Квадратичная функция

Квадратичная функция

Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называется функция вида у = ах2 + bх + с (а, b, с –числа, а ? 0). у = 3х2; у = х2 – 5х – 7; у = -6х2 + 14. Функция у = х2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а = 1, b = 0, с = 0.

График квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой, а уравнение у = ах2 + bх + с (а ? 0) – уравнением параболы.

x

У = х2

У = 2х2

0

0

0

± 0,5

0,25

0,5

±1

1

2

± 1,5

2,25

4,5

± 2

4

8

Функция у = ах2

Функция у = ах2 является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а ? 0, b = 0, с = 0.

График функции у = ах2

Точка, в которой парабола пересекается со своей осью симметрии Оу называется вершиной параболы, это начало координат (0; 0). Парабола у = ах2 (а ? 0) делится осью симметрии на две части; они называются ветвями параболы.

График функции у = ах2

При a > 0 ветви параболы у = аx2 направлены вверх. При a < 0 ветви параболы у = аx2 направлены вниз.

График функции у = ах2

Если а > 1, то парабола у = ах2 получается из параболы у = х2 растяжением в а раз вдоль оси Оу; если 0 < a < 1, то парабола у = ах2 получается из параболы у = х2 сжатием в раз вдоль оси Оу;

Свойства функции у = ах2

Теорема (о свойствах функции у = аx2 , а ? 0).

1. Область определения функции у = аx2 (а ? 0) - множество R всех действительных чисел. 2. Множеством значений функции у = x2, при a > 0 является промежуток [0; +?); при a < 0 является промежуток (- ?; 0].

Свойства функции у = ах2

3. Значение функции у = 0 является наименьшим, наибольшего значения функция у = ax2 при a > 0 не имеет.

Значение функции у = 0 является наибольшим, наименьшего значения функция у = ax2 при a < 0 не имеет. 4. Парабола у = ax2 (a ? 0) имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) – начало координат.

Свойства функции у = ах2

Значение аргумента х = 0 является нулем функции у = аx2 (a ? 0). Функция у = аx2 (a ? 0) является четной.

D(у) = R симметрична относительно нуля. у(-х) = а(-x)2 = аx2 = у(х). График функции симметричен относительно оси Оу.

Свойства функции у = ах2

Функция у = аx2 при a > 0 принимает положи-тельные значения (у > 0) на множестве (-?; 0) (0; +?), т.е. при х ? 0 парабола расположена в I и II координатных углах; при a < 0 принимает отри-цательные значения (у < 0) на множестве (-?; 0) (0; +?), т.е. при х ? 0 парабола расположена в III и IV координатных углах.

?

?

Свойства функции у = ах2

Функция у = аx2 при a > 0 убывает от +? до 0 на промежутке (-?; 0] и возрастает от 0 до +? на промежутке [0; +?); при a < 0 возрастает от 0 до +? на промежутке (-?; 0] и убывает от +? до 0 на промежутке [0; +?).

Функция у = ах2 +c

Функция у =ах2 + c является частным случаем квадратичной функции у = ах2 + bх + с при а ? 0, b = 0, с ? 0.

График функции у = ах2 +c

Парабола у =ах2 + c получается сдвигом параболы у =ах2 вдоль оси Оу: при с > 0 на с единиц вверх; при с < 0 на |c| единиц вниз.

У = aх2 + c

У = aх2

У = aх2 - c

Функция у = ах2 +c

а) вершина параболы – т. А(0; 3); б) ось симметрии – ось Оу; в) ветви параболы направлены вниз; г) - нули функции; д) у < 0 на пр. у > 0 на пр. ; е) наибольшее значение у = 3; ж) наименьших значений нет; з) множество значений: (- ?; 3]; и) возрастает от -? до 3 на промежутке (-?; 0]; к) убывает от 3 до -? на промежутке [0; + ?).

-3

Функция у = ах2 +c

а) вершина параболы – т. А(0; 3); б) ось симметрии – ось Оу; в) ветви параболы направлены вверх; г) нулей функции нет; д) у > 0 на множестве R. е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = 3; з) множество значений: [3; + ?); и) убывает от + ? до 3 на промежутке (-?; 0]; к) возрастает от 3 до + ? на промежутке [0; + ?).

+3

График функции у = а(х – s)2

Парабола у =а(х – s)2 получается сдвигом параболы у = ах2 вдоль оси Ох на s единиц вправо, когда s > 0; на |s| единиц влево, когда s < 0. Осью симметрии параболы у =а(х – s)2 является прямая х = s (эта прямая параллельна оси Оу).

-s

+s

Функция у = а(х – s)2

Рассмотрим функцию у = (х - 2)2: вершина параболы – точка (2; 0); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вверх;

s > 0

Г) значение абсциссы х = 2 – нуль функции; д) значения функции положительны (у > 0) на множестве (- ?; 2) (2; + ?). е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = 0;

З) множество значений функции: [0; + ?); и) убывает от + ? до 0 на промежутке (-?; 2]; к) возрастает от 0 до + ? на промежутке [2; + ?).

?

