№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Квадратичная функция8 класс © Федорова Татьяна Федоровна, 2009 |
2 |
 |
СодержаниеОпределение квадратичной функции Функция y=x2 Функция y=ax2 (a>0) Функция y=ax2 (a<0) Функция y=ax2+bx+c Построение функции y=ax2+bx+c Итог урока |
3 |
 |
Функция y=ax2+bx+c, где a, b и c заданные действительные числа, a0, x – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Примеры: Площадь квадрата y со стороной x вычисляется по формуле y=x2. Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой: Где s0 – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0. |
4 |
 |
y=x2x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 y x Ось симметрии параболы Ветви параболы Парабола Вершина параболы 16 y1 y2 (3;9) (-3;9) 9 Если при x2> x1 y2< y1, то функция является убывающей Если при x2> x1 y2> y1, то функция является возрастающей y2 y1 4 1 x1 x2 x1 x2 |
5 |
 |
y=ax2x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y x График функции y=2x2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в 2 раза. y=2x2 y=x2 8 4 0 2 |
6 |
 |
y=ax2x -3 -2 -1 0 1 2 3 y= x2 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y x График функции y= x2 можно получить из параболы y=x2 сжатием к оси x в 2 раза. y=x2 y= x2 4 2 0 2 |
7 |
 |
y=ax2x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -2 -9 y=- x2 -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y x График функции y=-x2 можно получить из параболы y=x2 симметричным отражением относительно оси x. y=x2 4 0 2 -4 y=-x2 |
8 |
 |
yx Аналогично график функции y=- x2 симметричен параболе y= x2 относительно оси x. y= x2 4,5 0 3 -4,5 y=- x2 |
9 |
 |
Основные свойства функции y=ax2 (a0). 1. Если a>0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при x?0; если a<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при x?0; значение функции y=ax2 равно 0 только при x=0. 2. Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат. 3. Если a>0, то функция y=ax2 возрастает при x?0 и убывает при x?0; если a<0, то функция y=ax2 убывает при x?0 и возрастает при x?0. График функции y=ax2 при любом a?0 также называют параболой. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a<0 – вниз. |
10 |
 |
y=ax2+bx+cx -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2-2x+3 18 11 6 3 2 3 6 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y x y=x2-2x+3= =x2-2x+1+2= =(x-1)2+2 График функции y= (x-1)2+2 можно получить в результате сдвига на 2 единицы вверх графика функции y= (x-1)2 Каждую точку графика функции y=(x-1)2 можно получить из соответствующей точки параболы y=x2 с помощью параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси x y=x2-2x+3 y=(x-1)2+2 y=x2 11 9 y=(x2-1) 2 -3 -2 0 1 |
11 |
 |
y=ax2+bx+cx -3 -2 -1 0 1 2 3 y=0,5x2+2x-2 -3,5 -4 3,5 -2 0,5 4 8,5 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y x y=0,5x2+2x-2= = 0,5 x2+2x+2-4= = 0,5(x+2)2-4 График функции y=a(x+m)2+n можно получить из графика функции y=ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на |m| единиц вправо, если m>0, или на |m| единиц влево, если m<0, и сдвига вдоль оси y на |n| единиц вверх, если n>0, или на |n| единиц вниз, если n<0. y=0,5x2 y=0,5(x+2)2 y=0,5x2+2x-2 -1 0 -4 y=0,5(x+2)2-4 |
12 |
 |
Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c выделением полного квадратаможно записать в виде Или Где |
13 |
 |
Таким образом, графиком функции y=ax2+bx+c является парабола,получаемая сдвигом параболы y=ax2 вдоль координатных осей. Равенство y=ax2+bx+c называют уравнением параболы. Координаты (x0; y0) вершины параболы y=ax2+bx+c можно найти по формулам Ось симметрии параболы y=ax2+bx+c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a<0 – вниз. |
14 |
 |
Построение графика y=ax2+bx+cy x y=x2-4x+3 1. Координаты вершины параболы: x0=2, y0=-1. 2. Ось симметрии параболы – прямая, проходящая через точку (2; -1), параллельная оси ординат. 3. Решение уравнения x2-4x+3=0 – нули функции: x1=1, x2=3. 4. Две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=2, например x=0 и x=4, y(0)=y(4)=3. 3 y=x2-4x+3 2 0 1 3 4 -1 |
15 |
 |
По такой схеме можно построить график любой квадратичной функцииy=ax2+bx+c: 1. Построить вершину параболы (x0; y0), вычислив x0, y0 по формулам: 2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x0 (x?0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например: x=0 и x=2x0 (ординаты этих точек равны c). 5. Провести через построенные точки параболу. |
16 |
 |
Проверь свои знанияКак называется график квадратичной функции? Обладает ли график квадратичной функции свойством симметрии? Как можно определить направление ветвей параболы без построения графика квадратичной функции? В какой точке находится наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции? |
17 |
 |
Спасибо за внимание |
«Квадратичная функция» |