3 2 1 D = b2 – 4ac = 81 > 0. Проводим через эту точку ось симметрии параболы – прямую ; Отмечаем точки пересечения параболы с осью Ох – это точки (х1; 0) и (х2; 0), где х1 = -1 и х2 = 2 - корни квадратного уравнения -3х2 + 3x + 6 = 0 ; Х = 0,5 |
32 |
 |
Схематичное изображение функции у = -3х2 + 3x + 6Отмечаем точки пересечения параболы с прямой у = 6 – это точки (х3; 6) и (х4; 6), где х3= 0 и х4 = - 1 - корни квадратного уравнения -3х2 + 3x + 6 = 6 ; Ветви параболы направлены вниз (а < 0). Изображаем схематически параболу у = 3х2 + 3x + 6. |
33 |
 |
Возможные случаи изображения параболы у = ах2 + bx + cD > 0 D = 0 D < 0 a > 0 c |
34 |
 |
Возможные случаи изображения параболы у = ах2 + bx + cD > 0 D = 0 D < 0 a < 0 O |
«Квадратичная функция» |