Презентация на тему «Квадратичная функция»

Квадратичная функция

8 класс

© Федорова Татьяна Федоровна, 2009

Содержание

Определение квадратичной функции Функция y=x2 Функция y=ax2 (a>0) Функция y=ax2 (a<0) Функция y=ax2+bx+c Построение функции y=ax2+bx+c Итог урока

Функция y=ax2+bx+c, где a, b и c заданные действительные числа, a

0, x – действительная переменная, называется квадратичной функцией.

Примеры: Площадь квадрата y со стороной x вычисляется по формуле y=x2. Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой:

Где s0 – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0.

y=x2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y=x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

y

x

Ось симметрии параболы

Ветви параболы

Парабола

Вершина параболы

16

y1

y2

(3;9)

(-3;9)

9

Если при x2> x1 y2< y1, то функция является убывающей

Если при x2> x1 y2> y1, то функция является возрастающей

y2

y1

4

1

x1

x2

x1

x2

y=ax2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=2x2

18

8

2

0

2

8

18

y=x2

9

4

1

0

1

4

9

y

x

График функции y=2x2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в 2 раза.

y=2x2

y=x2

8

4

0

2

y=ax2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y= x2

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

y=x2

9

4

1

0

1

4

9

y

x

График функции y= x2 можно получить из параболы y=x2 сжатием к оси x в 2 раза.

y=x2

y= x2

4

2

0

2

y=ax2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=-x2

-9

-4

-1

0

-1

-2

-9

y=- x2

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5

y=x2

9

4

1

0

1

4

9

y

x

График функции y=-x2 можно получить из параболы y=x2 симметричным отражением относительно оси x.

y=x2

4

0

2

-4

y=-x2

y

x

Аналогично график функции y=- x2 симметричен параболе y= x2 относительно оси x.

y= x2

4,5

0

3

-4,5

y=- x2

Основные свойства функции y=ax2 (a

0). 1. Если a>0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при x?0; если a<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при x?0; значение функции y=ax2 равно 0 только при x=0. 2. Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат. 3. Если a>0, то функция y=ax2 возрастает при x?0 и убывает при x?0; если a<0, то функция y=ax2 убывает при x?0 и возрастает при x?0.

График функции y=ax2 при любом a?0 также называют параболой. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a<0 – вниз.

y=ax2+bx+c

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=x2-2x+3

18

11

6

3

2

3

6

y=x2

9

4

1

0

1

4

9

y

x

y=x2-2x+3= =x2-2x+1+2= =(x-1)2+2

График функции y= (x-1)2+2 можно получить в результате сдвига на 2 единицы вверх графика функции y= (x-1)2

Каждую точку графика функции y=(x-1)2 можно получить из соответствующей точки параболы y=x2 с помощью параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси x

y=x2-2x+3

y=(x-1)2+2

y=x2

11

9

y=(x2-1)

2

-3

-2

0

1

y=ax2+bx+c

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=0,5x2+2x-2

-3,5

-4

3,5

-2

0,5

4

8,5

y=x2

9

4

1

0

1

4

9

y

x

y=0,5x2+2x-2= = 0,5 x2+2x+2-4= = 0,5(x+2)2-4

График функции y=a(x+m)2+n можно получить из графика функции y=ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на |m| единиц вправо, если m>0, или на |m| единиц влево, если m<0, и сдвига вдоль оси y на |n| единиц вверх, если n>0, или на |n| единиц вниз, если n<0.

y=0,5x2

y=0,5(x+2)2

y=0,5x2+2x-2

-1

0

-4

y=0,5(x+2)2-4

Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c выделением полного квадрата

можно записать в виде

Или

Где

Таким образом, графиком функции y=ax2+bx+c является парабола,

получаемая сдвигом параболы y=ax2 вдоль координатных осей.

Равенство y=ax2+bx+c называют уравнением параболы. Координаты (x0; y0) вершины параболы y=ax2+bx+c можно найти по формулам

Ось симметрии параболы y=ax2+bx+c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. При a>0 ветви параболы направлены вверх, а при a<0 – вниз.

Построение графика y=ax2+bx+c

y

x

y=x2-4x+3 1. Координаты вершины параболы: x0=2, y0=-1. 2. Ось симметрии параболы – прямая, проходящая через точку (2; -1), параллельная оси ординат. 3. Решение уравнения x2-4x+3=0 – нули функции: x1=1, x2=3. 4. Две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=2, например x=0 и x=4, y(0)=y(4)=3.

3

y=x2-4x+3

2

0

1

3

4

-1

По такой схеме можно построить график любой квадратичной функции

y=ax2+bx+c:

1. Построить вершину параболы (x0; y0), вычислив x0, y0 по формулам:

2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x0 (x?0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например: x=0 и x=2x0 (ординаты этих точек равны c). 5. Провести через построенные точки параболу.

Проверь свои знания

Как называется график квадратичной функции? Обладает ли график квадратичной функции свойством симметрии? Как можно определить направление ветвей параболы без построения графика квадратичной функции? В какой точке находится наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции?

Спасибо за внимание