+s

Функция у = а(х – s)2

Рассмотрим функцию у = - (х + 2)2: вершина параболы – точка (-2; 0); б) х = -2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вниз;

s < 0

Г) значение абсциссы х = -2 – нуль функции; д) значения функции отрицательны (у < 0) на множестве (- ?; -2) (-2; + ?). е) наименьших значений нет; ж) наибольшее значение у = 0;

З) множество значений функции: (- ?; 0]; и) возрастает от - ? до 0 на промежутке (-?; -2]; к) убывает от 0 до - ? на промежутке [-2; + ?).

?

-s

График функции у = а(х – s)2 + t

Парабола у = а(х – s)2 + t получается сдвигом параболы у = ах2:

вдоль оси Ох (на s единиц вправо, когда s > 0; на |s| единиц влево, когда s < 0); вдоль оси Оу на |t| единиц (вверх, когда t > 0, и вниз, когда t < 0).

График функции у = а(х – s)2 + t

Осью симметрии параболы у = а(х – s)2 + t является прямая х = s (эта прямая параллельна оси Оу).

Ось симметрии пересекает параболу у = а(х – s)2 + t в точке P(s; t), и эта точка является вершиной параболы.

График функции у = а(х – s)2 + t

Ветви параболы у = а(х – s)2 + t направлены вверх, когда а > 0, и направлены вниз, когда а < 0.

График функции у = а(х – s)2 + t

Рассмотрим функцию у = (х - 2)2 -3: вершина параболы – точка (2; -3); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вверх;

Г) х1 = -1, х2 = 5 – нули функции; д) у > 0 на множестве (- ?; -1) (5; + ?); у < 0 на множестве (1; 5). Е) наибольших значений нет; ж) наименьшее значение у = -3;

З) множество значений функции: [-3; + ?); и) убывает от + ? до -3 на промежутке (-?; 2]; к) возрастает от -3 до + ? на промежутке [2; + ?).

?

+2

-3

График функции у = а(х – s)2 + t

Рассмотрим функцию у = - (х - 2)2 + 3: вершина параболы – точка (2; 3); б) х = 2– ось симметрии; в) ветви параболы направлены вниз;

Г) х1 = -1, х2 = 5 – нули функции; д) у < 0 на множестве (- ?; -1) (5; + ?); у > 0 на множестве (-1; 5). Е) наименьших значений нет; ж) наибольшее значение у = 3;

З) множество значений функции: (- ?; 3]; и) возрастает от - ? до 3 на промежутке (-?; 2]; к) убывает от 3 до - ? на промежутке [2; + ?).

?

+3

+2

Функция у = ах2 + bx + c

Любую квадратичную функцию у = ах2 + bх + с можно представить в виде у = а(х – s)2 + t, где ; . у = 2х2 - 4х + 3 = 2(х – 1)2 + 1, поскольку

Функция у = ах2 + bx + c

Любую квадратичную функцию у = ах2 + bх + с можно представить в виде у = а(х – s)2 + t методом выделения полного квадрата. у = 2х2 - 4х + 3 = 2 (х2 - 2х) + 3 = = 2(х2 – 2 ? х ? 1 + 12) - 2 ? 12 + 3 = 2(х – 1)2 + 1.

График функции у = ах2 + bx + c

График квадратичной функции у = ах2 + bх + с совпадает с графиком функции у = а(х – s)2 + t, где , .

У = 2х2 - 4х + 3 у = 2(х – 1)2 + 1

Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + c

Отмечаем на координатной плоскости вершину параболы – точку где D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного трехчлена у = ах2 + bх + с. Проводим через эту точку ось симметрии параболы – прямую ;

Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + c

Отмечаем точки пересечения параболы с осью Ох – это точки (х1; 0) и (х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (если они существуют, т.е. D ? 0);

Схематичное изображение функции у = ах2 + bx + c

Отмечаем точки пересечения параболы с прямой у = с – это точки (х3; с) и (х4; с), где х3= 0 и х4 = - - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = с; Смотрим куда направлены ветви параболы: если а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз. Изображаем схематически параболу у = ах2 + bх + с.

a > 0

Схематичное изображение функции у = -3х2 + 3x + 6

Р(- ; - ),

1. Отмечаем на координатной плоскости вершину параболы – точку P(x0 ; y0 ), где ;

y 5 4 3 2 1

D = b2 – 4ac = 81 > 0. Проводим через эту точку ось симметрии параболы – прямую ; Отмечаем точки пересечения параболы с осью Ох – это точки (х1; 0) и (х2; 0), где х1 = -1 и х2 = 2 - корни квадратного уравнения -3х2 + 3x + 6 = 0 ;

Х = 0,5

Схематичное изображение функции у = -3х2 + 3x + 6

Отмечаем точки пересечения параболы с прямой у = 6 – это точки (х3; 6) и (х4; 6), где х3= 0 и х4 = - 1 - корни квадратного уравнения -3х2 + 3x + 6 = 6 ; Ветви параболы направлены вниз (а < 0). Изображаем схематически параболу у = 3х2 + 3x + 6.

Возможные случаи изображения параболы у = ах2 + bx + c

D > 0 D = 0 D < 0

a > 0

c

Возможные случаи изображения параболы у = ах2 + bx + c

D > 0 D = 0 D < 0

a < 0

O